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http://femto-physique.fr
W
1ère partie
55 Exercices et problèmes corrigés
par
PR
EV
IE
Jimmy Roussel
Professeur agrégé de physique
F
EMTO - La physique enseignée
ÉLECTROMAGNÉTISME
accélération et filtrage de vitesse
°
!
v
0
injection
ionisation
Ø
!
°
B
électro-aimant
ions moléculaires
positifs
pompe à vide
détecteur
©FEMTO– 13 mars 2017
AVANT-PROPOS
Ce recueil d’exercices et problèmes corrigés est destiné aux étudiants du 1er cycle universitaire et à ceux
des Classes Préparatoires des Grandes Écoles (CPGE). Dans cette première partie, on aborde la théorie
électromagnétique en régime indépendant du temps : électrostatique et magnétostatique.
Chaque thème commence par quelques rappels de cours. Pour plus de détail, on renvoit le lecteur au site de
l’auteur :
http://femto-physique.fr/electromagnetisme/
Les énoncés sont assortis d’un niveau de difficulté allant d’un astérisque à quatre. Bien que subjective, cette
classification tente de suivre la règle suivante :
Exercice ou QCM évaluant l’acquisition des connaissances.
Exercice simple demandant un minimum de calcul et de formalisation.
Exercice plus technique.
Problème souvent inspiré des Concours aux Grandes Écoles demandant un esprit de synthèse et de
recherche.
W
*
**
***
****
PR
EV
IE
Enfin, les solutions des exercices sont regroupés en fin d’ouvrage. Un soin tout particulier a été fourni pour
proposer des solutions entièrement rédigées. Précisons tout de même que chaque correction propose un exemple
de traitement d’un exercice lequel peut parfois se résoudre d’une autre manière.
En vous souhaitant bonne lecture.
J IMMY R OUSSEL
Jimmy Roussel
ÉLECTROMAGNÉTISME : 55 Exercices et problèmes corrigés
Table des matières
ÉNONCÉS
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1 INTÉRACTION ÉLECTROSTATIQUE
RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . .
Ex. 1 Champ électrique atomique * . . .
Ex. 2 Force électrique ** . . . . . . . . . .
Ex. 3 Topographie *
. . . . . . . . . . . .
Ex. 4 Champ au centre d’un triangle ***
Ex. 5 Équilibre d’une charge ** . . . . . .
Ex. 6 Segment chargé ** . . . . . . . . . .
Ex. 7 Cerceau chargé ** . . . . . . . . . .
Ex. 8 Disque chargé ** . . . . . . . . . . .
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2 POTENTIEL ET ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE
RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 9 Opérateur gradient * . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 10 Nature d’un champ ** . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 11 Nature d’un champ ** . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 12 Modèle de Yukawa ** . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 13 Cerceau chargé **
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 14 Segment chargé ***
. . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 15 Champs créés par un segment chargé ***
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Ex. 16 Énergie électrostatique du dioxyde de carbone **
Ex. 17 Énergie électrostatique ** . . . . . . . . . . . . .
Ex. 18 Quatre charges sur un carré ** . . . . . . . . . .
Ex. 19 Répulsion entre trois protons ** . . . . . . . . .
Ex. 20 Énergie réticulaire *** . . . . . . . . . . . . . . .
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3 DIPÔLE ÉLECTRIQUE
RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 21 Distribution de trois charges ** . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 22 Molécule H2 0 ** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 23 Molécule HCl **
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 24 Énergie d’un dipôle électrique dans un champ électrique **
Ex. 25 Interaction de van der Waals ** . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 26 Solvatation de l’ion zinc II *** . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 27 Interaction dipolaire ***
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 CONDUCTEURS ÉLECTRIQUES
RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 28 Maître oiseau sur une ligne perchée... ** . . . . . .
Ex. 29 Calcul de résistances ** . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 30 Effet de la pesanteur ***
. . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 31 Pendule électrostatique *** . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 32 Câble coaxial *** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 33 Influence d’une charge sur un plan conducteur ***
Ex. 34 Condensateur plan ***
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Page 3/77
Jimmy Roussel
ÉLECTROMAGNÉTISME : 55 Exercices et problèmes corrigés
5 INTÉRACTION MAGNÉTIQUE
RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . .
Ex. 35 Pesanteur versus force magnétique *
Ex. 36 Boussole des tangentes ** . . . . . .
Ex. 37 Filtre cinétique *** . . . . . . . . . .
Ex. 38 Spectrométrie de masse *** . . . . .
Ex. 39 Le cyclotron *** . . . . . . . . . . . .
Ex. 40 Définition de l’ampère * . . . . . . .
Ex. 41 Trois fils parallèles ** . . . . . . . .
Ex. 42 Moment des forces de Laplace ** . .
Ex. 43 Magnétorésistance *** . . . . . . . .
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6 LOI DE BIOT ET SAVART
RÉSUMÉ DE COURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 44 Champ magnétique dans l’atome d’hydrogène **
Ex. 45 La spire *** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 46 Le solénoïde *** . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 47 Fil parabolique *** . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 48 Fil rectiligne infini ***
. . . . . . . . . . . . . .
