1. Cours 1: Arithmétique dans Ζ - E

1. Cours 1: Arithmétique dans Z
1.1. Divisibilité:
Soient a,bdeux entiers (C.à.d: a; b 2Z)
On dit que bdivise a, s’il exite q2Ztel que a=qb
Exemple 1: L’entier 1divise tout entier a; car a=a:1
Exemple 2: Tout entier bdivise 0;car 0 = 0:b
Exemple 3: L’entier n+ 1 divise n2+n; car n2+n=n(n+ 1)
1.1.1 Remarques:
1) 0ne divise que 0
2) Les seuls diviseurs de 1sont 1et 1:
3) Si bdivise a, on dit aussi que aest un multiple de b
1.1.2 Proposition: Soient aet bdeux entiers (C.à.d: a; b 2Z), alors:
i) adivise b, si et seulement, si bZaZ
ii) a=b, si et seulement, si bZ=aZ
Preuve: Evidente
1.2. Division euclidienne dans Z:
Soient a,bdeux entiers (C.à.d: a; b 2Z)
Si b6= 0 , alors il existe un couple unique (q; r)2Z2tels que
a=qb +ret 0r < jbj
Preuve:a) Pour montrer l’existence, on a deux cas.
a.1) Si b > 0, soit rle plus petit entier naturel de abZ=f:::; a + 2b; a +b; a; a b; a 2b; :::g:
On a r=abq pour un certain q2Zet r0:Pour montrer que r < jbj=b,
on suppose que br, alors on aura 0rb=a(q+ 1) b2abZ, donc
rrb(car rest le plus petit...) ,ce qui est impossible car b > 0:
a.2) Si b < 0, alors b > 0et d’après le cas a.1), il existe (q; r)tel que
a=q(b) + ravec 0r < b; ce qui revient à dire que a= (q)b+ravec
0r < jbj=b
Dans les deux cas : 9(q; r)2Z2tel que a=qb +ret 0r < jbj
b) Pour montrer l’unicité, on suppose que a=qb +r=q1b+r1tels que
0r < jbjet 0r1<jbj:

Alors (qq1):b = (r1r)et  jbj< r1r < jbj, d’où  jbj<(qq1):b < jbj
et en divisant par bon obtient 1<(qq1)<1, c’est à dire qq1= 0 et par
suite r1r= 0
1.3. Sous groupes de (Z;+)
Un sous groupe de (Z;+) est un sous ensemble non vide de Zstable par l’addition
et par passage au symétrique. C.à.d: Un sous ensemble Hde Zest un sous groupe1
de (Z;+) si, et seulement si, H6=;et pour tous x; y 2H:(x+y2Het x2H)
Exemple 1: L’ensemble aZdes multiples de l’enteir aest un sous groupe de
(Z;+).
En e¤et: L’ensemble aZn’est pas vide car il contient l’entier 0(0 = 0:a).
Si x; y 2aZ;c.à.d: x=aq et y=aq0;on voit bien que x+y=a(q+q0)et
x=a(q)sont des éléments de aZ:Par conséquent aZest un sous groupe de
(Z;+) :
Le théorème suivant montre que tous les sous groupes de (Z;+) sont de la
forme aZ:
1.3.1.Théorème: Soit Hun sous groupe de (Z;+) :
Il existe un unique entier naturel a, tel que H=aZ
Preuve: On a deux cas:
1er cas: Si H=f0g:Alors H= 0Zet 0est l’unique entier avéri…ant
aZ=f0g:
2eme cas: Si H6=f0g:Soit ale plus petit entier naturel non nul de H: Comme
Hest un sous groupe de (Z;+) ;alors aq =a+a+::: +a
| {z }
qtermes
2H(car Hest stable
par l’addition) d’où aZH:
Inversement; pour tout x2H, il existe (q; r)2Z2tel que r=xqa; avec
0r < a (Voir 1.2). Comme x2Het qa 2Het Hest un sous groupe , alors
xqa =x+ (qa)2H, c.à.d r2H, et comme 0r < a et aest le plus petit
entier naturel non nul appartenant à H, alors r= 0 . Par conséquent x=aq et
HaZ
Les deux inclusions obtenues donnent l’égalité H=aZ:
Si aZ=a0Z;alors a=a0(voir prop 1.1.2) et comme aet a0sont positifs,
alors a=a0;d’où l’unicité de a:
1Les notions de groupes et de sous groupes vont être étudiées en détail dans le cours 4.
2

