Chap 3 : Topologie et analyse fonctionnelle

Chap 3 : Topologie et analyse fonctionnelle
Chap 3 : Topologie et analyse fonctionnelle
Préliminaires : cardinaux
Deux ensembles X et Y sont équipotents s'il existe une bijection de X vers Y . C'est une relation d'équivalence
Un ensemble X est fini lorsque X   ou : n  * / X est équipotent à 1, n
Les axiomes de Peano donnent l'unicité du n. On pose card   0 et card X  n sinon
Un ensemble X est infini dès que X   et n  *, X n'est pas équipotent à 1, n
X est infini ssi il existe une injection de
dans X
L'ensemble ordonné ( E, ) est inductif lorsque toute partie A totalement ordonnée, non vide de E
possède une borne supérieure :
c  E , c majorant de A et tout majorant M de A vérifie M  c
( X ,Y ) ens. : E  {( A, f ) / A  X et f : A
( A, f )  ( B, g )  A  B et g| A  f
Y injection}
( E, ) est inductif
Axiome de Zorn : Tout ensemble ordonné inductif non vide possède un élément maximal
Il existe une classe  d'ensembles, appelés cardinaux, tels que, pour tout ensemble X ,
il existe un unique ensemble card X  tel que X est équipotent à card X
E , F cardinaux : E et F équipotents  E  F
X et Y ensembles : il existe une injection de X dans Y ou une injection de Y dans X
Utiliser l'exemple d'ens. inductif + Zorn : elt max ( A, f )  Soit A  Y , soit f surj (p.abs)
Théorème de Cantor-Bernstein : X et Y ensembles. S'il existe une injection f de X dans Y
et une injection g de Y dans X , alors X et Y sont équipotents.
Suite des antécédents (uniques s'ils existent) de x0  X : y1  Y / g ( y1 )  x0 , x1  X / f ( x1 )  y1...  ( x0 , y1...) finie ou .
A  {x0  X / ( x0 ...) finie de card impair}, B  impair, C   Idem sur y0  Y , A '  impair, B '  pair
| A  f , |B  g 1 , |C  f
 ( A)  A ' ,  ( B)  B ' ,  (C )  C '
 inj tq  ( X )  Y  surj
La relation sur la classe  : ( E  F  il existe une injection de E dans F ) est une relation d'ordre total
Un ensemble est dénombrable s'il est fini ou s'il existe une bijection de X dans
(strict. dénombrable = dén. )
"Etre dénombrable" se conserve par bijection. A   A dénombrable
S'il existe une injection de X dans , X est dénombrable.
X dénombrable  Il existe une surjection d'un ensemble dénombrable dans X
,  , , les nombres algébriques sont dénombrables.
Si X et Y sont dénombrables, X  Y aussi.
Si ( X n ) n est une famille d'ensembles dénombrables,
X n est dénombrable.
n
n'est pas dénombrable : son cardinal c0 est appelé puissance du continu
2
,[0,1],]0,1[ ont la puissance du continu
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I. Ouverts et fermés
( E, d ) est un espace métrique
On dit que   E est un ouvert (pour d ) si : x , r  0 / B( x; r )  
Une boule ouverte de E est un ouvert de E
ensemble des ouverts de E (  P ( E )).
( 1 )  et E sont dans
(
2
)
Une réunion d'éléments de
appartient à
( 3)
Une intersection finie d'éléments de
(H )
( x, y )  E 2 , x  y, (1 ,  2 ) 
Une collection de parties
Si
vérifie les trois propriétés suivantes :
vérifiant ( 1 ), (
2
2
appartient à
 x  1 , y   2
tq 
1   2  
), ( 3 ) est une topologie.
vérifie de plus ( H ), on dit que la topologie est séparée
Une partie V est un voisinage de a  E lorsqu'il existe un ouvert  tel que a   V
On note V(a) l'ensemble des voisinages de a
E  V(a). ||
V  V(a) et V  W  W  V(a) ||
V  V(a)  r  0 / B(a, r )  V
L'intersection d'un nombre fini de voisinages de a est un voisinage de a
Une partie   E est ouverte ssi elle est un voisinage de chacun de ses points
Soit a  E , F l'ensemble des fonctions définies sur un voisinage de a à valeurs dans E '
Une propriété P sur F est locale lorsque : ( f , g )  F 2 ,(V  V(a) / f \V  g \V )  (P ( f )  P ( g )))
Une partie F de E est fermée dans E si son complémentaire E \ F est ouvert dans E
Par complémentarité : ( F1 ) E et  sont fermés
( F2 ) Une intersection de fermés est un fermé
( F3 ) Une réunion finie de fermés est un fermé
Intervalle de
(a, r )  E 
*

