Matrices et systèmes linéaires cor

Matrices
Révisions algèbre 5
Lien avec l’algèbre linéaire
Matrice d’une famille
de vecteurs dans une
base
Matrices colonnes
Matrice d’une
application linéaire
dans des bases
Matrices lignes
La matrice d’une famille de vecteurs (u1,…,up) dans une base B = (e1,…,en) est une matrice de
type (n,p) dont la kème colonne est formée des coordonnées de uk dans la base B.
Les matrices colonnes sont les matrices qui ne comportent qu’une colonne.
Soit f  L(E,F), B = (e1, … , ep) de E et C = (f1, … , fn ) une base de F.
On appelle matrice de f relativement aux bases ( C , B ), la matrice M de type (n,p) dont la kème
colonne est formée des coordonnées de f (ek) dans la base C.
Une matrice ligne est une matrice qui ne comporte qu’une ligne.
Les matrices des formes linéaires sont de matrices ligne.
Opérations
Structure d’espace
vectoriel
Produit matriciel
Isomorphisme avec
L(E,F)
image d’un vecteur
par une appl linéaire
Lien avec la composée
d’applications linéaires
L’ensemble Mn,p(IK) des matrices à n lignes et p colonnes et coefficients dans IK est un IK-ev.
Ainsi, toute combinaison linéaire de matrices de type (n,p) est une matrice de type (n,p).
Dim Mn,p(IK) = np
Une base de Mn,p(IK) est (Ai,j)1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p où Ai,j est la amtrice de type (n,p) dont tous les
coefficients sont nuls sauf celui situé en ième ligne et jème colonne qui vaut 1.
p
- Définition : Si A  Mn,p(IK) et B  Mp,q(IK) alors AB = C  Mn,q(IK) et ci,j =  ai,k bk,j
k=1
- La multiplication des matrices est associative : A(BC) = (AB)C ,
distributive par rapport à l’addition : A (B+C) = AB + AC et (B+C) A = BA + CA
Si Ip est la matrice unité d’ordre le nombre p de colonnes de A : A ip = A.
Si In est la matrice unité d’ordre le nombre n de lignes de A : In A = A
- Pièges à éviter : Le produit matriciel n’est pas commutatif : AB n’est pas toujours égal à BA
Un produit de 2 matrices non nulles peut être nul : AB = O n’implique pas A = O ni B = O
Soit B une base de E, dim E = p et C une base de F, dim F = n.
L’application L(E,F)  Mn,p(IK) , f ↦ MC,B(f) est un isomrphisme
Si f  L(E,F), M la matrice de f relativement à une base C de F et une base B de E alors pour
tout u  E de matrice U dans B, la matrice V de v = f(u) dans C vérifie : V = M U
Si f  L(E,F) et g  L(F,G) , si BE , Bf , BG sont des bases respectives de E,F, G et si M(f) = M et
M(g) = N sont les matrices respectives de f et de g relativement à ces bases alors la matrice de
g o f relativement aux bases ( BG , BE ) est N M = M(g) . M(f) .
f
g
M
N
On peut visualiser ce résultat par le schéma suivant : E  F  G
Produit de matrices
diagonales
Formule du binôme
gof
alors E  G
NM
Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale obtenue en multipliant les
termes de même ligne, même colonne entre eux.
Soit A et B deux matrices carrées de même ordre.
n
Pour tout entier naturel n, si AB = BA alors ( A+B )n =  nk Ak Bn-k
k=0
( )
Rang d’une matrice
Définition
Lien avec les
applications linéaires
Cas des matrices
triangulaires
Rang et pivots
Rang après produit ( à
gauche ou à droite) par
une matrice inversible
Rang et opérations
Le rang d’une matrice est la dimension de l’ev engendré par ses vecteurs colonnes
Le rang d’une application linéaire f ( rg f = dim im f ) est égal au rang de ses matrices.
Le rang d’une matrice triangulaire est égal au nombre de ses pivots.
Attention, les pivots ne sont pas toujours situés sur la diagonale.
1 0 0 
Ex : rg  0 0 1  = 2 ( les pivots sont en rouge )
000
Le rang d’une matrice est égal au nombre de ses pivots. Les pivots sont obtenus après
réduction de la matrice par la méthode de Gauss.
Si P est une matrice inversible alors rg ( P M ) = rg M
Si Q est une matrice inversible alors rg ( M Q ) = rg (M)
Le produit à gauche ou à droite par une matrice inversible ne modifie pas le rang
Les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice M ne modifient pas le rang de M
Matrices inversibles
Définition
Cas de la matrice unité
Lien avec les
isomorphismes
matrices triangulaires
Nombre de pivots
Produit
Transposée
système linéaire
- une matrice carrée A d’ordre n est inversible ssi il existe une matrice carrée B d’ordre n telle
que AB=BA=In
- B est alors unique et appelée l’inverse de A , notée A-1
Les matrices unités sont inversibles et égales à leur inverse.
Una application  linéaire d’un IK-ev E vers un IK-ev F, tous deux de dimension finie est
bijective ssi la matrice M de  dans des bases BF , BE est inversible.
Dans ce cas, la matrice M’ de -1 relativement à BE , BF est M-1
Une matrice triangulaire est inversible ssi tous ses termes diagonaux sont non nuls
Une matrice carrée d’ordre n est inversible ssi elle admet n pivots
Le produit AB de deux matrices A et B inversibles est inversible et (AB)-1 = B-1 A-1
La transposée d’une matrice A inversible est inversible et ( tA )-1 = t (A-1)
Une matrice carrée A est inversible ssi le système linéaire A X = B d’inconnue X est de Cramer
Méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice inversible A
Par résolution d’un
système
Par l’isomorphisme
associé
Par la méthode de
Gauss
AX = B  X = A-1 B
A = MB,C (f)  A-1 = MC,B(f-1)
A est inversible ssi une réduite de Gauss de A est inversible ( une telle matrice étant
triangulaire, ses termes diagonaux sont tous non nuls )
Cas des matrices 2 x 2
Lien avec les matrices
de passage
est inversible ssi ad – bc  0 et dans ce cas, son inverse est :
Une matrice de passage est toujours inversible.
Plus précisément l’inverse de la matrice de passage d’une base >B à une base C est la matrice
de passage de C à B.
Transposée d’une matrice
Définition
Transposée d’une
combinaison linéaire
Transposée d’un
produit
Transposée de
l’inverse
Matrice symétrique
La transposée d’une matrice de type (n,p) , A= (ai j)1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ n est la matrice de type (p,n)
obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.
t
A = ( bi , j )1 ≤ i ≤p , 1 ≤ j ≤ n telle que bi,j = aj,i
Si A et B sont de même type et ,   IK alors t(A+B) =  tA +  tB
t
(AB) = tB . tA
t
(A-1) = ( tA )-1
- Définition : matrice carrée A telle que : t A = A
- Opérations : l’ensemble des matrices symétriques d’ordre n est un sev de Mn(IK).
ATTENTION : Le produit de deux matrices symétriques n’est pas obligatoirement symétrique
=
L’inverse d’une matrice symétrique inversible est symétrique
Formules de changement de bases
Matrice de passage
Matrices d’un vecteur
dans deux bases
Matrices d’un
endomorphisme dans
deux bases
Calcul de (P D P-1)n
Matrices semblables
On appelle matrice de passage d’une base B à une base C la matrice dont ls colonnes sont
formées des coordonnées des vecteurs de C dans la base B.
PB,C = MB,C(id)
Soit u un vecteur de E muni de deux bases B et C
MC(u) = PC,B MB(u)
Soit f un endomorphisme de E muni de deux bases B et C.
MC(f) = PC,B MB(f) PB,C
( P D P-1)n = P Dn P-1
- deux matrices carrées sont semblables si ce sont les matrices d’un même endomorphisme
dans deux bases.
- A et B sont semblables ssi il existe une matrice P inversible telle que A = PBP-1
Systèmes linéaires
Révisions d’algèbre 5 bis
Définition
Ecriture matricielle
A X = B où A = (ai , j ) X =
Système homogène
Système de Cramer
Opérations
élémentaires sur les
lignes
Matrice échelonnée
Pivots de Gauss
But de la méthode de
Gauss
et B =
- Définition AX = O
- Lien avec les noyaux : L’ensemble des solutions de AX= O est le noyau de l’application
linéaire de matrice A dans deux bases.
- Définition : un système de Cramer est un système à n équations et n inconnues qui admet
une et une seule solution.
- Lien avec les matrices inversibles : Un système AX=B est de cramer ssi A est inversible.
Dans ce cas, son unique solution est : X = A-1 B
Les opérations élémentaires sur les lignes d’un système transforme celui-ci en un système
équivalent ( de même ensemble de solutions )
Une matrice de type (n,p)est échelonnée ssi pour i  ⟦2,n⟧, la ligne i commence par plus de
zéros que la ligne (i-1) du dessus
Les pivots d’une matrice échelonnée sont les premiers termes non nuls de ses lignes.
La méthode de Gauss permet de transformer toute matrice en une matrice échelonnée, à
l’aide des opérations élémentaires sur les lignes.
1. A l’aide d’opération élémentaires sur les lignes ( en général un échange de ligne ) on met
un terme non nul ( ce sera un pivot) en 1ère ligne et 1ère colonne.
Méthode de Gauss
(2 étapes à réitérer )
2. A l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes, on met 0 sous le pivot que l’on vient de
trouver