1.4. Notions de pgcd et de ppcm.
Soient a1; a2; :::; apdes entiers. On rappelle que
p
\
i=1aiZ=a1Z\a2Z\::: \apZet
p
P
i=1
aiZ=a1Z+a2Z+::: +apZ
1.4.1.Théorème et dé…nition: Soient a1; a2; :::; apdes entiers.
1) Il existe un entier naturel unique dvéri…ant:
p
P
i=1
aiZ=dZ:
2) Il existe un entier naturel unique mvéri…ant: p \
i=1aiZ=mZ:
ds’appelle le plus grand commun diviseur de la famille a1; a2; :::; apet se note
pgcd (a1; a2; :::; ap)
ms’appelle le plus petit commun multiple de la famille a1; a2; :::; apet se note
ppcm (a1; a2; :::; ap)
Preuve:
1) Montrons que
p
P
i=1
aiZest un sous groupe de (Z;+) :
Il est clair que 0 = 0 + 0 + ::: + 0
| {z }
ptermes
2
p
P
i=1
aiZet si x; y 2
p
P
i=1
aiZ;alors x=a1x1+
a2x2+:::+apxpet y=a1y1+a2y2+:::+apypd’où x+y=a1(x1+y1)+a2(x2+y2)+
::: +ap(xp+yp)2
p
P
i=1
aiZet x=a1(x1) + a2(x2) + ::: +ap(xp)2
p
P
i=1
aiZ:
Donc
p
P
i=1
aiZest un sous groupe de (Z;+) et par application du th 1.3.1 on conclut
l’existence et l’unicité de l’entier naturel dvéri…ant
p
P
i=1
aiZ=dZ:
2) Montrons que p \
i=1aiZest un sous groupe de (Z;+) :
Il est clair que 02p \
i=1aiZet si x; y 2p
\
i=1aiZ;alors pour tout i2 f1;2; :::; pg
on a: x2aiZet y2aiZd’où x+y2aiZet x2aiZ:Donc p \
i=1aiZest un sous
groupe de (Z;+) et par application du th 1.3.1 on conclut l’existence et l’unicité
de l’entier naturel mvéri…ant p \
i=1aiZ=mZ:
Exemple 1: 4Z=f:::; 12;8;4;0;4;8;12; :::get 6Z=f:::; 12;6;0;6;12; :::g
alors 4Z\6Z= 12Zdonc ppcm(4;6) = 12
Exemple 2: aZ=f:::; 3a; 2a; a; 0; a; 2a; 3a; :::get 0Z=f0galors aZ+0Z=
3