: ouvert/fermé pour l'ordre  ouvert/fermé pour d |.|
La boule B(a, r ) est fermée pour d
( E, d ) espace métrique, A  E
La distance induite par d sur A est la restriction de d à A  A, notée d A
On appelle topologie trace (ou induite) sur A la famille des parties de A de la forme   A, où  ouvert de E
A  {  A,   } est alors une topologie. Une partie   A est dans
A ssi  est ouverte pour d A
B  A. On a équivalence entre : a) B est fermé pour d A
b) B est fermé pour
A
c) Il existe un fermé F de E tel que B  A  F
A ouvert  Tout ouvert de
A
est ouvert de
||
A fermé  Tout fermé de A est fermé dans E
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Chap 3 : Topologie et analyse fonctionnelle
 ( ouvert de A / a    A)  (r  0, B(a, r )  A)
Un point a  A est intérieur à A lorsque A  V(a)
L'ensemble des points intérieurs à A s'appelle intérieur de A et se note A ou int( A)
A est ouvert, c'est le plus grand ouvert inclus dans A
b  E. On a équivalence entre : (i )
(ii )
(iii )
(iv)
V  V(b), V  A  
 ouvert de E , b      A  
  0, B(b,  )  A  
  0, x  A, d (b, x)  
On dit alors que b est adhérent à A. L'adhérence de A adh( A) (ou A) est l'ensemble des points adhérents à A
E \ A  int( E \ A)
A est le plus petit fermé contenant A : A 
F
F fermé/ A F
On a tjs : B(a, r )  int( B(a, r )).
E evn  B(a, r )  int( B(a, r ))
B ( a, r )  B ( a , r )
A  E, b  E 
(ctr.ex : )
E evn  B(a, r )  B(a, r )
n
b  A  ( xn )n  A tq ( xn )n 
b
A est fermée  A  A  ( xn )n  A , [( xn )n converge  lim xn  A]
n
( E,
) evn : A  E est convexe lorsque : ( x, y)  A , [ x, y]  {(1  t ) x  ty / t [0,1]}  A
2
A B  int( A  B) int( A  B)  A B
A B  A B
A B  A B
A convexe  A et A convexes
A  E et B  E. A est dense dans B lorsque B  A. || Si A est dense dans E , on dit qu'elle est partout dense.
A  E dense dans E  Tout ouvert non vide de E rencontre A  Tout point de E est limite d'une suite de A
Sous groupes additifs de
: denses dans
ou 
avec  
*

