Exercices de révision du programme de mathématiques de 9eA

Exercices de révision du programme de mathématiques de 9eA
Présentation.
Voici un dossier de 7 pages d’exercices recouvrant la plus grande partie du programme de 9ème.
Cette révision est facultative, mais très vivement conseillée !
Consignes.
Durant le troisième trimestre, si tu effectues l’ensemble de ces exercices, une note te sera attribuée si les
conditions suivantes sont satisfaites :
1) les solutions des exercices proposés sont rédigées avec soin et de manière détaillée sur des feuilles à
part (c’est à dire ni sur les feuilles d’énoncé ni dans ton éventuel cahier).
2) l’ensemble du travail doit être remis à ton enseignant le 6 juin dernier délai.
3) le 16 mai (15 jours avant l’échéance) au plus tard, il faut impérativement présenter à ton maître l’état
de ton travail.
Cette condition est absolument incontournable si tu souhaites que ton travail soit pris en compte.
Quant à la note attribuée, elle tiendra compte :
1) de la présentation
2) de la cohérence de ton argumentation
3) de ton aptitude à exposer toutes les étapes de ta démarche.
Remarque.
Si le travail en groupe n’est pas interdit, en revanche chaque élève souhaitant obtenir une note est tenu
de rendre son propre dossier personnel, complet et manuscrit.
Bon travail !
Exercices de révision du programme de mathématiques de 9e
Sujet 1 : NOMBRES (sans calculatrice)
1. Le calcul mental (ou réfléchi) dans N
a) 13 · 17 + 172
b) 23 · 74 · 53
c) 1552 – 1452
d) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1
e) 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
f) 872 + 2 ·87 · 13 + 132
2. Utilise la décomposition en produit de facteurs premiers pour déterminer
a) le plus grand diviseur commun de 126 et 140.
b) le plus petit multiple commun de 126 et 140.
c) le plus petit nombre qui multiplié à 126·140 donne un carré (parfait).
3. Les comptes sont bons ?
En utilisant au plus une et une seule fois les nombres 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 construis à l’aide des quatre
opération (+ ; - ; · ; ÷) chacun des nombres 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; 64 ; 128 ; 256 ; 512 ;... ; 4096.
Indique chacune de tes réponses sous la forme d’une seule ligne de calcul contenant une égalité.
4. Le calcul avec des nombres décimaux (ou dans D)
a) 2,4 · 0,015
b) 2,4 ÷ 0,015
c) 0,013
d) 0,1 + 0,22 ÷ 0,5
5. a) Utilise les notations scientifiques pour estimer la distance parcourue par un rayon de lumière
après mille ans, sachant qu’elle parcourt 300'000 km par seconde.
b) Un verre contient 4,8 · 10 24 molécules d’eau (H2O) et chaque molécule a une masse de
2·10 -23 g. Quelle est la masse d’eau contenue dans le verre ?
2
c) Combien faut-il écrire de termes pour que 100 + ... + 100 = 1010 ?
6. Le calcul mental (ou réfléchi) dans Z
a) (-3) – (-5)
b) 06 + (-1)5 + (-2)4 + (-3)3 + (-4)2 + (-5)1 + (-6)0
c) (-2)3 – (-2)3·(-5)2
d) -(33 + (-2)3)2
7. Calcule dans Q et donne la réponse sous forme de fraction irréductible.
a)
3 5
+
8 6
b)
4 3
−
91 65
e)
5
− 1, 2
8
f)
1 5  4 5 
+ ⋅ − 
2 12  15 20 
2
⋅
3
x+ y
2
5
b) Calcule la valeur de
si x = et y =
xy
3
6
8 a) Complète pour obtenir une égalité vraie :
c)
21 56
⋅
28 42
d)
35 15
÷
18 16
2
g)
= −1 ;
2
5 3
−
−2
 
4
 2
5 15
12 28
:
=
;
;
⋅ =
3 14 21 49 9
+
5
=1
3
9. Le compte est max !
En utilisant les règles du Compte est bon, construis le plus grand nombre possible à partir des nombres
rationnels :
3 8 5 1
;
; ;
4 11 2 12
(Indication : Il est possible d’atteindre le nombre 1320)
10. Le compte est excellent !
a) Jean prétend qu’en utilisant les règles du Compte est bon il arrive à construire le nombre 21 à l’aide
des nombres 1 ; 5 ; 6 ; 7. Essaie par toi-même d’y arriver pendant 5’ (montre en main).
b) Vérifie la solution qu’il propose, 21 = 6÷(1 – 5÷7), en utilisant le calcul fractionnaire :
6
5
1−
7
.
c) À présent, il te défie de construire le nombre 6 à partir de 2 ; 5 ; 7 ; 27 en t’indiquant que
6=
27
. Relève le défi, puis invente un exercice du même type pour le défier à ton tour !
