1 Vidange d`un réservoir - PCSI

1
Vidange d’un réservoir
1. L’écoulement étant incompressible et homogène, le débit volumique se conserve entre la section d’entrée
de surface S et la section de sortie s du tube, d’où : V (t)S = v(t)s. De plus, la vitesse de la surface libre
dh
→
= −V (t), et donc :
repérée par z = h(t)−
u z est donnée par
dt
v(t) =
S
S dh
V (t) = −
s
s dt
et comme s S, V (t) v(t) et on pourra négliger V (t) devant v(t) dans toute la suite.
2. L’écoulement est incompressible, homogène et parfait mais n’est pas stationnaire. Cependant d’après le
résultat de la question précédente la vitesse de variation de la hauteur d’eau dans le réservoir est très
faible devant la vitesse d’éjection du fluide. On peut donc considérer le régime comme quasi-stationnaire.
On peut alors appliquer la relation de Bernoullientre les points A et B, le long d’une ligne de courant :
PB
v2
PA
v2
+ gzB + B =
+ gzA + A
µ
2
µ
2
Or PA = PB = P0 , za − zB = h, vA = V et vB = v, d’où :
v 2 − V 2 = 2gh
3. Le lien entre
v=
soit
p
2gh
puisque V v
dh
et v(t) permet d’établir l’équation différentielle vérifiée par h(t) :
dt
dh
s
sp
= −V = − v(t) = −
2gh
dt
S
S
Séparons les variables pour pouvoir faire l’intégration de cette équation :
dh
s
√ =−
S
2 h
s
g
dt
2
√
soit
h−
p
s
h0 = −
S
s
g
t
2
Le temps de vidange T est obtenu lorsque h(T ) = 0, soit lorsque :
S
T =
s
s
2h0
g
Nous pouvons vérifier la pertinence du résultat : T croît si g diminue (la pesanteur est le moteur de la
vidange), si S augmente (il y a davantage d’eau à évacuer) et si s diminue (la finesse du tuyau de sortie
limite la vidange).
Le rôle
√ de h0 est plus subtil car h0 fait croître linéairement le volume d’eau à évacuer, mais fait croître
en h0 la vitesse d’éjection v ; l’expression de T montre que c’est le premier effet qui l’emporte, mais le
second effet explique que T ne soit pas proportionnel à h0 .
4. Si la section s est trop faible, le modèle de l’écoulement parfait n’est pas correct car la viscosité joue un
rôle important dans le tube de sortie : ni l’équation d’Euler, ni le théorème de Bernoulli ne sont valables
dans ce cas.
Pour évaluer le rayon R critique en dessous duquel la viscosité joue un rôle important, il suffit de
comparer les forces volumiques de viscosité intégrées sur la longueur du tube où elles interviennent aux
forces volumiques de pesanteur intégrées sur la hauteur h0 du réservoir (on compare alors des énergies) :
√
p
→
ηL 2
||η∆−
v ||L ηL(v/R 2 ) ηL 2gh0
'
' p
'
→
µgh0
µgh0 R 2
||µ −
g ||h0
µ gh0 R 2
Le critère pour pouvoir négliger la viscosité est obtenu lorsque le rapport précédent est très petit devant
1, soit pour :
v
√
u
u ηL 2
t
p
R Rc =
' 0.12mm
µ gh0
1
2
Perte de charge singulière
1. Système ouvert : fluide compris entre S1 et S2 (voir schéma).
Système fermé : Σ∗ (t) = Σ(t) ∪ Σ2 et Σ∗ (t + dt) = Σ(t + dt) ∪ Σ1 .
Bilan de quantité de mouvement en régime stationnaire projeté sur l’axe horizontal :
dp∗x
δm
δm
=
v1 −
v2
dt
dt
dt
dp∗x
= µv1 S1 v1 − µv2 S2 v2
dt
Loi de la quantité de mouvement appliquée au système fermé projetée sur l’axe horizontal :
dp∗x
= P1 S1 − P2 S2
dt
µS1 v12 − µS2 v22 = P1 S1 − P2 S2
2. La présence de zones d’eaux mortes vient du caractère réel de l’écoulement. Celui ne peut être considéré
comme parfait et donc la relation de Bernoulli ne peut pas s’appliquer le long d’une ligne de courant.