Exercice : résoudre le système


par la méthode de Gauss en explicitant les points 1 et
2 de la méthode.
Le premier pivot est en rouge et
encadré
Etape 1 :
L1  L3
l’inconnue x disparaît des 2 dernières
équations
Etape 2 :
L2  L2 – L1
L3 = 2 L3 + (1-) L1
Etape 1 inutile
Etape 2 :
L3  L3 + 2 L2
On recommence avec les 2 dernières
lignes
-2 x -2y + (5-)z = 0
-2x + (1-) y + 2 z = 0
(1-) x – 2y + 2z = 0
-2 x -2y + (5-)z = 0
(3-)y + (-3)z = 0
2(-3)y + (-3)² z = 0
-2 x -2y + (5-)z = 0
(3-)y + (-3)z = 0
(-3)(-1) z = 0
Le système obtenu est échelonné, il suffit de le résoudre de bas en haut en discutant suivant les valeurs de  pour
connaître le nombre de pivots :
Si  = 1 , le système possède 2 pivots et l’ensemble des solutions est de dimension 1 : Vect [
Si  = 3, le système n’a qu’un pivot et l’ensemble des solutions est de dimension 2 : Vect[
Si   { 1 , 3 } le système est de Cramer et admet la seule solution égale au vecteur nul.
]