Arithmétique et compléments d`alg`ebre linéaire

Arithm´etique et compl´ements
d’alg`ebre lin´eaire
Pierre de la Harpe
Section de Math´ ematiques
Universit´ e de Gen` eve, C.P. 240
CH-1211 Gen` eve 24, Suisse
Mel : [email protected]

Plan du cours (semestre d’hiver)
VII. Arithm´etique des nombres entiers.
VIII. Polynˆomes.
IX. L’homomorphisme SU(2) −→ SO(3).
X. Th´eor`eme de Perron-Frobenius et spectres de graphes.
! ! ! Ce plan est provisoire ! ! !
(Les chapitres I `a VI constituent le cours d’alg`ebre lin´eaire du semestre d’hiver.)

Table des mati`eres
Plan du cours (semestre d’hiver) 3
Chapitre VII. Arithm´etique des nombres entiers 7
1. Division euclidienne et pgcd 7
Exercices du §VII.1 13
2. Nombres premiers 15
Compl´ements au §VII.2 21
3. Congruences 23
Exercices du §VII.3 27
4. Anneaux et corps 29
5. Fonction d’Euler, th´eor`emes de Fermat et Euler 35
Exercices du §VII.5 42
6. A propos de la notation d´ecimale des nombres r´eels 44
Exercices du §VII.6 47
7. Introduction `a la cryptographie `a cl´e publique et au syst`eme RSA 48
8. Description du codage RSA 50
R´ef´erences pour les §VII.7 et §VII.8 53
9. Pseudopremiers 53
Chapitre VIII. Polynˆomes 57
1. D´efinition de l’anneau K[X]57
Exercices du §VIII.1 61
2. Division des polynˆomes 61
Exercices du §VIII.2 65
3. Racines des polynˆomes `a une ind´etermin´ee 66
4. Polynˆomes irr´eductibles et quotients K[X]/(P) qui sont des corps 67
Exercices du §VIII.4 71
5. Le crit`ere d’irr´eductibilit´e d’Eisenstein pour les polynˆomes `a coefficients
rationnels 72
6. Corps finis 76
Exercices du §VIII.6 79
Chapitre IX. Les groupes SO(3), O(3) et SU(2) 83
1. Actions de groupes 83
Exercices du §IX.1 86
2. Les groupes SU(2) et SO(3) 87
Chapitre X. Spectres de graphes 95