3. Perte de charge :
1
1
P1 + µv12 − P2 + µv22
2
2
2
2
v µ
S1
= 1
1−
2g
S2
∆Ptot =
4. On observerait une chute de pression et non une montée de pression, l’origine de la perte de charge étant
une dissipation d’énergie mécanique, c’est une action non conservative qui agit sur le système. Pour un
coulement en sens inverse, les zones d’eaux mortes seraient également différentes.
3
Fusée
1. La masse du système constitué de la fusée et son contenu constituent un système ouvert (So ) puisque sa
masse m(t) diminue au cours du temps.
2. A l’instant t, le système fermé (Sf ) correspond à la fusée et à son contenu à l’instant t
A l’instant t + δt, le système (Sf ) correspond à la fusée et à son contenu à l’instant t + δt et à la masse
sortie de la fusée entre t et t + δt.
3. La masse éjectée entre les instant t et t + δt vaut Dm δt donc
m(t) = m0 − Dm t
2
4. A l’instant t, la quantité de mouvement du système fermé (Sf ) vaut :
−
→
→
p f (t) = m(t)−
v (t)
→
→
A l’instant t + δt, la masse δm = Dm δt de gaz éjecté a une vitesse −
v (t) + −
u (on
remarquera que
−
→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
v (t) = v u z et u = −u u z ) et donc une quantité de mouvement Dm dt v (t) + −
u . La fusée et son
→
→
contenu ont une quantité de mouvement −
p (t + δt) = m(t + δt)−
v (t + δt) car le carburant, à l’état solide,
possède la même vitesse que la fusée. Le système fermé (Sf ) a donc pour quantité de mouvement à l’instant
t + δt :
→
−
→
→
→
p f (t + δt) = m(t + δt)−
v (t + δt) + Dm dt −
v (t) + −
u
La variation de la quantité de mouvement entre t et t + δt s’écrit pour le système fermé (Sf ) :
→
→
→
→
→
→
→
D−
pf =−
p f (t + δt) − −
p f (t) = m(t + δt)−
v (t + δt) + Dm dt −
v (t) + −
u − m(t)−
v (t)
En limitant les calculs à l’ordre 1 :
→
→
→
−
→
→
→
→
D−
p f = [m(t) − Dm δt] −
v (t) + d−
v + Dm dt →
v (t) + −
u − m(t)−
v (t) = m(t)d−
v + Dm −
u δt
−
En divisant par δt et en passant à la limite, nous obtenons la dérivée particulaire de →
pf :
→
−
→
−
dv
Dpf
→
= m(t)
+ Dm −
u
Dt
dt
→
Le système fermé (Sf ) est soumis à son poids m(t)−
g . Comme l’énoncé suppose que la pression P0 est
uniforme sur la surface du système (Sf ), la résultante des forces de pression est nulle. Le théorème de la
résultante cinétique appliqué au système (Sf ) dans le référentiel terrestre supposé galiléen s’écrit :
→
D−
pf
→
= m(t)−
g
Dt
→
D−
pf
On en déduit finalement, on utilisant les deux expressions de
:
Dt
m(t)
→
d−
v
→
→
+ Dm −
u = m(t)−
g
dt
Tout se passe donc comme si le mouvement du centre de gravité de la fusée était décrit par l’équation
→
−
→
−
→
→
habituelle m−
a = F ext , à condition d’ajouter aux forces réelles une force fictive Π = −Dm −
u appelée
poussée.
5. En remplaçant l’expression de m(t) et en séparant les variables, on obtient :
−
→
d→
v =−
g dt −
qui s’intègre en :
Dm −
→
u dt
m 0 − Dm t
−−→
−
→
→
→
v (t) = −
g t + ln(m0 − Dm t)−
u + cste
Sachant que’à t = 0, m(t = 0) = m0 et v(t = 0) = 0, on obtient :
!
Dm t −
→
−
→
−
→
v (t) = g t + ln 1 −
u
m0
→
Cette vitesse est bien dirigée vers le haut, car −
u est dirigé vers le bas, mais le terme logarithmique est
négatif. On notera que cette formule n’est valable qu’au tout début du mouvement. En effet, celle n’est tout
d’abord vérifiée que jusqu’à ce que tout le carburant soit épuisé. Dans ce cas, Dm tepuisement = mcarburant <
→
m0 . De plus, lorsque la fusée s’élève, la gravité change, et la pesanteur −
g n’est plus constante.
