THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS

Master CFP
Parcours physique quantique
2006-2007
THÉORIE QUANTIQUE DES CHAMPS
Feuille 9
1Quelques formules utiles
L’´ecriture d’un champ complexe de Klein-Gordon en fonction des op´erateur de cr´eation et d’anihila-
tion :
φ(t, x) = Zd3k
(2π)3ωkake−iqµxµ+a†
keiqµxµ
avec ωk=√k2+m2
Relations de commutation :
[ak, a†
q] = (2π)32ωqδ(q−k)
Le propagateur de Feynman
DF(x) =h0|T φ(x)φ(y)|0i
=Zd4q
(2π)4
iexp(−iqµxµ)
q2−m2+iǫ
o`u Tordonne dans l’ordre chronologique les champs.
2Le potentiel de Yukawa
On consid`ere dans cet exercice deux types de particules : des particules lourdes (que l’on appelera
nucl´eons), consid´er´ees comme classiques (pas de fluctuations quantiques) et des particules l´eg`eres
(appel´ees ici m´esons, not´es π) qui seront repr´esent´ees par un champ quantique. Pour faire simple
ici, les ”nucl´eons” seront des bosons. L’interaction entre nucl´eons et m´esons est repr´esent´ee, dans le
hamiltonien, par un terme d’interaction Hint =gRd3x J(t, x)π(t, x). Le but de cet exercice est de
calculer l’´energie d’une configuration o`u deux nucl´eons sont s´epar´es d’une distance aet d’en d´eduire
la force d’interaction entre ces deux nucl´eons.
En th´eorie de perturbation, on obtient l’´energie d’une configuration comme
Zdt E(t) = h0|TZdtHint(t)e(−iRdt Hint )|0i
1. On consid`ere une configuration des nucl´eons compos´ee de deux paquets d’onde gaussiens (cor-
rectement normalis´es) de largeur σ, centr´es en r1et en r2, distants de a. Pour r´egulariser les expressions
qui arriveront dans la suite, on consid`ere en outre que les nucl´eons existent sur un intervalle de temps τ.
Ecrivez donc la forme du champ classique J(x).
2. Exprimez l’´energie du fondamental au deuxi`eme ordre en gen fonction du propagateur de
Feynman. Si l’on exprime le champ de nucl´eons comme en 1, on obtient des termes ne faisant inter-
venir que la particule centr´ee en en r1(ou en r2), qui s’interpr`etent comme une modification (une
renormalisation) des propri´et´es des nucl´eons (modification de leur masse, par exemple), et un terme
d’interaction entre les deux nucl´eons. Dans la suite on ne retiendra que ce dernier terme.
3. Nous allons maintenant ´evaluer l’int´egrale. La partie temporelle se fait ais´ement. Dans la limite
o`u τtend vers l’infini, r´e´ecrivez l’int´egrale en utilisant le fait que limt→∞ sin2(xt)/(x2t) = π δ(x).
4. Pour calculer la partie spatiale de l’int´egrale, nous supposerons que l’extension spatiale du
paquet d’onde est beaucoup plus petit que la distance entre les deux particules. Nous pouvons donc
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CFP -
faire la limite σ→0, ce qui nous permet de remplacer les gaussiennes par des fonctions δ. L’int´egrale
spatiale se fait alors simplement et donne : E(a) = −g2/(2πa) exp(−ma).
5. Calculez la force d’interaction et montrez que la port´ee de cette force est directement reli´ee `a
la masse du m´eson.
3Source classique
Dans ce probl`eme, on consid`ere un champ complexe de Klein-Gordon en interaction avec une source
dont on peut n´egliger les fluctuations quantiques. La source se couple au champ via un terme d’in-
teraction Hint =Rdt φ(t, x)J(t, x). On veut ´etudier l’influence de la source sur les propri´et´es du
champ quantique. Le formalisme n’a pas ´et´e introduit en cours, mais en gros, la seule chose qu’on
a besoin de savoir est que l’amplitude de transition entre un ´etat |αiet un ´etat |βiest donn´e par
Aα→β=hα|Texp −iRdt Hint|βi.
1. Calculez l’amplitude de transition entre le vide et le vide `a l’ordre J2. Cette quantit´e s’ex-
prime facilement en fonction du propagateur de Feynman, ce qui explique pourquoi on introduit cette
quantit´e. D´eduisez-en la probabilit´e de cr´eer z´ero particules, et exprimez cette probabilit´e en fonction
de
λ=Zd4xd4y DF(x−y)J(x)J(y)
2. On veut maintenant pousser le d´eveloppement `a des ordres plus ´elev´es, et en fait resommer le
r´esultat `a tous les ordres. Pour cela, calculez le terme `a l’ordre J4proprement, et conjecturez ce qui
se passe pour J2n. Resommez la s´erie et d´eduisez-en l’amplitude de transition A|0i→|0i= exp(−λ/2),
puis montrez que la probabilit´e de ne cr´eer aucune particule pour jquelconque s’´ecrit exp(−λ).
3. On veut maintenant calculer l’amplitude de transition A|0i→|qiavec |qi=a†
q|0i, puis la
probabilit´e de cr´eer une particule, mais rassurez-vous aucun gros calcul suppl´ementaire n’est n´e-
cessaire. Pour cela, ´ecrivez Hint et λcomme une int´egrale en impulsion, en fonction de J±(p) =
Rd4xJ(x) exp(∓ipµxµ). Remarquez que la d´eriv´ee fonctionnelle de A|0i→|0ipar rapport `a J±(x)
vous donne (presque) ce que vous voulez. D´eduisez-en la probabilit´e de cr´eer une particule que
vous exprimerez uniquement en fonction de λ. Remarquez que la relation de fermeture s’´ecrit ici
1 = Rd3k/(2π)3/(2ωk)|kihk|, et que par cons´equent la probabilit´e s’´ecrit Rd3k/(2π)3/(2ωk)|A|0i→|ki|2.
4. G´en´eralisez le calcul pr´ec´edent et calculez la probabilit´e de produire nparticules. Cette proba-
bilit´e suit une loi de Poisson : Pn=λn/n! exp(−λ).
5. Montrez que cette loi de probabilit´e est bien norm´ee. Calculez hniet hn2i − hni2.
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