Ex. 49 Mutuelle inductance ** . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 50 Disque de Rowland *** . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 51 Champ d’un aimant *** . . . . . . . . . . . . . .
Ex. 52 Géomagnétisme ***
. . . . . . . . . . . . . . . .
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7 PROBLÈMES INSPIRÉS DES CONCOURS
32
Ex. 53 Équipotentielles d’un segment chargé **** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ex. 54 Expérience de Thomson **** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Ex. 55 Le biprisme électrostatique **** . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
SOLUTIONS DES EXERCICES
36
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ÉNONCÉS DES EXERCICES
Jimmy Roussel
1
ÉLECTROMAGNÉTISME : 55 Exercices et problèmes corrigés
INTÉRACTION ÉLECTROSTATIQUE
RÉSUMÉ DE COURS
Charge électrique – La matière est constituée de particules que l’on peut caractériser par une propriété
scalaire, noté q et désignant la charge électrique. Cette charge s’exprime en coulomb (C) dans le
Système Internationnal, sa valeur peut être positive, négative ou nulle. La charge étant caractéristique
de la matière, elle ne dépend pas du référentiel. Par ailleurs, la charge électrique d’un système isolé se
conserve. Enfin, la charge électrique est quantifiée.
q = Ne
avec
N 2Z
W
où e = 1, 6.10°19 C désigne la charge élémentaire.
Loi de Coulomb – La force qui s’exerce entre deux particules 1 et 2 de charges q 1 et q 2 , placées dans le vide
et distantes de r , s’écrit
°!
°!
q 1 q 2 °°!
f 12 = ° f 21 =
u 12
4º≤0 r 2
avec
1
' 9, 0.109 m.F°1
4º"0
PR
EV
IE
Champ électrique – Une charge électrique q, placée en M, subit de la part d’une distribution de charges
statiques, une force électrique :
!
°
!
°
F = q E (M)
!
°
où E (M) désigne le champ électrique en M.
Pour une distribution discrète ( N particules de charge q i placées en P i ), on a
°°!
! X
N
N
X
qi °
u
q i Pi M
!
°
i
E (M) =
=
2
3
i =1 4º≤0 r i
i =1 4º≤0 Pi M
Pour une distribution continue, caractérisée par une densité de charge (volumique, surfacique ou linéique),
!
°
E (M) =
Z
D
°
dq !
u
4º≤0 r 2
avec d q = Ω dV pour une distribution volumique ; d q = æ dS pour une distribution surfacique et d q = ∏ d`
pour une répartition linéique.
Ligne de champ électrique – Courbe orientée C telle que leur tangente, en chaque point M( x, y, z), présente
la même direction et le même sens que le champ vectoriel en ce point.
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ÉLECTROMAGNÉTISME : 55 Exercices et problèmes corrigés
Ex. 1 – Champ électrique atomique *
Donner l’ordre de grandeur du champ électrique que ressent un électron lié à un atome.
Ex. 2 – Force électrique **
On place une charge de 0,005 C à chaque coin d’un carré d’arête a = 0, 75 m. Déterminer l’intensité et la direction
de la force qui s’exerce sur chacune d’entre elles.
Ex. 3 – Topographie *
PR
EV
IE
W
On donne la carte des lignes de champs électriques que produit un système de trois charges Q 1 , Q 2 et Q 3 (cf.
figure 1). Que peut-on dire de Q 1 , Q 2 et Q 3 ?
F IGURE 1 – Carte de champ.
Ex. 4 – Champ au centre d’un triangle ***
Déterminer le champ électrostatique crée par trois charges ponctuelles identiques q > 0 placées aux sommets
d’un triangle équilatéral, en son barycentre G.
Ex. 5 – Équilibre d’une charge **
Sur un axe (O x) on place :
• une charge ponctuelle de charge électrique 3 q, en O ;
• une charge ponctuelle de charge électrique q, en A d’abscisse x = a > 0.
1. Déterminer le champ électrique en un point M de l’axe (O x). On envisagera 3 cas.
2. Une charge ponctuelle q0 > 0 peut se déplacer sans frottement sur l’axe (O x). Déterminer la où les positions
d’équilibre.
3. Représenter la force F ( x) que ressent la charge q0 en fonction de x. Existe-t-il une position d’équilibre
stable sur cet axe ?
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ÉLECTROMAGNÉTISME : 55 Exercices et problèmes corrigés
Ex. 6 – Segment chargé **
On considère un segment de longueur L portant une charge Q uniformément répartie. Calculer le champ
électrostatique que produit ce segment en un point M situé le long de l’axe du segment et à la distance x d’une
extrémité. La formule est-elle homogène et cohérente ?
Indication : calculer le champ créé par un élement de longueur du segment puis intégrer.
Ex. 7 – Cerceau chargé **
z
Un cerceau de rayon R possède une charge électrique Q uniformément répartie (on note ∏ la densité linéique de charge). Montrer que
le champ électrique qui règne en un point M de l’axe de révolution
du cerceau (axe O z) vaut
Q
z
°
¢
4º≤0 R 2 + z2 3/2
W
E ( z) =
M( z)
(1)
R
PR
EV
IE
Indication : Calculer le champ créé par un élement de longueur du
cerceau en faisant intervenir la densité linéique de charge, puis par
intégration, obtenir le champ total.
