TD de Physique no 7 : Optique géométrique

E.N.S. de Cachan
M2 FE
Physique appliquée
Département E.E.A.
3e année
2011-2012
TD de Physique no 7 :
Optique géométrique
Exercice no 1 : Dispersion angulaire d’un prisme
I- Déviation par un prisme
On considère un prisme isocèle d’angle au sommet
A = 60˚, en verre d’indice de réfraction n (cf figure cicontre). On envoie sur la face d’entrée de ce prisme un
faisceau laser de longueur d’onde dans le vide λ0 . Le
plan d’incidence est dans un plan de section principale
du prisme. On note i et r (resp. r0 et i0 ), les angles incident et réfracté à l’entrée (resp. à la sortie) du prisme.
1. Équation du prisme. Définir la déviation D et
donner les 4 équations permettant de déterminer cette
déviation.
2. Condition d’émergence du rayon incident. L’indice de réfraction du prisme a une valeur proche de 1,5.
Déterminer la plage d’angles d’incidence permettant au rayon lumineux d’émerger du prisme. Faire l’application
numérique.
3. Minimum de déviation.
a) À l’aide des 4 équations de la question 1, montrer que la déviation présente un minimum en fonction de
l’angle d’incidence i. Pour cela, on montrera au préalable que r = r0 = rm au minimum de déviation. Exprimer
rm en fonction de A.
b) On note Dm la valeur de la déviation au minimum de déviation. Exprimer l’angle d’incidence im au minimum
de déviation en fonction de Dm et A.
4. Application à la mesure d’un indice de réfraction.
a) Déduire des résultats précédents la valeur littérale de l’indice de réfraction en fonction de A et Dm .
b) Pour la longueur d’onde λ0 , on mesure Dm = 36˚200 . Calculer la valeur de l’indice de réfraction pour cette
longueur d’onde.
II- Dispersion par un prisme
L’angle d’incidence est maintenu fixe, mais la longueur d’onde de la lumière incidente peut varier et l’indice
de réfraction du prisme, n, dépend de la longueur d’onde.
1. Dispersion angulaire pour un angle d’incidence quelconque. Pour un angle d’incidence quelconque,
calculer la dispersion angulaire, dD/dλ. Exprimer cette dispersion en fonction de A, r, i0 et dn/dλ.
2. Dispersion angulaire au minimum de déviation. On se place au minimum de déviation. Exprimer la
dispersion angulaire en fonction de A, Dm , dn/dλ.
III- Application : mesure de la longueur d’onde de la lumière du laser à l’aide du prisme
Le prisme précédent est monté sur un goniomètre. La fente source est dans le plan focal objet d’une lentille
convergente L1 . La lumière sortant du prisme est captée par une lentille convergente L2 . On observe les spectres
sur un écran placé dans le plan focal image de L2 .
La fente source est éclairée par deux faisceaux lasers colinéaires, de longueurs d’onde voisines λ0 = 632, 8 nm et
λ (longueurs d’onde dans le vide). Le prisme est réglé au minimum de déviation. La lentille L2 a une distance
focale f20 = 40 cm. Le verre du prisme a une dispersion dn/dλ = −1, 0 ∗ 10−4 nm−1 .
Les deux images de fentes sont séparées de 0, 60 mm sur l’écran, la déviation la plus importante correspondant
à la longueur d’onde λ. En déduire la longueur d’onde λ du second laser.
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Exercice no 2 : Fibre optique à saut d’indice
Une fibre optique à saut d’indice d’axe Ox
est constituée d’un cœur cylindrique de rayon ρ
transparent, homogène et isotrope, d’indice n0 ,
entouré d’une gaine présentant les mêmes propriétés optiques mais d’indice n1 (n1 <n0 ).
On considère un rayon SI situé dans un plan
contenant Ox (cf figure ci-dessus).
1. Montrer que ce rayon ne peut se propager dans la fibre que si l’angle d’incidence θi est inférieur à un
angle θmax . Exprimer θmax en fonction de n0 , n1 et N l’indice de l’air.
2. Déterminer la distance d entre
deuxintersections successives d’un rayon lumineux avec l’axe Ox en
fonction de ρ et de θ0 (θ0 = Arcsin nN0 sin θi ).
3. Que pensez-vous du stigmatisme de cette fibre ?
Exercice no 3 : Fibre optique à gradient d’indice
On considère une fibre optique d’axe Ox dont le cœur
transparent et isotrope a un indice qui varie continûment
à partir de l’axe suivant la loi :
n = n0 − ar2
dans laquelle r est la distance à l’axe Ox et a une constante.