Frontière de A : A  Fr ( A)  A \ A
a  A point isolé de A : r  0 / B(a, r )  A  {a}
Ai  {points isolés de A}
|| a  A point d'accumulation : r  0,( B(a, r ) \{a})  
A '  Ac  {points d'accumulation de A}
II. Limites, continuité
( E, d ) et ( F ,  ) espaces métriques
f : E  F , A  E , a  A. f admet une limite en a selon A lorsqu'il existe l  F tq :
V  V(l ), U  V(a) / f (U  A)  V
(   0,   0 / x  B( A, )  A,  ( f ( x), l )   )
Si f admet l et l ' pour limites en a selon A, l  l '
La notion de limite est locale en a.
||
||
Si lim f ( x)  l et a  A, alors l  f (a)
x a
xA
f possède un limite en a selon A  f bornée au voisinage de a
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 lim f ( x)  l  l  f ( A)
A '  A, a  A ' et lim f ( x)  l  lim f ( x)  l
||
x a
xA
x a
xA
x a
xA '
Réunion FINIE avec même limite :  lim f ( x)  l et  lim f ( x)  l   lim f ( x)  l
x a
xA
x a
xB
x a
xA B
lim f ( x)    M  0,   0 / x  B(a, r )  A, f ( x)  M
Limites infinies :
x a
xA
 lim f ( x)  l    0, R  0 / x  E , x  r  f ( x)  l  
x 
Opérations : Combinaison linéaire ok. Composition : f : E  F , g : F  G, A  E , a  A, B  F et b  B
 lim f ( x)  b, lim g ( y)  l , f ( A)  B

lim g f ( x)  l
x a
xA
y b
yB
x a
xA
) algèbre normée,  lim f ( x)  l , lim g ( x)  l '  lim g ( x) * f ( x)  l * l '
Si ( F ,
x a
xA
Critère séquentiel : a  A
f : A

x a
xA
x a
xA
f possède une limite en a selon A  (( xn )n  A , (( xn )  a  ( f ( xn )) CV) )
monotone possède en tout point où cela a un sens une limite à gauche et à droite
On dit que f : E  F est continue en a  E lorsque : lim f ( x)  f (a)
x a
xE
 V  V( f (a)), V  V(a) / f (U )  V

V  V( f (a)), f 1 (V ) est un voisinage de a dans E
Opérations : Combinaison linéaire, produit, composition.
f continue en a  E  (( xn )n  E ,(( xn )n  a  ( f ( xn ))n CV))
f :I 
réglée lorsque f admet une limite à gauche et à droite en tout point de I ou cela a un sens
f tq f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
 
/ f ( x)   x  f C °  f a au moins 1 pt de C °
 f monotone  f bornée sur V(0)  le graphe de f n'est pas dense dans
2
III. Propriétés globales des fonctions continues
f : E  F, A  E
f est continue sur A si f \ A est continue
C ( E , F )  { f : E  F C }
f est continue si elle est continue en tout point de E
Si A ouvert et f \ A continue, tout point de A est point de continuité de f
F evn  C ( E , F ) est un espace vectoriel
f : E  F . On a équivalence entre :
f  C ( E, F )
F algèbre normée  C ( E , F ) algèbre
(i )
f est C 
(ii)
 ouvert de F , f 1 () ouvert de E
(iii)
F fermé de F , f 1 ( F ) fermé de E
b  F  f 1 ({b}) fermé
En particulier, l'ensemble des 0 d'une fonction est fermé
f : X  Y est ouverte (resp. fermée) si pour tout  ouvert (resp. fermé) de X , f () est ouvert (resp. fermé) dans Y
( X ,Y ) espaces topologiques, f : X  Y est un homéomorphisme lorsque f bijection continue et f 1 continue
Les homéomorphismes se composent et s'inversent
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f C ( X ,Y ) homéomorphisme ssi f bijective et ouverte ssi f bijective et fermée
I intervalle de , f  C ( I , ) f inj ssi f strictement monotone  f homéo de I sur f ( I )
f  ,a : x
 x  a est un homéomorphisme. Une isométrie bijective entre espaces métriques est un homéo
IV. Applications uniformément continues, lipschitziennes
Ce sont des notions métriques : ( X , d ) et (Y ,  ) espaces métriques
f : X  Y est uniformément continue si :   0,   0 / ( x, x ')  X 2 , d ( x, x ')     ( f ( x), f ( x '))  
Négation :   0 /   0, ( x , x ' ) tq d ( x , x ' )   et  ( f ( x ), f ( x ' ))  
 ( xn , xn )  ( X )2 tq d ( xn , xn )  0 et  ( f ( xn ), f ( x 'n ))  0
Opérations : Combinaison linéaire, composition
f : X  Y est lipschitzienne s'il existe k 
k est un rapport de Lipschitz

