LES ANGLES À L`ÉCOLE

◆ QU’EST-CE QU’UN ANGLE ?
La question n’est pas aussi simple qu’elle peut intuitivement
paraître. De nombreux manuels de géométrie (XXesiècle et anté-
rieurs) s’en tiennent à une définition du type «figure formée de
deux droites sécantes (ou bien: de deux demi-droites de même
origine)» assortie du critère «deux angles sont égaux si on peut
les faire coïncider». Cet abord est insatisfaisant, pour plusieurs
raisons:
1. Une droite (ou une demi-droite) n’est pas un objet d’expé-
rience, c’est-à-dire manipulable ou constructible à l’école. Il est
préférable ici de s’en tenir à des objets limités (segments, por-
tion de surface).
2. Ce type de définition engendre plusieurs ambiguïtés.
* CNFEI : Centre
national d’études
et de formation
pour l’enfance
inadaptée.
LES ANGLES À L’ÉCOLE
par François BOULE
professeur de mathématiques
au CNFEI*
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Mars 2005, n° 55
O
O1
2
1
2
34a
b
O
x
y
fig. 1 a fig. 1 b fig. 2 a fig. 2 b fig. 2 c
• Fig. 1: les droites sécantes délimitent quatre portions de
plan; on peut se convaincre que les portions 1 et 2 (resp. 3 et 4)
sont superposables par un demi-tour; il reste à choisir entre
l’une et l’autre portion de plan.
• Fig. 2: deux demi-droites délimitent elles aussi deux portions
de plan (1 et 2).
• Si l’on veut s’exprimer en terme de rotation, il convient de
choisir la rotation (de centre O) qui porte Oxsur Oy, ou bien la
rotation qui porte Oysur Ox(fig. 2 c); il est alors question
d’angles orientés.
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Les revues pédagogiques
de la Mission laïque française
Activités mathématiques et scientifiques
Pour lever les ambiguïtés suscitées par une définition par
lignes, on peut faire intervenir la superposition et des gabarits.
1. L’indication du
niveau scolaire est
entre crochets.
A
B
G
fig. 3
Par déplacement, le gabarit G peut être superposé aux por-
tions A et B des deux surfaces représentées ci-dessus. On dispose
ainsi d’un premier moyen de définir les angles A et B et d’affir-
mer leur égalité.
◆ EXEMPLES D’ACTIVITÉS1
ANGLES D’UN TRIANGLE [C.E.]
Reproduire une dizaine d’exemplaires (en carton, si possible
de couleurs variées) d’un triangle «quelconque». Peut-on dispo-
ser ces triangles de façon à recouvrir une surface (pavage) sans
interstice, ni chevauchement? Quelle observation en résulte-t-il ?
fig. 4 a fig. 4 b
Cette manipulation conduit à une solution (fig. 4. b) que l’on
a représentée en utilisant deux couleurs. On fait ainsi apparaître
le motif et les translations génératrices de ce pavage régulier: le
motif est un parallélogramme constitué de deux triangles
(fig.5a). Mais ce n’est pas la seule observation. Un nœud du
pavage est le sommet de six angles: les trois angles du triangle,
chacun en deux exemplaires (fig. 5 b). On peut donc en
conclure que l’ensemble des trois angles d’un triangle constitue
un angle plat (demi-tour).
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Une autre manipulation va permettre de retrouver ce résultat,
et quelques autres [C.M.].
Reprenons un triangle «quelconque», en papier (et un peu
plus grand).
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Mars 2005, n° 55
fig. 5 a fig. 5 b
a
bcb
a
a
bc
H
A
BC
A
fig. 6 a fig. 6 b fig. 6 c
Il existe un pliage passant par le sommet A, qui porte le côté
opposé sur lui-même (fig. 6 b). On fait apparaître ainsi le point
H, que l’on appelle le pied de la hauteur (issue de A). Les deux
triangles de part et d’autre de AH étant superposables, les angles
en H sont égaux. Ils constituent à eux deux un angle plat.