Ex. 8 – Disque chargé **
On considère un disque de rayon R contenant une charge Q répartie uniformément en surface (on notera æ la
densité surfacique). On cherche à calculer le champ électrique en tout point de l’axe de révolution.
1. En utilisant le résultat de l’exercice 7, calculer le champ créé en un point de l’axe de révolution en fonction
de æ, R et z.
Indication : commencer par exprimer le champ créé par un anneau de rayon r et d’épaisseur dr.
2. Que vaut le champ électrique au voisinage du disque chargé ?
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2
ÉLECTROMAGNÉTISME : 55 Exercices et problèmes corrigés
POTENTIEL ET ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE
RÉSUMÉ DE COURS
Potentiel électrique – Tout champ électrostatique dérive d’une fonction potentielle, notée V telle que
!
°
!
°
E (M) = ° r V (M)
Le potentiel créé par une distribution discrète ( N particules de charge q i placées en P i ), s’écrit, à une
constante additive près
N
N
X
X
qi
qi
V (M) =
=
4
º≤
r
4
º≤
0 i
0 Pi M
i =1
i =1
W
Pour une distribution continue finie, caractérisée par une densité de charge (volumique, surfacique ou
linéique), on a
Z
dq
V (M) =
D 4º≤0 r
avec d q = Ω dV pour une distribution volumique ; d q = æ dS pour une distribution surfacique et d q = ∏ d`
pour une répartition linéique.
PR
EV
IE
Équipotentielles Surface définie par V ( x, y, z) = Cte . Les lignes de champ électriques coupent les surfaces
équipotentielles à angle droit et sont orientées vers la valeurs décroissantes du potentiel.
Tension éllectrique – La tension qui règne entre deux point A et B vaut
UAB = V ( A ) ° V (B) =
ZB
A
!
°
E · d`
Énergie d’une charge – Une charge en présence d’un champ électrique acquiert une énergie potentiell
électrique
E p = qV (M)
où V est le potentiel dont dérive le champ électrique.
Énergie d’un système de charges – Un système de N particules de charges q i présente une énergie potentielle interne d’origine électrostatique qui s’écrit
Ep =
X
< i, j > i6= j
qi q j
4º≤0 r i j
=
1X X
1X
qi
V j ( i) =
q i V ( i)
2 i
2 i
j 6= i
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ÉLECTROMAGNÉTISME : 55 Exercices et problèmes corrigés
Ex. 9 – Opérateur gradient *
Un système électrique produit dans une partie du plan O x y un potentiel électrique donné par
V ( x, y) = a( x2 + y2 ) avec
a = Cte > 0
Quelle est la forme des équipotentielles ? Calculer le champ électrique et représenter les lignes de champ
électrique.
Ex. 10 – Nature d’un champ **
!
°
Un champ vectoriel A (M) s’exprime en coordonnées cartésiennes ainsi :
W
µ 2∂
!
°
x !
A ( x, y, z) = A 0 exp ° 2 °
uy
a
!
°
!
°
où A 0 et a sont des constantes. Peut-on écrire A = ° r V ( x, y, z) ? Si oui, exprimer la fonction V ( x, y, z).
Ex. 11 – Nature d’un champ **
PR
EV
IE
!
°
Un champ vectoriel A (M) s’exprime ainsi :
!
°
où B est un vecteur constant suivant O z.
!
°
!
° °°!
A (M) = B ^ OM
Exprimer ce champ en coordonnées cartésiennes. Ce champ peut-il être un champ électrostatique ? Si oui,
donner le potentiel électrique associé.
Ex. 12 – Modèle de Yukawa **
Une distribution de charges électriques crée le potentiel électrostatique suivant (système de coordonnées
sphériques) :
≥ r¥
e
V ( r, µ , ') =
exp °
avec a = Cte
4º≤0 r
a
Déterminer le champ électrostatique associé. Que peut-on dire sur cette distribution ?
°°°!
@f °
@f °
@f
°
Donnée : Expression du gradient en coordonnées sphériques : grad f (r, µ , ') =
u!r +
u!
u!
'
µ+
@r
r @µ
r sin µ@'
Ex. 13 – Cerceau chargé **
Calculer le potentiel électrostatique créé par un cerceau de rayon R, de densité linéique constante ∏, en un
point M de l’axe de révolution du cerceau (axe Oz). On prendra un potentiel nul à l’infini.
Ex. 14 – Segment chargé ***
On considère un segment de droite AB de longueur 2a, chargé uniformément, de densité linéique ∏. On cherche
les effets électriques produits par ce segment chargé en un point M de l’axe du segment situé à la distance x du
centre du segment et à l’extérieur du segment.
1. Montrer que le potentiel produit en M vaut V (M) =
∏
x+a
ln
lorsque | x| > a.
4º≤0 x ° a
2. En déduire l’expression du champ électrique créé en M.
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