.......
....... −
.......
11. Travailler avec des nombres réels (ou dans R).
780 ?
a) Encadre par deux entiers consécutifs
b) Si
2 ≅ 1, 414 alors arrondis à l’unité près 80000 .
0, 0349 par deux centièmes successifs.
c) Encadre le nombre
12. Complète les égalités ci-contre :
3+ 3+ 3+ 3+ 3 =
3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3 =
⋅ 3
⋅ 3
( 3) ⋅( 3) = 3
3 + ( 3) =
3
2
⋅ 3⋅
3
3
13. Complète par > ; < ou = en justifiant systématiquement par des calculs.
8 ⋅ 10 ..........
a)
d)
75
..........
48
g)
(
i)
)(
29 − 2 ⋅
27
108
..........
( 9)
2
1,44
29 + 2
)
..........
b)
2 32 + 4 8 .......... 42 2
c)
e)
11 + 6 2 .......... (3 + 2 )2
f)
( 5)
4
1
22
24
54
7 + 5 ..........
( 7)
h)
32 ⋅ 8 ..........
j)
18 + 50 ..........
.......... 0,66
2
2 + 10
+ 32
200 − 8
14. Développe (si nécessaire) puis réduis au maximum les expressions numériques suivantes
a)
12 ⋅ 27
b)
(
12 + 27
)
2
c)
(
12 − 27
15 a) Dans le système d’axes orthonormés ci-contre
place les points O(0;0) , A(8;1) et B(4;7).
)
2
d)
(
12 − 27
)(
12 + 27
)
y
b) Détermine le périmètre du triangle OAB.
Réponse à donner sous forme exacte et réduite
c) Est-il vrai que l’aire du triangle OAB est un nombre
rationnel, alors que son périmètre est un nombre
irrationnel ?
2
d) Détermine la mesure exacte de chacune des
trois hauteurs.
x
2
e) Quelle est la valeur exacte du produit des trois hauteurs par celui des trois bases ?
f) Calcule la racine cubique du résultat précédent. Surpris(e) ? Pourquoi ?
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Sujet 2 : ALGEBRE
1. Développe (si nécessaire), puis réduis au maximum les polynômes ci-dessous
1) x ⋅ 2 + 3 ⋅ x
2) x + x ⋅ x + x
3) 2a − (−a + b)
4) 5( x 2 − 2) + 3 x ⋅ (2 + x)
5) 2a 3 − (2a − 3a 2 ) ⋅ a
6) a + ab − 0,5a − (−2ab)
7) (2a + b) ⋅ 3 − 5 ⋅ (3a + b)
10) (2a + 3b) ⋅ (5a + b)
8) (− x − y ) ⋅ x − x ⋅ (2 x − y )
9) (−2a 2 + 2b) ⋅ 2a − a ⋅ (a 2 + b)
11) (3a − 5b) ⋅ (5b + 3a)
12) (− a − 4b) ⋅ (−2a + b)
2. Utilise les identités remarquables pour développer rapidement les polynômes ci-dessous
1) (7 x + 2 y ) 2
4) (5 x + 12 xy ) 2
2) (4a − 2b) 2
5) (b − 0,5c) 2
3) (3a 2 + 2b) 2 (3a 2 − 2b) 2
6) (3 x − 8 y ) ⋅ (3 x + 8 y )
3. Utilise intelligemment les identités remarquables afin de calculer mentalement
4) 492 + 512 + 2·2499
1) 19·21
2) 32·28
3) 422 – 84·47 + 472
4. Factorise au maximum les polynômes ci-dessous.
2) 4a 2 − 16ab + 16b 2
6) 25a 2 + 60ab + 36b 2
1) 2 x 2 − 4 xy
5) 3x 3 y − 75 xy 3
3) 21a 3 − 27ab
7) 8 xy 2 − 8 xyz + 2 xz 2
4) a 3 − 2a 2 + a
8) 16a 4 − b 4
5. Conjecturer – Tester – Traduire - Prouver
a) Conjecture : « L’entier qui précède un carré impair est toujours divisible par 8. ».
1) Teste cette conjecture en prenant quelques exemples.
2) Traduis la conjecture sous forme d’une expression littérale.
3) Prouve la conjecture en factorisant l’expression précédente et en observant le résultat obtenu.
b) Est-il vrai que la différence des carrés de deux impairs quelconques est toujours divisible par 8 ?