La moitié d’un angle plat est un angle droit. On dit aussi que
AH est perpendiculaire au côté BC.
Replions maintenant les trois sommets du triangle, tous sur H.
On fait apparaître ainsi des triangles deux à deux superposables;
ce qui revient à constater que les trois angles du triangle
viennent se juxtaposer en H. C’est une autre façon de montrer
que ces trois angles constituent un angle plat.
Mais observons encore la figure obtenue après pliage: c’est un
rectangle. Et il y a partout deux épaisseurs de papier: l’aire du
triangle est le double de celle de ce rectangle. Or ce rectangle a
pour côtés d’une part la moitié de la hauteur issue de A, d’autre
part la moitié du côté opposé à A. On peut donc affirmer:
Aire du triangledemi-produit d’un côté par la hauteur correspon-
dante.
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Activités mathématiques et scientifiques
ANGLES D’UN QUADRILATÈRE
Il est un cas bien simple: c’est celui du carré. Il n’y a guère que
deux façons de paver avec des carrés d’une seule taille.
fig. 7 a fig. 7 b
Tous les angles d’un carré sont égaux. Les deux solutions
conduisent à la même observation: l’angle du carré est un angle
droit (demi-angle plat). Le rectangle n’est guère plus mysté-
rieux, quoique les pavages rectangulaires soient nettement plus
nombreux. Exemples (dans le cas d’un rectangle 21):
fig. 8
La conclusion est la même: tous les angles sont droits. Et avec
un quadrilatère «quelconque»?
[C.M.] Fabriquons, comme au paragraphe précédent plu-
sieurs exemplaires d’un quadrilatère «quelconque» (mais sans
angle rentrant). Peut-on paver le plan avec ces carreaux ? La
solution est un peu plus difficile à trouver (fig. 9 b).
fig. 9 a fig. 9 b fig. 9 c
L’examen de tous les angles ayant pour sommet un nœud per-
met de conclure que: la somme des angles d’un quadrilatère «quel-
conque» (sans angle rentrant) est un tour complet.
On peut se poser la question pour des pentagones, des hexa-
gones…
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Mais c’est beaucoup moins simple parce que tous les penta-
gones ne permettent pas de paver le plan, et tous les hexagones
non plus. Nous verrons plus tard un pavage qui associe trois
figures classiques, et les observations qu’on peut en tirer.
TRACER, CONSTRUIRE DES ANGLES
• Les gabarits
Un gabarit est un objet (papier, carton, métal) qui permet de
vérifier la valeur d’un angle, ou de comparer deux angles, ou de
construire un nouvel angle. Le plus simple est l’angle droit:
n’importe quel coin d’une feuille rectangulaire est un gabarit
d’angle droit.
Si l’on n’a pas de rectangle sous la main, on peut aussi en
fabriquer par pliage [C.E.].
Partons par exemple d’un disque (fig. 10 a) que l’on peut
obtenir par exemple par la trace d’une assiette sur une feuille.
On plie cette feuille une première fois, selon un diamètre; puis
on replie ce pli sur lui-même (fig. 10 b); on obtient un gabarit à
angle droit (fig. 10 c) ou équerre.
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plier
plier
déplier
fig. 10 a fig. 10 b fig. 10 c fig. 10 d
En dépliant, on retrouve le disque, dont on a fait apparaître
deux diamètres perpendiculaires, qui se rencontrent au centre du
disque (fig. 10 d). En pliant une fois de plus, on obtiendrait un
demi-angle droit.
Il est habituel de diviser le cercle entier en 360 degrés. On dit
alors que l’angle plat mesure 180°, et l’angle droit (demi-angle
plat) mesure 90°. Il y a plusieurs façons d’obtenir un gabarit à 60°
(tiers d’angle plat).
On peut construire (au compas et à la règle) un triangle équi-
latéral, puis découper.
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