Un rayon lumineux SO situé dans le plan xOy arrive sur la fibre sous l’angle θi . En un point M , le vecteur
unitaire tangent ~ut à ce rayon fait avec Ox un angle θ (cf figure ci-dessus).
1. Sachant que n prend la valeur n1 pour r = ρ le rayon du cœur, déterminer a en fonction de n0 , n1 et
ρ.
2. En utilisant la loi fondamentale de l’optique, montrer que l’équation différentielle du trajet du rayon
SO est :
dy 2 n 2
=
− 1.
dx
A
A est une constante que l’on exprimera en fonction de n0 et θ0 (θ0 = Arcsin nN0 sin θi , N étant l’indice du
milieu extérieur à la fibre).
3. On donne n1 /n0 = 0, 99. Montrer que le terme (ay 2 /n0 )2 peut être négligé dans l’expression précédente.
En déduire une expression simplifiée de (dy/dx)2 en fonction de θ0 , n0 , a et y.
4. Établir l’équation de la trajectoire simplifiée du rayon. Quelle est la nature de cette trajectoire ?
5. Montrer que le rayon lumineux coupe l’axe Ox en des points régulièrement espacés d’une distance
d que l’on exprimera en fonction de θi , ρ, n0 , N . Faire l’application numérique pour θi = 5˚, ρ = 15 µm,
n0 = 1, 50 et N = 1.
6. Quelle est la condition sur θi pour que le rayon lumineux se propage dans le cœur de la fibre ?
7. Que peut-on dire du stigmatisme de cette fibre quand les incidences θi restent faibles ?
Exercice no 4 : Théorie simplifiée de la formation d’un arc-en-ciel
On explique la formation d’un arc-en-ciel par la réflexion à l’intérieur d’une goutte d’eau d’un rayon lumineux provenant du Soleil. Un
rayon de lumière monochromatique, composant d’un faisceau de lumière
blanche, pénètre dans une goutte d’eau sphérique d’indice n et subit à
l’intérieur de la goutte une réflexion (cf figure ci-contre).
1. Expliquer pourquoi la réflexion du rayon dans la goutte ne peut
pas être totale.
2. Quelle est la déviation D du rayon incident en fonction de l’angle
d’incidence i et du premier angle réfracté r ?
3. Trouver, en fonction de n, la valeur de sin i pour laquelle la déviation du rayon est minimale. Calculer
α = π − D pour n = 1, 33 (eau) et n = 1, 31 (glace).
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4. Sachant que l’intensité de la lumière émergeant de la goutte est maximale au minimum de déviation,
expliquer la formation de l’arc-en-ciel lorsque la lumière est blanche. On admet que la variation de l’indice n
avec la longueur d’onde dans le vide satisfait la loi de Cauchy :
n = n0 +
C
λ20
n0 et C étant deux constantes positives.
5. On observe souvent un second arc-en-ciel d’intensité plus faible et inversé par rapport au premier.
Calculer β = D − π. Interpréter sa formation en considérant une seconde réflexion dans la goutte d’eau.
Exercice no 5 : Lentilles minces
1. Rappeler la définition d’une lentille mince.
2. Construire l’image B’ par une lentille mince d’un point objet B situé en dehors de l’axe optique.
3. Rappeler comment est construit le rayon transmis correspondant à un rayon incident sur une lentille
mince.
4. Démontrer les formules de conjugaison de Newton et de Descarte.
Problème : Télescope de Cassegrain
I- Étude d’un miroir sphérique.
On considère le miroir sphérique de rayon R > 0, de centre C et de sommet S représenté sur la figure n˚1.
Figure no 1 : Miroir sphérique de centre C et de sommet S.
1. Montrer que, dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison reliant la position d’un point
objet A sur l’axe à celle de son image A0 est donnée par :
1
1
2
+
=
.
0
SA SA
SC
Les valeurs algébriques horizontales et verticales sont comptées positivement dans le sens des axes représentés
sur la figure n˚1. Cette relation de conjugaison est valable quels que soient les signes des valeurs algébriques
SA, SA0 ou SC.
2. Définir et donner la position des foyers objet F et image F 0 de ce miroir sphérique. On appellera
distance focale f de ce miroir la quantité f = SF . Exprimer f en fonction de SC.
3. On considère un petit objet AB dans un plan perpendiculaire à l’axe optique (cf annexe 1). La position
du point B est repérée par la valeur algébrique AB, qui est positive puisque B est au-dessus de l’axe optique.
Construire, sur l’annexe 1, soigneusement l’image A0 B 0 de AB par le miroir de la figure n˚1.
