Résumé 01 : Algèbre Linéaire (I) Le langage

2014/2015
MP, Lycée Berthollet
http://mpberthollet.wordpress.com
Résumé 01 : Algèbre Linéaire (I)
Dans tout ce chapitre, Ksera le corps Rou C, et Esera un espace vectoriel sur K.
Vous remarquerez les grandes similitudes qui existent entre les espaces vectoriels de dimension finie
et les ensembles de cardinal fini, notamment en ce qui concerne les sous-espaces (puis les applications
pour le cours à suivre).
Le langage
Honnêtement, il est très peu probable que l’on vous demande un jour de restituer la définition d’un
K−espace vectoriel , en revanche il est indispensable de connaître celle des sous-espaces vectoriels :
Définition .1
Soit Eun K−espace vectoriel et F⊂E.Fest un sous espace vectoriel de Elorsque
1. 0E∈E,
2. pour tous x, y ∈Eet tout α, β ∈K,α.x +β.y ∈E.
EXEMPLES
–..d’ espaces vectoriels : Rn,Rn,Mn,p(R),F(X, E), où Eest un K- espace vectoriel
,R[X],Rn[X]. Evidemment on obtient des C- espaces vectoriels en remplaçant Rpar Cdans
ces exemples.
–..de sous-espaces vectoriels :
B{OE}et Esont des sous-espaces vectoriels de Edits triviaux.
BDans l’espace, les droites et les plans vectoriels fournissent des exemples.
BTout ensemble de solutions d’un système linéaire homogène à nvariables est un
sous-espace vectoriel de Rn.
BTout ensemble de solutions d’une équation différentielle homogène d’ordre 1ou 2est un
sous-espace vectoriel de F(I, R).
Grosso modo, un espace vectoriel est un ensemble dans lequel on peut faire des combinaisons
linéaires. Ne nous gênons pas :
Définition .2 ( combinaisons linéaires )
Si F= (ei)i∈Iest une famille éventuellement infinie de vecteurs, on appelle combinaison li-
néaire de F, tout vecteur yde Epour lequel il existe une suite presque nulle de scalaires (λi)i∈I
tels que y=X
i∈I
λi.ei.1
On note Vect (F)l’ensemble de ces combinaisons linéaires .
Ainsi, si F= (e1, . . . , ep)est une famille finie,
Vect (e1, . . . , ep) = (p
X
i=1
xiei,où xi∈K).
La propriété suivante précise l’affirmation selon laquelle Vect Fest le plus petit sous-espace vec-
toriel de Econtenant F:
Résumé 01 : sous-espace vectoriel , famille Page 1/5

2014/2015
MP, Lycée Berthollet
http://mpberthollet.wordpress.com
Propriétés .3 (de Vect )
Soit Fune famille de vecteurs de E. Alors
1. Vect (F)est un sous-espace vectoriel de E.
2. Soit Fun sous-espace vectoriel de Econtenant la famille F. Alors
Vect (F)⊂F.
On dit que Vect (F)est le sous-espace vectoriel engendré par la famille F, et Fest appelée
famille génératrice de Esi E=Vect F.
Les propriétés suivantes sont utiles lorsque l’on cherche à extraire d’une famille génératrice de E
une base de E:
Proposition .4
1. Vect (e1, . . . , ep)est conservé par les trois opérations élémentaires.
2. ep+1 ∈Vect (e1, . . . , ep)⇐⇒ Vect (e1, . . . , ep, ep+1) = Vect (e1, . . . , ep).
Familles libres et génératrices
Définition .5
Soit n∈N∗et F:= (e1, . . . , en)une famille de nvecteurs de E. On dira que cette famille est
•génératrice de Elorsque
Pour tout X∈E, il existe x1, . . . , xn∈Ktels que X=x1e1+. . . +xnen.
•libre lorsque
Pour tout x1, . . . , xn∈K,n
X
i=1
xiei= 0,=⇒x1=. . . =xn= 0.
•une base de E lorsqu’elle est libre et génératrice. On peut ainsi condenser les deux propriétés
ainsi : Fest une base de Esi et seulement si
Pour tout X∈E, il existe un unique(x1, . . . , xn)∈Kntels que X=x1e1+. . . +xnen.
Résumé 01 : sous-espace vectoriel , famille Page 2/5

2014/2015
MP, Lycée Berthollet
http://mpberthollet.wordpress.com
Remarques :
Ainsi, Fest génératrice de Essi E=Vect (e1, . . . , en), et elle est libre ssi la seule combinaison
linéaire nulle de vecteurs de Fest la combinaison trivialement nulle.
On peut unifier ces trois définitions en remarquant qu’elles correspondent respectivement à la
surjectivité, l’injectivité et la bijectivité de l’application linéaire
ψ: (x1, . . . , xn)∈Kn7→
n
X
i=1
xiei∈E.
EXEMPLES
• ∀n∈N∗, la famille de nvecteurs 
1
0
.
.
.
0
,
0
1
.
.
.
0
,...,
0
0
.
.
.
1
.est une base du
K−espace vectoriel Kn, appelée base canonique.
• ∀n∈N, la famille (1, X, X2, . . . , Xn)est une base appelée base canonique de Kn[X].
•Soit (P0, P1, . . . , Pn)une famille de n+ 1 polynômes de R[X]qui vérifie deg Pi=ipour
tout 06i6n. Alors c’est une famille libre de K[X].
•Dans l’ensemble Mn,p(K)des matrices à nlignes et pcolonnes, la famille de np matrices
Eij 16i,j6n, où Eij est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situé en
(i, j)qui vaut 1, est une base de Mn,p(K)dite base canonique.
Les bases ont un intérêt central pour la raison suivante :
Proposition .6 (Coordonnées dans une base)
Soit (e1, . . . , en)une base de nvecteurs de E. Alors, pour tout X∈E, il existe un unique n−uplet
(x1, . . . , xn)∈Kntel que X=Pn
i=1 xiei. Ce n−uplet est appelé coordonnées de Xdans la base
(e1, . . . , en).
La dimension finie
Un K−espace vectoriel est dit de dimension finie lorsqu’il existe n∈N∗et une famille Ede n
vecteurs de Etelle que Vect E=E.
Théorème .7
Soit Eun K−espace vectoriel de dimension finie.
1. Epossède une base (en fait, une infinité).
2. Toutes les bases de Epossèdent le même nombre d’éléments.
Résumé 01 : sous-espace vectoriel , famille Page 3/5