6. Formules
a) Deux carrés ont pour côtés respectifs x+4 et x–3. Calcule la différence des aires de ces deux carrés.
b) Si l’aire d’un rectangle est x 2 + 10 x + 24 , que peut valoir son périmètre ?
c) Calcule la somme des aires des faces et le volume d’un pavé droit de dimension : 2a ; 4ab ; 0,5a
7. Le grand cube peint en bleu.
L’extérieur d’un grand cube, constitué de n3 petits cubes isométriques de 1 cm3,
est entièrement peint en bleu. Certains de ces petits cubes n’ont qu’une face de
peinte, d’autres en ont deux et d’autres trois.
1) Dans chacun des cas, détermine une formule dépendant de n qui exprime le
nombre exact de petits cubes concernés.
2) Réduis au maximum chacune de tes formules.
3) Exprime l’aire totale des faces à l’aide de tes formules.
4) Détermine en fonction de n la longueur de la diagonale du cube.
3
x
8. a) Montre que 10 est solution de l’équation x = 2 − 24 .
b) Combien de solutions rationnelles et irrationnelles l’équation (4 x − 12) ⋅ (4 x + 3) = 0 admet-elle ?
c) Invente des équations admettant comme solution : 1) S = {2 / 3} 2) S = {±1} 3) S = ∅ (ens. vide)
9. Détermine l’ensemble des solutions de chacune des équations ci-dessous :
a) 3 x − 1 = 5
e) 3 x − 1 = 5 x + 17
3
1 5
x− =
4
2 8
3
1
f) x − = (5 + 6 x) ÷ 8
4
2
b)
c)
3
1 5
x + = x − 0, 2
4
6 8
d)
3 1 5
x⋅ =
4 2 8
g) ( 2 x + 1) + 3 = 4 ⋅ (3 − x) 2 − 5 f) (3 x − 1)(5 x − 15) = 0
2
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Sujet 3 : FONCTIONS
1. Proportionnalité
1) Calcule les 2/3 de 48 fr, les 20 % de 12 kg, les 2,5 % de 1000 fr et les 3 0/00 de 120 moles.
2) Déduis un quart à 56 fr, les 30 % de 120 fr, les 35 % de 800 fr et les trois cinquièmes de 45 fr.
3) Calcule les ¾ des 80 % de 1600 personnes, les 5/7 des 2/3 de 84 kg.
4) Sachant que les ¾ d’une longueur est de 120 m, quelle est la longueur totale ?
5) Je souhaite photocopier un carré de 20 cm de périmètre pour obtenir un carré de 36 cm2 d’aire. Quel
facteur d’agrandissement dois-je introduire sur la photocopieuse ?
6) J’effectue une réduction d’un facteur 80 % à la photocopieuse. En photocopiant le document réduit,
quel pourcentage faut-il introduire pour retrouver la taille réelle du document de départ ?
7) J’ai obtenu 20 % de rabais, soit 12 fr sur le prix d’achat de mon livre. A quel prix m’est-il revenu ?
8) Quel était le prix affiché en € d’un vélo acheté en France, sachant que la douane française déduit 20
% de TVA, la douane Suisse ajoute 8% de TVA sur le prix réduit, le taux de change est de 1,5 fr pour 1 €
et que pour finir le vélo me revient à 453,60 fr ?
9) Sur une carte à l’échelle 1/50'000 j’ai parcouru 8 cm. Cela correspond à combien de km en réalité ?
10) Quelle est la pente moyenne du tronçon de la route Blanche entre Bonneville (450 m d’altitude) et
Cluse (1250 m d’altitude) sachant que sur une carte à l’échelle 1/100'000 ils sont distants de 12 cm ?
11) Détermine l’expression fonctionnelle de f sachant que f est linéaire et que f (12) = 15 .
12) Si g est linéaire et que g (24) = 30 détermine alors l’image de 5 par g , puis la préimage de 9.
2a. La relation entre les températures Celsius (C) et Fahrenheit (F) est donnée par la fonction affine,
f :x6
9
x + 32 pour passer de x degrés Celsius (C) aux degrés Fahrenheit (F).
5
1) Quelle est la température en F du corps humain (37°C) ? du point d’ébullition de l’eau (100°C) ?
2) Quelle est la température du zéro absolu (-459,6° F) en degrés Celsius ?
3) Détermine la relation permettant de calculer la température Celsius à partir de la Fahrenheit.
