Correction exercice 8 – Probabilités

Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 8 – Probabilités
Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie.
1
Il gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de
ou bien ne rien gagner.
50
G désigne l’événement "le joueur gagne au grattage".
Il participe alors à la loterie avec le même billet. Il peut alors gagner 100 euros, 200 euros ou ne rien gagner.
L1 désigne l’événement : "le joueur gagne 100 euros à la loterie"
L2 désigne l’événement : "le joueur gagne 200 euros à la loterie"
P désigne l’événement ; "le joueur ne gagne rien à la loterie".
1
Si le joueur n’a pas gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie est
et la probabilité qu’il gagne
70
1
L1 : gain : 190
200 euros à la loterie est
.
490
1
1.
10
a. Faisons un arbre (complété)
L2 : gain : 290
8
10
G
1
50
49
50
1
10
P : gain : 90
L1 : gain : 90
1
70
Ò
G
1
490
L2 : gain : 190
241
245
P : gain : -10
D’après l’énoncé :
1
Ò )=1− 1 = 49
donc p (G
50
50 50
1
1
p (L1)=
et p (L2)=
Ò
Ò
G
G
70
490
p(G)=
b. Calculons la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu’il n’a rien gagné au grattage.
L1, L2 et P forment une partition de l’univers donc pÒ
G (L1)+pÒ
G (L2)+pÒ
G (P)=1
1
1
241
donc pÒ
−
=
G (P) =1− pÒ
G (L1)−pÒ
G (L2)=1−
70 490 245
La probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie sachant qu’il n’a rien gagné au grattage est
241
.
245
c. Gain alébrique : voir arbre
2. On note X la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie,
déduction faite du prix du billet.
C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD
Proba – Correction ex 8
1/2
La probabilité des événements "X=90" et "X=190" sont respectivement
2
1
et
125
250
a. Montrons que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au
1
1
grattage, est égale à
càd montrons que pG (L1)= .
10
10
Ò ∩L2.
D’après l’arbre, l’événement "X=190" est la réunion des événements incompatibles G∩L1 et G
Ò ∩L2) .
Donc p(X=190)=p (G∩L1)+p (G
1
Ò ∩L2)=pÒ
Ò ) donc p (G∩L1)= 1 − 49 × 1 = 1
Or, p(X=190)=
et p (G
G (L2)p (G
250
250 50 490 500
1
p (G∩L1)
500
1
donc pG (L1)=
=
=
1
p(G)
10
50
La probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie sachant qu’il a gagné 100 euros au grattage est
1
.
10
b. Calculons la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au
grattage, càd calculons pG (P)
Ò ∩L1
L’événement "X=90" est la réunion des événements incompatibles G∩P et G
Ò ∩L1) .
donc p(X=90)=p(G∩P)+p (G
2
Ò ∩L1)=pÒ
Ò ) donc p(G∩P)= 2 − 49 × 1 = 1
et p (G
Or, p(X=90)=
G (L1)p (G
125
125 50 70 500
1
500
p(G∩P)
1
donc pG (P)=
=
=
1
p(G)
10
50
La probabilité que le joueur perde à la loterie sachant qu’il a gagné au grattage est
1
10
c. Déterminons la loi de probabilité de X.
X peut prendre les valeurs -10, 90, 190 et 290.
Ò ∩P donc
L’événement "X=-10" est l’événement " le joueur perd au grattage et à la loterie" càd G
Ò ∩P ) =pÒ
Ò )= 49 × 241 = 241
p(X=-10)=p ( G
G (P)×p (G
50 245 250
L’événement "X=290" est l’événement "le joueur gagne au grattage et 200 euros à la loterie" càd G∩L2 donc
1
8
8
2
p(X=290)=p (G∩L2)=pG (L2)×p(G)=
× =
=
50 10 500
125
D’où la loi de probabilité de X donnée dans le tableau suivant :
xi
90
190
290
-10
241
2
1
2
p ( X=xi )
250
125
250
125
Calculons l’espérance de X.
4
E(X)= ∑xi p ( X=xi ) =-10×
i=1
L’espérance de X est -
241
2
1
8
14
+90×
+190×
+290×
=250
125
250
500
5
14
càd que le jeu n’est pas avantageux pour le joueur .
5
C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD
Proba – Correction ex 8
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