(mais PAS LE PRODUIT : x
x 2 non UC)
x UC, x
tq : ( x, y )  E 2 ,  ( f ( x), f ( y ))  kd ( x, y )
f lipschitzienne  uniformément continue
f  C 1 ( I , ) : f lipschitzienne sur I  f ' bornée sur I
Fonctions   höleriennes (  0) : k  0 / ( x, y)  I 2 , | f ( x)  f ( y) | k | x  y |
  1  cste
V. Espaces produits
( E1 , d1 ),( E2 , d2 ) espaces métriques
E 2
 
On définit d 
( x1 , x2 ),( y1 , y2 ) max(d1 ( x1 , y1 ), d 2 ( x2 , y2 ))
La topologie produit de E est celle donnée par la distance d
E  E1  E2
Bd ((a1 , a2 ), r )  Bd1 (a1 , r )  Bd2 (a2 , r )
 est un pavé ouvert lorsqu'il existe un ouvert U1 de E1 et un ouvert U 2 de E2 tels que U  U1 U 2
Tout pavé ouvert de E est ouvert de ( E , d ). Tout ouvert de ( E , d ) est réunion de pavés ouverts
F1 , F2 fermés de E1 , E2  F1  F2 fermé de E
/!\ Un ouvert de E n'est pas en général un produit d'ouverts (idem fermé)
 E1  E2  Ei
On note, pour i {1,2}, pi 
la projection de E sur Ei
( x1 , x2 ) xi
Les projections sont 1  lipschitziennes. Elles sont ouvertes (mais en général non fermées px {xy  1  0}  *)
( xn )  ( x1n , x2 n )  E
( xn )n converge  ( x1n )n et ( x2 n ) CV, et dans ce cas lim xn  ( lim x1n , lim x2 n )
A  X où X espace topo, f : X  E1  E2 , f  ( f1 , f 2 )
n
n
n
(où fi  pi f )
f possède une limite en a  A selon A  f1 et f 2 possède une telle limite. Alors lim f ( x)  (lim f1 ( x),lim f 2 ( x))
x a
xA
x a
xA
x a
xA
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f est continue en a (resp sur X ) ssi f1 et f 2 sont continues en a (resp sur X )
f : E1  E2  X
E  X
E  X
Les applications partielles de f en (a1 , a2 )  E1  E2 sont f (a1 , )  2
f (, a2 )  1
f (a1 , x2 )
f ( x1 , a2 )
 x2
 x1
Si f est continue, ses applications partielles sont continues (Réciproque fausse)
Polynôme à plusieurs indéterminées

ou , n  *
Monôme : X 11 ... X n n
Polynômes :
où les  i  .   (1 ,..., n ), X   X 11 ... X n n
  X  où les  sont nuls sauf un nombre fini. (L'écriture est unique)

n
Produit : distributivité X  X   X   
Addition : sur chaque monôme
[ X 1 ... X n ] est l'ensemble des polynômes : c'est une algèbre commutative de base ( X  )
(Thm général) A
n
 algèbre commutative unitaire, (a1 , ..., an )  An . Il existe un unique morphisme d'algèbre
f : [ X 1 ... X n ]  A tel que f (1 )  1A et pour tout i 
n
, f ( X i )  ai


f    X 11 ... X nn     a11 ...ann
  n
  ,
Degré total d'un monôme : deg( X 11 ... X n n )  1  ...   n
Degré total d'un polynôme
  X 

Degré partiel d'un monôme : deg X i ( X 11 ... X n n )   i
: max{1  ...   n /  
n
,   0}
n
Polynôme homogène : tous les monômes intervenant dans P ont le même degré principal
P s'écrit de manière unique P   Pn avec ( Pn )n suite presque nulle de polynômes homogènes de degré n
n
 n


