Correction exercice 8 – Probabilités

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 8
1
/
2
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 8 – Probabilités
Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie.
Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de
1
50
ou bien ne rien gagner.
G désigne l’événement "le joueur gagne au grattage".
Il participe alors à la loterie avec le même billet. Il peut alors gagner 100 euros, 200 euros ou ne rien gagner.
L
1
désigne l’événement : "le joueur gagne 100 euros à la loterie"
L
2
désigne l’événement : "le joueur gagne 200 euros à la loterie"
P désigne l’événement ; "le joueur ne gagne rien à la loterie".
Si le joueur n’a pas gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie est
1
70
et la probabilité qu’il gagne
200 euros à la loterie est
1
490
.
1. a. Faisons un arbre (complété)
D’après l’énoncé : p(G)=
1
50
donc p
( )
Ò
G=1−
1
50
=
49
50
pÒ
G
( )
L
1
=
1
70
et pÒ
G
( )
L
2
=
1
490
b. Calculons la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu’il n’a rien gagné au grattage.
L
1
, L
2
et P forment une partition de l’univers donc pÒ
G
( )
L
1
+pÒ
G
( )
L
2
+pÒ
G
(P)=1
donc pÒ
G
(P) =1− pÒ
G
( )
L
1
−pÒ
G
( )
L
2
=1−
1
70
−
1
490
=
241
245
La probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu’il n’a rien gagné au grattage est
241
245
.
c. Gain alébrique : voir arbre
2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie,
déduction faite du prix du billet.
Ò
G
G
P : gain : -10
L
2
: gain : 190
L
1
: gain : 90
P : gain : 90
L
2
: gain : 290
L
1
: gain : 190
1
50
49
50
1
10
8
10
1
10
1
70
1
490
241
245

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 8
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2
La probabilité des événements "X=90" et "X=190" sont respectivement
2
125
et
1
250
a. Montrons que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au
grattage, est égale à
1
10
càd montrons que p
G
( )
L
1
=
1
10
.
D’après l’arbre, l’événement "X=190" est la réunion des événements incompatibles G∩L
1
et Ò G∩L
2
.
Donc p(X=190)=p
( )
G∩L
1
+p
( )
Ò
G∩L
2
.
Or, p(X=190)=
1
250
et p
( )
Ò
G∩L
2
=pÒ
G
( )
L
2
p
( )
Ò
G donc p
( )
G∩L
1
=
1
250
−
49
50
×
1
490
=
1
500
donc p
G
( )
L
1
=
p
( )
G∩L
1
p(G)
=
1
500
1
50
=
1
10
La probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage est
1
10
.
b. Calculons la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au
grattage, càd calculons p
G
(P)
L’événement "X=90" est la réunion des événements incompatibles G∩P et Ò G∩L
1
donc p(X=90)=p(G∩P)+p
( )
Ò
G∩L
1
.
Or, p(X=90)=
2
125
et p
( )
Ò
G∩L
1
=pÒ
G
( )
L
1
p
( )
Ò
G donc p(G∩P)=
2
125
−
49
50
×
1
70
=
1
500
donc p
G
(P)=
p(G∩P)
p(G)
=
1
500
1
50
=
1
10
La probabilité que le joueur perde à la loterie sachant qu’il a gagné au grattage est
1
10
c. Déterminons la loi de probabilité de X.
X peut prendre les valeurs -10, 90, 190 et 290.
L’événement "X=-10" est l’événement " le joueur perd au grattage et à la loterie" càd Ò G∩P donc
p(X=-10)=p
( )
Ò
G∩P=pÒ
G
(P)×p
( )
Ò
G=
49
50
×
241
245
=
241
250
L’événement "X=290" est l’événement "le joueur gagne au grattage et 200 euros à la loterie" càd G∩L
2
donc
p(X=290)=p
( )
G∩L
2
=p
G
( )
L
2
×p(G)=
1
50
×
8
10
=
8
500
=
2
125
D’où la loi de probabilité de X donnée dans le tableau suivant :
x
i
-10 90 190 290
p
( )
X=x
i
241
250
2
125
1
250
2
125
Calculons l’espérance de X.
E(X)=
∑
i=1
4
x
i
p
( )
X=x
i
=-10×
241
250
+90×
2
125
+190×
1
250
+290×
8
500
=-
14
5
L’espérance de X est -
14
5
càd que le jeu n’est pas avantageux pour le joueur .