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Gourdon - Errata

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Errata des Gourdons
1er juillet 2006
Tome analyse
– p. 22 : dans l’exo 1.d., on suit la méthode générale exposée dans l’exercice suivant
(l’exo 2), ce qui est un peu maladroit.
– p. 51 : dans l’énoncé de l’exo 2, c’est K et pas K
– p. 97 : dans l’énoncé de l’exo 3, c’est µ ∈ R et non λ ∈ R
– p. 161 : la remarque 2 est fausse. Pour une démonstration correcte, voir la remarque
(2) page 24 de http://www-mathinfo.u-strasbg.fr/externes/agregation/documents/
anmann.ps
– p. 230 : dans la définition des polynôme de Bernstein, cest xk (A − x)n−k et pas
xk (1 − x)k .
2
k/n − x
mais (k/n − x)2 .
– p. 231 : dans (∗∗), ce n’est pas
η
– p. 267 : dans le problème 3, l’auteur de la méthode s’appelle Papadimitriou et
non Papadimitrou.
Z π
Z π
et non
– p. 282 : dans la première formule de la question b, c’est
−π
π
1
1
– p. 287 : tout en haut de la page, c’est hxa , xb i = a+b+1
et non a+b
.
– p. 307 : dans la premièreZformule de la solution
de
la
question
a
de l’exercice 4, il
Z
1
1
faut lire F (x, y) =
. . . et non
...
y−x
x−y
– p. 368 : dans l’astuce de calcul du bas de la page, il faut supposer p de classe C 1
sinon la solution z de 2z 0 + pz = 0 n’est pas C 2
– p. 370 : dans l’énoncé de la question 2.a., il n’y a pas unicité du zéro de y. Non
seulement, il ne le démontre pas dans la correction, mais en plus c’est faux comme
le montre l’exemple de x(t) = cos(2t) et y(t) = cos(13t) (ici, r(t) = 4 et s(t) = 169).
– p. 401 : dans l’énoncé de la condition (ii) de la question 2.b, c’est x ∈ H et non
x ∈ E.
– p. 402 : dans l’énoncé de l’inégalité de Bessel de la question 4.a, c’est ||w||2 et non
||w|| qui est ≤ ||v||2 .
1
Tome algèbre
– p. 28 : dans la remarque juste avant le § 3, la référence est l’exercice 9 et non
l’exercice 8.
– p. 40 : dans la solution du problème 7, la référence est l’exercice 9 du § 2.5 et non
l’exercice 8.
– p. 42 : dans la solution de la question 2.b, c’est le théorème 8 de la partie 2.4 qu’on
utilise, pas le théorème 6.
– p. 93 : à la fin de la correction de la question 1.b, il faut lire « C[X] donc dans Z[X] »
et non « C[X] dans dans Z[X] »
– p. 93 : dans la correction de la question 2.a il utilise sans le dire le fait que c(Φn ) = 1
vu que Φn est unitaire.
– p. 94 : dans l’énoncé de la question c du problème 10, c’est Card(K∗ ) = q − 1 +
X
qn − 1
qn − 1
et non
.
λd d
q −1
q−1
d|n,d6=n
– p. 109 : dans l’énoncé de la proposition 4, un détail important n’est pas répété de
la définition 6 : la famille (λi )i∈I doit être presque nulle.
– p. 113 : dans le premier cas de la démonstration de la proposition 3, on ne peut
conclure de λx x = λx0 x que λx = λx0 qu’à la condition que x 6= 0. Lorsque x = 0,
on a f (x) = 0 et donc le choix de λx n’a pas d’importance, donc on peut prendre
λx0 si on veut.
– p. 117 : dans la correction de l’exercice 6, il faut lire g(u) = u et g(f (u)) = u + f (u)
et non g(f (u)) = u. Puisque u 6= 0, on est alors sûr que g(f (u)) et f (g(u)) sont
distincts, ce qui contredit le fait que f commute avec g.