Fonct° polynôme attachée à P : P 
( x ...x )
 1 n
  x
1
1

n
n
...xn
  [ X 1... X n ]  F (

 P
P

n
, )

morphisme d'algèbre 


P  [ X 1... X n ], P est continue
S'il existe des parties infinies A1 , ..., An de
telles que P s'annule sur A1  ...  An , P  0
VI. Applications linéaires continues
Particularité de la topologie d'un evn : invariance par translation et homothétie
F sev de ( E,
( E,
E
) et ( F ,
F
)
f  EF 
H hyperplan de E  H est soit fermé soit dense
) evn
LC ( E, F )  L ( E, F )  C ( E, F )
GLC ( E )  {u  GL( E ) / u et u 1 sont continues}
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u  L ( E , F ). On a équivalence entre :
1) u continue sur E
2) u continue en 0
4) u bornée sur B(0,1)
3) u continue en un point au moins
5) u bornée sur S (0,1)
6) u bornée sur une boule B(a, r ) (r  0) au moins
7) k  0 / x  E , u ( x)
F
k x
u  L ( E, F ) continue  sup u ( x)
xB E ( 0,1)
u  sup u ( x)
xB E ( 0,1)
x  E , u ( x)
F
F
8) u est lipschitzienne
E
F
 sup u ( x)
xSE ( 0,1)
F
 min{k  0 / y  E , u ( y )
F
 l y E}
est la norme d'opérateur/associée/subordonnée de u : c'est une norme sur LC ( E, F )
 u x
E
(u, v)  LC ( E, F )  LC ( F , G), v u
E ,G
 v
F ,G
 u
E ,F
 (LC ( E ),
) est une algèbre normée
u C °  ker u fermée
VII. Comparaison des normes
E
 ev avec

ou , N1 et N2 deux normes sur E
N 2 est plus fine que/domine N1 si : c  0 tq x  E , N1 ( x)  cN 2 ( x)
N1 et N 2 sont équivalentes si : (c, d ) 
*2

tq x  E , dN 2 ( x)  N1 ( x)  cN 2 ( x) (relation d'équivalence)
N2
N1
N 2 plus fine que N1  ( xn )n  E ,( xn )n 
 0  ( xn ) n 
0
N 2 équivalente à N1  N 2 et N1 ont les mêmes suites convergentes
N 2 est plus fine que N1 ssi tout ouvert pour N1 est ouvert pour N 2 (idem pour les fermés)
Deux normes équivalentes donnent la même topologie
On admet pour l’instant : en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes
VIII. Compacité
( X , d ) espace métrique
( X , d ) est compact si, de toute suite de points de X , on peut extraire une sous-suite convergente dans X
Si A  E em : A compacte  u  A , a  A et  extraction tq : u ( n )  a
A partie compacte de ( E ,
( E,
)  A est fermée bornée
) evn compact : Y  E compacte pour dY  Y fermée
( X , d ) em compact  X complet
( Fn ) suite décroissante de fermés de l'espace compact X 
Fn    n  , Fn  
n
n, on prend un  Fn X compact  u ( n)  a.n  N , (n)  n  N  u ( n)  FN fermé:a 
FN
( X1 , d1 ) et ( X 2 , d2 ) espaces compacts  ( X1  X 2 , d ) est compact
A(
n
,