2b. La distance parcourue (en mètres) par une bille en plomb lâchée du haut d’un pont de 250 m de
hauteur est donnée par la fonction h(t ) = 5t 2 , où t représente le nombre de secondes. En combien de
temps la bille atteint-elle le sol ? Sachant que la vitesse de la bille à l’instant t est donnée par la fonction
v(t ) = 10t , détermine la vitesse de la bille au moment de son impact au sol.
(Remarques : ces formules sont des approximations, car il faudrait tenir comte du frottement de l’air. D’autre part, Galilée à
montré que des objets de masses différentes, lâchés simultanément atteignent le sol en même temps.)
3. Graphiques
1) Représente sur le même système d’axes orthonormés les trois fonctions suivantes :
f : x 6 (10 − x) ÷ 2 ,
g:x6
2
x et
3
h : x 6 ( x 2 − 1) ÷ 5
2) Détermine f (30) ; g (15 /16) et h(25)
3) Résous graphiquement, puis algébriquement l’équation f ( x) = g ( x) (* plus difficile : f ( x) = h( x) )
4) Détermine les préimages de -3 par f , de 120 par g et de 24 par h .
5) Détermine l’équation d‘une droite parallèle à f passant par le point (7 ; 8)
4. Fonctions linéaires et affines.
Détermine l’expression de chacune des fonctions affines ci-dessous sachant que ...
1) f (3) = 4 et f (5) = 11
2) g (−5) = +5 et g (1) = −3
3) h est même linéaire et passe par le point d’intersection de f et g
4)** k (2)= 8 et que k ( k (3)) = 80.
5. Genève et Zürich sont distants de 300 km
La voiture A part de Zürich et emprunte l’autoroute à une vitesse constante de 120 km/h direction GE.
20 minutes après le départ de A, un camion B part de Genève sur l’A1 à 100 km/h direction ZH.
Représente graphiquement la distance de GE par rapport au temps de chacun des véhicules. Détermine
l’équation de chacune des droites, puis calcule l’instant exact où A et B se croisent.
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Sujet 4 : GRANDEURS & MESURES
1. Transformations d’unités de mesure (l’utilisation des notations scientifiques est parfois conseillée)
1) Convertis en mm, dm, dam, et km les grandeurs 12000 cm et 0,0056 hm
2) Convertis en cm2, m2, dam2, et hm2 les grandeurs 12000 mm2 et 0,0056 km2
3) Convertis en mm3, dm3, m3, en dl, dal et hl les grandeurs 12000 cm3, 0,0056 dam3 et 3500 cl
4) Convertis 12,25 jours en secondes, 3500000 heures en années
5) Convertis en mg, dag et kg les grandeurs 24000 cg, 200 dg et 0,034 t
6) Convertis en 250 années-lumières en km sachant que la vitesse de la lumière = 300'000 km/s
2. Estimations. Détermine une unité de mesure permettant d’effectuer une estimation, puis effectue-la.
1) L’aire de la surface du lac Léman ? Et son volume ?
2) Le diamètre d’une cellule du corps humain ?
3) Quel est le volume de la pièce dans laquelle tu te trouves ? Combien contiendrait-elle de litres d’eau ?
4) Combien mesurerait l’aire de la surface de la Terre, si celle-ci était un cube de 10'000 km de côté ?
5) La distance de Genève à New-York ? L’altitude du Mont Blanc ? La population mondiale ?
6) La distance Terre Soleil sachant qu’un rayon lumineux met 8 minutes pour nous atteindre ?
3. Approximations...
Effectue les calculs de « tête » en arrondissant au mieux (indique tes arrondis)
a) 123000 + 987000 b) 123000 · 987000 c) 0,000067 · 789654321 d) 0,000067 ÷ 789654321
e) 789654321 ÷ 0,000067 f) 0,0999 g) 95,54281213101 h) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,5 + 0,6
h) 0,1 · 0,2 · 0,3 · 0,4 · 0,5 · 0,6
4. Corps
a) Considérons un cube de 5 cm de côté. Détermine la somme des longueurs de ses arêtes, la somme
des aires de ses faces et son volume. Pour finir détermine le rayon de la plus petite sphère pouvant
contenir ce cube.
b) Détermine l’aire extérieure et le volume d’un cylindre de hauteur 32 cm et dont la base est un disque
de 5 dm de rayon. Quelle est la longueur du plus long segment entièrement contenu à l’intérieur de ce
cylindre ? Quels sont les dimensions du plus volumineux pavé droit pouvant être entièrement contenu
dans ce cylindre ?