2014/2015
MP, Lycée Berthollet
http://mpberthollet.wordpress.com
On appelle dimension de Ele cardinal de l’une quelconque de ses bases.
On dira qu’un espace vectoriel qui ne contient qu’un élément (son neutre pour +!) est de dimension nulle.
EXEMPLES
•Pour tout n∈N∗,Knest un K−espace vectoriel de dimension n.
•Pour tout n∈N,Kn[X]est un K−espace vectoriel de dimension n+ 1.
•C2est un C−espace vectoriel de dimension 2, mais c’est aussi un R−espace vectoriel de
dimension 4. De manière générale, un C−espace vectoriel de dimension nest un R−espace
vectoriel de dimension 2n(montrez-le).
•Pour tout n, p ∈N∗,Mn,p(K)est un K−e.v de dimension np.
•Pour tout vecteur Xnon nul de E, Vect(X)est de dimension 1, i.e c’est une droite. On la
note aussi K.X On appelle plan tout espace vectoriel de dimension 2.
•Si Eet Fsont deux K−espaces vectoriels de dimension finie, alors E×Fl’est aussi et
dim E×F= dim E+ dim F.
On peut traduire la liberté d’une famille avec le seule notion de rang :
Proposition .8 (Rang d’une famille de vecteurs)
Pour toute famille (e1, . . . , ep)de vecteurs de E, on appelle
Rang (e1, . . . , ep) = dim Vect (e1, . . . , ep).
On a alors
1. Rang (e1, . . . , ep)6p.
2. Rang (e1, . . . , ep) = p⇐⇒ (e1,...ep)est libre.
La dimension comme cardinal limite. Une famille libre de cardinal maximal est une base, et une
famille génératrice de cardinal minimal est une base :
Proposition .9
Soient k∈N∗,Eun K−ev de dimension finie et Fune famille de kvecteurs de E.
Si Fest libre, alors k6dim E
Si Fest libre et k= dim E, alors Fest une base. .
Si Fest génératrice, alors k>dim E
Si Fest génératrice et k= dim E, alors Fest une base. .
Enfin, un résultat très utile, qui permet de construire des bases dont les premiers vecteurs sont
prescrits :
Théorème .10 (Base incomplète)
Soit Eun K−espace vectoriel de dimension n∈N∗, et (e1, . . . , ep)une famille libre de vecteurs de
E. Alors il existe ep+1, . . . , en∈Etels que (e1, . . . , ep, ep+1, . . . , en)soit une base de E.
Résumé 01 : sous-espace vectoriel , famille Page 4/5

2014/2015
MP, Lycée Berthollet
http://mpberthollet.wordpress.com
Dimension et sous-espaces
Propriétés .11 (Croissance de la Dimension)
Soit Eun K−espace vectoriel de dimension net Fun sous-espace vectoriel de E. Alors
•Fest de dimension finie, et dim F6dim E.
•Si dim F= dim E, alors F=E.
Ce dernier résultat nous dispensera pour prouver l’égalité de deux espaces vectoriels de montrer une des
deux inclusions ; on substituera celle-ci à l’égalité des dimensions.
Définition .12 (Somme et intersection de sev)
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un K−ev E. Alors
1. F∩Gest un sous-espace vectoriel de E.
2. F+G={x+yoù x∈F, y ∈G}est un sous-espace vectoriel de E. On a l’égalité de
sous-espaces vectoriels suivante : F+G=Vect (F∪G).
3. Fet Gsont dits en somme directe lorsque F∩G={0}. On note alors leur somme F⊕G.
A nouveau, ce résultat devrait rappeler à votre mémoire le cardinal d’une union de parties finies :
Proposition .13 (Dimension d’une somme)
Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel Ede dimension finie. Alors
•dim F+G= dim F+ dim G−dim F∩G.
•Fet Gsont en somme directe ssi dim F+G= dim F+ dim G.
Définition .14 (Supplémentaires)
Deux sous-espaces vectoriels Fet Gde Esont supplémentaires dans Elorsque E=F+Get
F∩G={0}. On note alors F⊕G=E.
On appellera hyperplan tout sous-espace vectoriel qui admet une droite comme supplémentaire.
En termes de décomposition, cela donne :
E=F⊕G⇐⇒ ∀z∈E, ∃un unique couple (x, y)∈F×Gtel que z=x+y.
Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel Ede dimension finie possède un supplémentaire
(une infinité en fait).
Proposition .15 (Caractérisation des supplémentaires)
Si Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels quelconques de E, nous avons l’équivalence entre les
trois propriétés suivantes :
–F⊕G=E;
–F+G=Eet dim F+ dim G= dim E.
–F∩G={0E}et dim F+ dim G= dim E.
–∀z∈E, ∃!(x, y)∈F×Gtel que z=x+y.
Résumé 01 : sous-espace vectoriel , famille Page 5/5