aZdonc pgcd(a; 0) = a
1.4.2 Remarque: pgcd (a1; a2; :::; ap)et ppcm (a1; a2; :::; ap)sont, parfois, notés
respectivement a1^a2^::: ^apet a1_a2_::: _ap
1.4.3 Théorème (Caractérisation du pgcd et du ppcm): Soient a1; a2; :::; ap
des entiers.
1) L’entier naturel dest le pgcd (a1; a2; :::; ap), si et seulement, si
i) ddivise tous les ai
ii) Si d0divise tous les ai;alors d0divise d
2) L’entier naturel mest le ppcm (a1; a2; :::; ap), si et seulement, si
i) Tous les aidivisent m
ii) Si tous les aidivisent m0;alors mdivise m0
Preuve:1) i) Si d=pgcd (a1; a2; :::; ap);alors pour tout les ion a: aiZ
p
P
i=1
aiZ=dZ
donc, d’après la prop1.1.1, ddivise tous les ai:
ii) Si d0divise tous les ai;alors, d’après la prop 1.1.1, aiZd0Zpour tout i
, d’où d0Z
p
P
i=1
aiZ=dZet toujours d’après la prop 1.1.1 d0divise d:
Inversement, soit dun entier naturel véri…ant i) et ii). D’après i), ddivise
tous les aidonc aiZdZet
p
P
i=1
aiZdZ;d’où ddivise pgcd (a1; a2; :::; ap):En
utilisant ii) et le fait que pgcd (a1; a2; :::; ap)divise tous les ai;on conclut que
pgcd (a1; a2; :::; ap)divise d, d’où l’égalité pgcd (a1; a2; :::; ap) = dcar ils sont tous
les deux positifs.
L’assertion 2) se démontre de la même façon que 1).
Exemple: pgcd (1; a)=1car 1est l’entier naturel divise 1et aet tout autre
diviseur commun de 1et adivise 1
1.4.4 Propriétés du pgcd et du ppcm:Soient a1; a2; :::; apdes entiers.
1) Le pgcd et le ppcm ne changent pas en permuttant les ai
2) pgcd (a1;a2; :::; ap) = pgcd (a1; a2; :::; ap)
et ppcm (a1;a2; :::; ap) = ppcm (a1; a2; :::; ap)
3) Pour tout c2Zon a pgcd (ca1; ca2; :::; cap) = jcjpgcd (a1; a2; :::; ap)et
ppcm (ca1; ca2; :::; cap) = jcjppcm (a1; a2; :::; ap)
4) Pour tout q2 f1;2; :::; p 1g, on a:
pgcd (a1; a2; :::; ap) = pgcd (pgcd (a1; a2; :::; aq); pgcd (aq+1; aq+2; :::; ap))
et ppcm (a1; a2; :::; ap) = ppcm (ppcm (a1; a2; :::; aq); ppcm (aq+1; aq+2; :::; ap))
4

(C.à. d pgcd et ppcm sont associatifs)
Preuve:On se restrient au cas du pgcd car la preuve est analogue pour le ppcm:
1) La somme
p
P
i=1
aiZne change pas en permuttant les aid’où le résultat.
2) Pour tout i, on a aiZ=aiZ, donc
p
P
i=1
aiZne change pas en remplaçant
les aipar ai;d’où le résultat.
3) Pour tout i, on a caiZ=caiZ=jcjaiZ, donc
p
P
i=1
caiZ=jcj
p
P
i=1
aiZ,d’où
le résultat, par appliction de la prop 1.1.1.
4)
p
P
i=1
aiZ=
q
P
i=1
aiZ+
p
P
i=q+1
aiZ;donc le pgcd est associatif.
Exemple: pgcd (2;4;26) = pgcd (2;4;26) = pgcd (pgcd (2;4) ; pgcd (26))
=pgcd (2pgcd (1;2) ;26) = pgcd (2;26) = 2pgcd (1;13) = 2
1.4.5 Algorithme d’Euclide: Il est facile de montrer que pgcd (a; b) = pgcd (b; r);
si a; b; q; r sont des entiers véri…ant a=qb +r:
En particulier, pgcd (a; b) = pgcd (b; r), si rest le reste de la division euclidienne
de apar b: Par conséquent, on peut calculer le pgcd; en passant, chaque fois que
possible, de pgcd (a; b)àpgcd (b; r)et en tenant compte que pgcd (a; 0) = a, .
Le procédé itératif, ainsi décrit, s’appelle l’algorithme d’Euclide.
Exemple: Calculons pgcd (12;9) :
pgcd (12;9) = pgcd (9;3) = pgcd (3;0) = 3
1.5. Nombres premiers entre eux
1.5.1 Dé…nition: Soient a1; a2; :::; aqdes entiers.
1) On dit que a1; a2; :::; aqsont premiers entre eux si, a1^a2^::: ^aq= 1:
2) On dit que a1; a2; :::; aqsont deux à deux premiers entre eux si ai^aj= 1;
chaque fois que i6=j
1.5.1.1 Remarque: 2) implique 1) . En e¤et: On a, d’après ptés 1.4.4, 4
a1^a2^::: ^aq= (a1^a2)^a3^::: ^aq= 1 ^a3^::: ^aq= 1.
La réciproque est trivialement fausse.
Exemple: Soit d=pgcd (a; b):Si d6= 0 , alors a0=a
det b0=b dsont premiers
entre eux.
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