5, Expérience imaginaire ! On tend une ficelle autour de l’équateur terrestre et une autre suspendue en
l’air 50 cm au-dessus d’elle. Détermine la différence des longueurs de ces deux ficelles sachant que le
rayon terrestre au niveau de l’équateur est de 6,37 · 10 6 m.
6. Longueurs, aires et volumes
Voici des corps
On sait que
Calcule...
ceci est une pyramide droite
à base carrée (unités : cm)
- la somme des longueurs de
ses arêtes
- la somme des aires de
toutes ses faces
- sa capacité en litres
D
A
AB = 42
C
H
DH = 56
B
D
ceci est un prisme droit. Sa
base est un triangle isocèle
(unités : cm)
E
C
AB = 8 AE = 12 BC = 25
B
A
E
A
D
B
C
ceci est un parallélépipède
rectangle (unités : cm)
AB = 16 BC = 14
AD = 72
- son volume
- la somme des aires de
toutes ses faces
- DH (où H est le milieu du
segment AB)
- CD
- la somme des aires de ses
faces (en dm2)
- sa capacité (en cl)
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Sujet 5 : Problèmes variés. Nombres – Algèbre – Fonctions – G&M – et historiques
1. ABCD est un trapèze rectangle.
ABC est un triangle rectangle en C.
On donne les mesures suivantes :
AB = 25 cm ; BC = 15 cm
Détermine l’aire du trapèze ?
D
C
A
B
2. Une balle de tennis de rayon 5 cm flotte à la surface de l’eau. Elle émerge de 2 cm. Je la repêche.
Quel est le rayon du cercle dessiné sur la balle par la limite de l’eau ?
3. On inscrit dans la sphère unité Sa (la sphère de rayon 1 unité) un cube Ca, puis une sphère Sb dans le
cube précédent (Ca), puis à nouveau un cube Cb dans la sphère précédente (Sb) et enfin une sphère Sc
dans le cube précédent (Cb). Quel est le volume de cette dernière sphère (Sc) ? Et son aire ?
4. a) Dans un système d’axes orthonormés place les points A(-3 ; 1) et B(1 ; 2). Trace en rouge la droite
passant par A et B, en bleu la droite parallèle à cette dernière passant par l’origine.
b) Le point (43 ; 12) se trouve-t-il sur la droite rouge, sur la droite bleue, entre la bleue et la rouge ou en
dehors de cette « bande » ?
5a. Détermine la longueur de la plus longue tige
métallique (très très fine) pouvant être entièrement
placées (de biais) dans la cuve cylindrique cicontre de 1,5 m de hauteur et de 2,1 hl de
capacité.
1,5 m
2,1 hl
5b. Détermine une formule qui exprime l’aire latérale d’un cône droit connaissant sa hauteur h et le rayon
de sa base r . Indication. Commence par dessiner le cône puis imagine prendre des ciseaux pour le mettre à plat...
6. Systèmes d’équations.
 ax − 4 y = 8
5 x + 6 y = b
a) Quelles valeurs faut-il attribuer à a et à b pour que le système n’admette aucune solution ?
b) Quelles valeurs faut-il attribuer à a et à b pour que le système admette une infinité de solutions ?
c) Quelles sont toutes les valeurs (les couples (a; b) ) pour lesquels le système admet exactement une et
Considère le système d’équations suivant : 
une seule solution ?
7. Élémens d’algèbre, page 497, de Léonard Euler (1774)
8. Autres problèmes historiques
a) Euler et les Élémens d’algèbre
b) Cours de Mathématiques de Jacques Ozanam.
Dans l’introduction de la «Nouvelle édition revue et corrigée » de 1697, on propose le problème
suivant (l’orthographe de l’époque étant respectée) :
« ...trouver deux nombres entiers en sorte que la différence de leurs quarrez soit 48... »
Vérifie la solution proposée par l’auteur « Ce problême n’ayant que deux solutions, sçavoir 8, 4, & 7,
1, pour les deux nombres qu’on cherche...»
Indication : énumérer d’abord tous les diviseurs de 48, utiliser une identité remarquable, voire même un système de
2 équations à deux inconnues.
c) Élémens d’algèbre, page 65, par M. Clairaut (1746)
« Deux sources qui coulent chacune uniformément, ont rempli ensemble un réservoir A, l’une en coulant
pendant un temps B, l’autre pendant un temps C ; les deux mêmes sources ont rempli un réservoir D, la
première coulant pendant le temps E, la seconde pendant le temps F : on demande la dépense (le débit)
de chacune de ces sources. »
Résolution d’équations du 2e degré par la factorisation d’expressions polynomiales
simples...
Toujours Euler...
a)
b)