3
4
Jet d’eau de Genève
1. Le débit volumique vaut : DV = πa20 v0 , donc :
v0 =
DV
' 56m.s−1
πa20
La hauteur maximale du jet s’obtient en appliquant le théorème de l’énergie cinétique à une goutte d’eau
(on aurait pu également utiliser le principe fondamental de la dynamique, mais la méthode choisie est plus
rapide). En l’absence de frottement, toute l’énergie cinétique initiale est convertie en énergie potentielle
1
de pesanteur, soit : mgoutte v02 = mgoutte gh. On en déduit donc :
2
h=
v02
' 160m
2g
C’est une grande hauteur pour un jet d’eau, mais vu la photo, cet ordre de grandeur paraît raisonnable.
2. Le débit volumique se conserve car l’eau est un fluide qu’on peut considérer ici comme incompressible.
On peut donc en déduire la vitesse de l’eau dans la grande canalisation en négligeant l’influence de la
viscosité de l’eau sur la paroi, de sorte que le profil de vitesse dans la canalisation est considéré comme
uniforme :
DV = πa20 v0 = πa21 v1
DV
' 0.6m.s−1 . La vitesse est beaucoup plus faible qu’en sortie, puisque le diamètre
πa21
de la canalisation est beaucoup plus important.
Nous sommes ici dans les conditions d’application de la formule de Bernoulli puisque l’écoulement est parfait, incompressible, et permanent. Le long d’une ligne de courant entre le début de la grande canalisation
et l’orifice de sortie, on peut donc écrire :
On en déduit : v1 =
v02
v2
+ gz0 = P1 + 1 + gz1
2
2
P0 +
or les deux points considérés sont presque à la même altitude, donc z0 ' z1 , et l’eau est à la pression
atmosphérique P0 au niveau de la sortie du jet. Finalement :
P1 = P0 +
µ 2
v − v12 ' 17.105 Pa = 17bar
2 0
La pompe doit donc être très puissante afin de réaliser cette pression.
3. Effectuons un bilan d’énergie mécanique pour le système fermé constitué
– à t : de l’eau dans la canalisation et de l’eau qui va rentrer en amont de la pompe entre t et t + dt, à
la vitesse ve ≈ 0, altitude z1 ;
– à t + dt : de l’eau dans la canalisation et de l’eau qui est sortie par l’orifice entre t et t + dt, à la
vitesse vo , altitude zo ≈ z1 .
L’énergie mécanique du système à l’instant t vaut :
Em∗ (t) = Em (t) +
DV µdtve2
+ me gz1 ≈ Em (t) + me gz1
2
L’énergie mécanique du système à l’instant t + dt vaut :
Em∗ (t + dt) = Em (t + dt) +
DV µdtv02
DV µdtv02
+ mo gzo ≈ Em (t + dt) +
+ me gz1
2
2
. En régime stationaire il y a conservation du débit massique d’où me ≈ mo , on fait de plus l’approximation
z1 ≈ zo .
On peut en déduire la variation d’énergie cinétique entre t et t + dt en suivant le système fermé en régime
stationnaire :
DV µdtv02
dEm∗ =
2
.
Appliquons maintenant le théorème de l’énergie mécanique appliqué au système fermé :
dEm∗
= Pn c
dt
4
Les forces non conservatives sont les forces de pression, de résultante nulle car la pression est supposée
uniforme sur toutes les frontières du système fermé, et l’action de la pompe. On en déduit donc :
dEm∗
= P0
dt
P0 =
Application numérique :
DV µv02
2
P0 = 7, 8.105 W
.
C’est une puissance importante, mais le résultat paraît raisonnable car, à titre de comparaison, un moteur
de petite voiture fait environ 70ch et 1ch = 736W , soit environ 50kW . La puissance requise est donc
celle d’une dizaine de moteurs de voiture.
4. On vérifie tout d’abord bien que P∞ > P0 . Il y a donc un surplus d’énergie qui a été dissipé.
Appliquons maintenant le premier principe de la thermodynamique généralisé au système fermé précédent,
afin de faire intervenir des grandeurs mécaniques et thermodynamiques. Il conduit directement à :
P1 − P0 = DV µc∆T
On en déduit donc :
∆T =
P1 − P 0
' 0.1˚C
DV µc
La différence de température est donc négligeable. Le fonctionnement du jet d’eau ne risque donc pas de
réchauffer l’eau du lac et de mettre en danger la vie des poissons...
5