)
A compacte ssi A fermée bornée
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A  E, N1 et N2 normes équivalentes. A compacte de ( E, N1 )  A compacte de ( E, N2 )
( X , d ) espace métrique compact, u  X
u converge  u possède au plus une valeur d'adhérence
( X , d ) et (Y , ) espaces métriques, f C ( X ,Y )
Si X compacte, f ( X ) est compacte
Soit X espace métrique compact non vide :
1. Si f  C ( X , ), f est bornée et atteint ses bornes
2. Si g  C ( X , E ), E evn  a  X tq g (a)  sup f ( x)
xE
(Théorème de Heine) X et Y espaces métriques, avec X compact :
Toute application continue f : X  Y est uniformément continue
Par l'absurde : f non UC  d ( xn , xn )  0, et  ( f ( xn ), f ( x 'n ))   x ( n )  a  X  f ( xn )  f (a), f ( x 'n )  f (a) NON
Même résultat sur
si f périodique continue ou f continue avec limites en   et  
Compléments
( X , d ) espace métrique compact,   0. Il existe une partie finie A de X telle que X 
Bd (a,  )
aA
B(a,  )  a0  X : X  B(a0 ,  )  a0  X \ B(a0 ,  )...
P.abs : supp A  X finie, X 
aA
(an ) vérifie : m  n, d (am , an )   : extraction DV:NON
// HP //
L'espace topologique X vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue ( BL) lorsque :
(i )iI famille d'ouverts de X tels que X 
i , il existe J  I finie telle que X 
iI
i
iJ
(ie : de tout recouvrement de X on peut extraire un recouvrement fini)
(I )
( xn )n  X  L'ensemble des valeurs d'adhérence de ( xn )n est A 
Adh{u p , p  n} toujours fermé
n
a  A  n  ,   0, a  B(a,  ) {xm , m  n}  n  , a {xm , m  n}
X vérifie BL, ( Fn ) suite décroissante de fermés non vides 
Fn  
n
X \ Fn  X . BL  N 
Sinon,
/X 
n
X \ Fn   
n 0, N
Fn  FN
NON
n 0, N
Lemme de Lebesgue : (i )iI recouvrement ouvert de X (compact)    0 / x  X , i  I / B( x,  )  i
1
 0, xn  X , i  I , B( xn ,  )  i : ( x ( n ) )  a  i0  I , a i0 ouvert: / B(a,  )  i0
n

1


1 


n tq
 : d ( x ( n ) , a)   B  x ( n ) ,
  B  x ( n ) ,   B(a,  )  i0 contradiction
 ( n) 2
2

(
n
)
2



p.abs: 
// HP //
Théorème de Borel-Lebesgue : X (espace métrique) compact  X vérifie l'axiome de Borel-Lebesgue
 Si X vérifie BL : (un )  X , Fn  {um , m  n} suite  fermés non vide: AH = Fn    (un ) possède une va
 (i )iI recouvrement de X ,   0 / x, i  I , B( x,  )  i thm  : recouvrement fini de boules B( xi ,  )  ik  OK
Utilité : Passage du local au global
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Chap 3 : Topologie et analyse fonctionnelle
IX. Espaces vectoriels normés de dimension finie

ou .
 ev de dimension finie
E
n
N norme sur
: N est continue pour la topologie produit
N est équivalente à
(1 ... n ) base canonique de
S  {x 
n
, x

n

: N(X Y)  x  y
 1} compact pour


 N ( )  N k  lip  C °
i
 x 
N ( x) C 0 sur S  borné et atteint ses bornes       N 

 x 
 
.x
Sur E , toutes les normes sont équivalentes
Idée : choisir une norme adaptée au problème posé
A  E (de dim finie) : A compacte  A fermée bornée
Les boules fermées sont compactes
( E,
(I )
) evn de dimension finie  E est complet
) evn (de dim qcq)
( E,
F sev de E de dimension finie  F est fermé dans E
E , F evn. Si E est de dimension finie, L ( E, F )  C ( E, F )
( E,
E
) evn de dim finie : u : ( E,
)  (F,
E
F
)
(Utiliser N )
x  SE (0,1) tq u( x)
F
 u
Si F est de dimension finie aussi, L ( E, F ) est de dim finie et B  {u  L ( E, F ), u  1} est compact
E evn de dim finie, de base (e1...en )
n
 n