4. Définir le grandissement transversal γ et l’exprimer en fonction de SA et de SA0 .
5. Dans le cas des observations astronomiques, les objets (étoiles) sont situés à l’infini. Quelle grandeur
caractérise alors la position relative de deux étoiles ?
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Figure no 2 : Utilisation d’un miroir sphérique pour l’observation de deux étoiles.
Les pointillés indiquent la direction de l’étoile B.
6. On désire observer deux étoiles A et B à l’aide du miroir sphérique de la figure n˚2. L’étoile A se situe
dans la direction de l’axe optique et B dans une direction formant un angle α avec l’axe optique. Comme
le montre la figure n˚2, on prendra un angle α non orienté. Sur l’annexe 2, déterminer les positions de leurs
images respectives A0 et B 0 .
7. Exprimer A0 B 0 en fonction de α et des caractéristiques du miroir. Comment a-t-on intérêt à choisir le
rayon de courbure du miroir utilisé ?
8. Discuter des avantages de l’emploi des miroirs dans les télescopes par rapport aux lentilles utilisées
dans les lunettes astronomiques.
II- Étude d’un des télescopes Cassegrain du VLT.
Pour l’observation d’objets célestes, on n’utilise pas un simple miroir sphérique, mais une combinaison de
plusieurs d’entre eux avec des formes différentes. L’objet de cette section est d’étudier un des quatre télescopes
de type Cassegrain faisant partie du Very Large Telescope (VLT). Ce dernier est composé de deux miroirs dont
la surface est une conique :
• un miroir primaire concave de forme parabolique,
• et un miroir secondaire hyperbolique convexe.
Dans un souci de simplification, on peut modéliser chaque miroir par la calotte sphérique tangente à la surface
réelle du miroir. Ainsi, dans les conditions de Gauss, le système réel est équivalent à un télescope formé de
deux miroirs sphériques, dont l’agencement et les caractéristiques numériques sont représentés sur la figure
n˚3.
Figure no 3 : Télescope du VLT en configuration Cassegrain. Le foyer F1 se trouve entre S2 et F2 .
– Le miroir primaire M1 , percé d’un trou de diamètre D, en son centre, est concave, de sommet S1 et de
foyer F1 . On notera f1 sa distance focale, R1 son rayon de courbure et D1 son diamètre.
– Le miroir secondaire M2 est convexe, de sommet S2 et de foyer F2 , situé à une distance e du sommet
S1 . On notera f2 sa distance focale, R2 son rayon de courbure et D2 son diamètre.
Dans toute cette partie, on considère deux étoiles A et B, séparées d’un angle α non orienté, l’étoile A étant
dans la direction de l’axe du télescope et B étant située au-dessus de celui-ci dans le plan de la figure.
1. Déterminer la position des images successives de A par chaque miroir, notées respectivement A0 et A00 .
En particulier, exprimer S2 A00 en fonction de f1 , f2 et e.
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2. Sur le schéma donné en annexe 3, faire une construction soignée et détaillée des images B 0 et B 00 de
B par les miroirs successifs. On fera bien apparaître sur la figure la méthode utilisée.
3. En notant γ le grandissement transversal effectué par le second miroir, exprimer A0 B 0 et A00 B 00 en
fonction de f1 , γ et α.
4. Que représente A00 pour le télescope. Donner l’expression de la focale équivalente f du télescope définie
comme :
|A00 B 00 |
f=
α
en fonction de γ et f1 .
5. Calculer numériquement la position de foyer global du télescope par rapport au sommet S1 , le grandissement γ et la focale équivalente f du télescope. On prendra soin de garder tous les chiffres significatifs
donnés dans le tableau de la figure n˚3. Que vaut la valeur algébrique A00 B 00 dans le cas où les deux étoiles
sont séparées de α = 100 d’arc ?
6. Dans ce cas, où γ > 1, quel est l’avantage de cette configuration par rapport à un miroir unique ?
7. Pour observer les images, on place une caméra CCD dans le plan de front de l’image finale. Cette
caméra est constituée de pixels carrés de 9 µm de côté. Quel est le plus petit angle δα séparant deux étoiles
que l’on peut espérer résoudre avec ce dispositif ?
8. On note αm la valeur de α au delà de laquelle aucun des rayons frappant le miroir primaire n’est
réfléchi par le miroir secondaire. Exprimer αm en fonction des diamètres des miroirs, de e et de f1 (on pourra
utiliser l’annexe 4). En déduire la taille angulaire du champ de ce télescope et faire l’application numérique.
9. En réalité, le champ angulaire total n’est que de 15’ d’arc. De quel élément provient en fait cette
limitation du champ angulaire ?
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