– p. 122 : dans l’énoncé de la proposition 7, il y a une petite subtilité passée sous silence
dans l’égalité tr p = rg p. En effet, trp ∈ K mais rg p ∈ N et donc, rigoureusement
parlant, on ne peut écrire l’égalité qu’à la condition que N ⊂ K, c’est-à-dire en
caractéristique nulle. Si on écrit l’égalité sous la forme tr p = (rg p)1K , elle devient
juste même en caractéristique positive.
– p. 125 : on ne peut utiliser le fait que tr p = rg p qu’en caractéristique nulle. De fait,
la démonstration n’est pas valable en caractéristique positive, comme le montre
l’exemple suivant. On pose ` = car K, et on prend p1 = . . . = p`+1 = ( 10 00 ) de sorte
que le produit de pj distinct est non nul égal à ( 10 00 ) mais que p1 + . . . + p`+1 = ( 10 00 )
est bien un projecteur.
– p. 134 : dans la correction de la question c de l’exercice 5, on supposer implicitement
que car K 6= 2 vu que l’on divise par 2.
– p. 158 : dans la correction de la question b du problème 10, F (X1 , . . . , Xp ) est définie
par det(X1 P1 + . . . + Xp Pp ) et non par det(X1 P1 + . . . + Xp Xp )
– p. 161 : en haut de la page, dans la définition du polynôme PA , le coefficient de X
est (−1)n−1 βn−1 et non (−1)n−1
– p. 171 : dans la remarque de la correction de l’exercide 6, lire « prendre par exemple
pour L le corps K(X) » et non « prendre par exemple pour L le corps des frations
de K » (K étant un corps, son corps des fractions est égal à lui-mêmes ; il veut dire
2
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
le corps des fractions rationnelles sur K).
p. 174 : le numéro affecté au théorème de Cayley-Hamilton devrait être 3 au lieu de
2 (le théorème 2 étant à la page précédente).
p. 176 : dans l’énoncé de l’exercice, il faut supposer E de dimension finie, sinon on
ne peut pas appliquer le théorème 2.
p. 177 : dans la correction de la question 2.b de l’exercice 3, on peut ne pas éviter
d’utiliser la relation de Bézout en remarquant que P (f )(x + y) = P (f )(x) + P (f )(y)
avec P (f )(x) ∈ Ex et P (f )(y) ∈ Ey .
p. 190 : à l’avant-dernière ligne, il faut lire « Πf ne diviser pas P » et non « Πf ne
diviser pas Πf »
p. 194 : dans le deuxième paragraphe de la page, B est une base de diagonalisation
de d, pas une base de trigonalisation.
p. 196 : à la première ligne du 3), c’est i,1 , . . . , i,si et non i,qi .
p. 196 : dans le 3), la dernière ligne du tableau est fausse. Il faut retrancher 1 à
tous les exposant affectant u de cette ligne (par exemple, ur (x) = 0 et donc aucun
élément de la forme ur (er,j ) ne saurait être dans une base).
p. 220 : dans le troisième paragraphe de la condition nécessaire de la correction de
la question 1.c, il faut lire « et donc M N (f )(x) = 0 » et non « et donc x = 0 ».
p. 220 : dans le deuxième paragraphe de la condition suffisante de la correction de
la question 1.c, il faut lire « F ∩ Fi stable par fi » et non « F ∩ Fi stable par Fi ».
p. 221 : dans la condition nécessaire de la correction de la question 2.a, lire « M10 (α) 6=
0 » et non « M 0 1(α) 6= 0 »
p. 221 : dans la condition suffisante de la correction de la question 2.a, lire « le polynôme minimal de M dans C[X] est le même que dans R[X] » et non « le polynôme
minimal de M dans C[X] est la même que dans R[X]
»
Z
1
– p. 262 : dans l’énoncé de l’exercice 5, il faut lire
Z 1
2
(1 + a1 x + . . . + an xn )2
0
(1 + a1 x + . . . + an xn )2 et non
0
– p. 276 : au bas de la page, dans la première ligne du calcul de A + B, lire « −3(α2 β +
β 2 γ + γ 2 α + α2 γ + αβ 2 + βγ 2 ) » au lieu de « −3(α2 β + β 2 γ + γ 2 α) ».
– p. 281 : dans le deuxième paragraphe de la page (juste avant la partie unitié), il faut
lire f|G et non F|G .
3
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