( xk )k    xik ei   E CV ssi i  1, n ,( xik ) k CV. Dans ce cas, lim xk   ( lim xik )ei
k 
k 
i 1
 i 1
k
Résultat analogue pour les limites de fonction, et les fonctions continues
F evn de dim finie de l'evn ( E,
)
x  E, a  F ; x  a  d ( x, F )
Thm de Ricsz : E de dim   ( xn )  E , (m, n) 
2
, xn  xm  1 et m  n  xn  xm  1
B(0,1) compacte  E de dimension finie
C  {x  E / (a0 ...an )  An1 , (0 ...n ) 
Enveloppe convexe : ( A) 
convexe C  A
Thm séparation : C   cvxe fermé de
n
n 1
Z
n
n
i 0
i 0
/  i  1 et x   i ai }
euclidien : x  E, ! p  C tq x  p 2  d ( x, C ) et q  C,  x  p | q  p  0
X. Espaces complets
L'espace métrique ( X , d ) est complet lorsque toute suite de Cauchy de X converge (dans X )
( X1 , d1 ) et ( X 2 , d 2 ) em complets  ( X1  X 2 , d ) est complet
X em : A  X complète  A fermée
||
A fermée dans X em complet  A est complète
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Chap 3 : Topologie et analyse fonctionnelle
Critère de Cauchy : A  E , a  A et f : A  ( X , d )
f admet une limite en a selon A    0,   0 / (u, v)  ( B(a, )  A) 2 , d ( f (u ), f (v))  
C'est une condition suffisante si X est complet
( a, b) 
2
f  C pm (
, f :]a, b[

p

, )

a
f ' bornée au voisinage de a  f possède une limite en a
f CV    0, M  0 / x, y  M
( X , d ),(Y ,  ) evn avec (Y ,  ) complet, f : A  Y fonction UC.

y
x
f 
A  X  ! g : X  Y tq g \ A  f .
g est UC
a  B( x, / 2)  A, d (a, b)     ( f (b), f (a))    Crit. Cauchy. Y complet : f possède lim g ( x) en x (unique par PPI)
UC : ( x, y)  X 2 , d ( x, y)   / 2. an , bn tq an  x, bn  y.C  de d  d (an , bn )   apcr   ( f (an ), f (bn ))     ( g ( x), g ( y ))  
C. part : X ,Y evn, Y complet, A dense dans X . f : A  Y lin et continue  f lip, UC, et g linéaire, avec g  f
Un evn ( E,
) complet est appelé espace de Banach
Tout evn de dim finie est complet.
X ensemble, ( F ,

) de Banach : B( X , F )  { f : X  F bornée} est complet pour
CVU
f n  C ( X , ) , a  X : Supp U  V(a), f : U  , et ( f n \V ) n 
 f \V
 (Cb ( X , ),


f est continue en a
)  C ( X , )  B( X , ) est complet
E , F evn, F de Banach  (LC ( E , F ),
) est complet
Plan pour montrer la complétude d'un espace de fonctions : I .CVS II .lim dans l'espace III .CV pour la norme
l ( )  {(un ) 
// HP // 1

/ | un | CV} u 1  | un |
(l1 ( ),
n 0
1
) est un espace de Banach
) evn : la série  xn à termes dans E est absolument convergente lorsque  xn converge
( E,
Normalement convergent : convergent pour

(dans les espaces de fonctions)
Si E n'est pas complet, une série peut être ACV et non CV
// HP //
( E,
) evn : E complet  Toute série ACV de E converge
E espace de Banach : GLC ( E )  {u  LC ( E ) / v  LC ( E ), u v  v u  Id E }
// HP //
u  LC ( E ) : u  1  Id E  u  GLC ( E )
GLC ( E ) est ouvert dans LC ( E ), et u
u 1 est continue sur LC ( E )
Compléments
// HP //( I )
Théorème du point fixe (Picard) : ( X , d ) em, A  X , f : A  X
A  , A complète, f ( A)  A et f strictement contractante  !l  A, f (l )  l
Dans ce cas, si u0  A et n  , un1  f (un )  (un ) n CV vers l
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Chap 3 : Topologie et analyse fonctionnelle
( xn  Fn  Cauchy)
Lemme de Baire : Fn suite décroissante de fermés de l'espace complet ( E , d )
Si la suite (diam Fn )n tend vers 0, il existe a  E tel que
Fn  {a}
n
Théorème de Baire : (n ) n suite d'ouverts denses de l'espace métrique complet ( E , d )
Alors A 
n est dense dans E
n
 ouvert de E : a0   , r0  0 tq B(a0 , r0 )  0   ,..., a j 1  B(a j , rj ), rj 1 
tq B(a j 1 , rj 1 )  B(a0 , r0 )  ...  B(a j , rj )  
rj
2
Lemme de Baire (rn  0) :
B(a j , rj )  {a}  A  
j
Un résiduel est une intersection dénombrable d'ouverts denses
Espace de Baire : espace vérifiant : tout résiduel est dense
(Gn )n famille de fermés de ( E, d ). Si tous les Gn sont d'intérieur vide, alors G 
Gn est d'intérieur vide
n
XI. Applications multilinéaires continues
( E,
E
), ( F ,
F
) et (G,
G
) 3 evn
 application bilinéaire de E  F dans G.
 continue  C  0, ( x, y)  E  F ,  ( x, y) G  C x E  y
F
E1...E p , G de dimensions finies. Toute application multilinéaire  : E1  ...  E p  G est continue
XII. Connexité
E espace topologie. On a équivalence entre :
(i ) Si 1 et  2 sont deux ouverts de E tq E  1   2 et 1   2   , alors l'un des deux est vide
(ii )
Si F1 et F2 sont deux fermés de E tq E  F1  F2 et F1  F2   , alors l'un des deux est vide
(iii ) Les seules parties ouvertes et fermées de E sont  et E
( f 1 ({1}), f 1 ({0})) part° fermée
(iv) Toute fonction continue f : E  {0,1} est constante
On dit alors que E est connexe
( E , d ) em. A connexe  A connexe
Ai  ,
( Ai )iI famille de parties connexes de E. Si
iI
// HP //
Ai est connexe
Utiliser (iv)
iI
Composantes connexes : a  E , C (a) 
Ci est connexe : c'est le plus grand connexe contenant a
aCi connexe de E
f  C ( E, F ), A partie connexe de E  f ( A) est connexe dans F
A  . A est connexe ssi c'est un intervalle
A  E est connexe par arcs lorsque pour tout (a, b)  A2 , il existe  ab  C ([0,1], A)
tel que  ab ([0,1])  A,
 ab (0)  a et
 ab (1)  b
A connexe par arcs  A connexe ||
L'image continue d'une partie connexe par arcs est connexe
Le produit de deux parties connexes par arcs est connexe par arcs
E evn et A ouvert de E  A connexe ssi A connexe par arcs polygonaux
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Chap 3 : Topologie et analyse fonctionnelle
 ab ([0,1]) est une union de connexe ayant un point commun 4 : aRb   ab :[0,1]  A affine par morc.
1: A 
bA
R Rel d'équiv. Classes d'équiv ouvertes (car A ouverte)
2
\
2
A connexe  une seule classe d'équiv
est connexe par arcs (cercles passant par a, b, r avec r 
( X , d ) em, f C ( X ,Y )
2
 nb dén, or cercles passant par a, b non den)
Si f est localement constante et X est connexe, alors f est constante
I intervalle de , f  C ( I , ) f injective  f strictement croissante
C  {( x, y )  I / x  y}
2
C 

 :
 ( x, y )

f ( y )  f ( x)  C (C , )
yx
f inj   (C )  *, et  (C ) connexe...
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