Matrices 1 Structure d`espace vectoriel sur l`ensemble des matrices

Matrices
1 Structure d’espace vectoriel sur l’ensemble des
matrices
Soient Kun corps (i.e. Roù C), m, n ∈N. Une matrice de type (m, n)à coeffi-
cients dans Kest la donnée de mn éléments de K. On représentera une matrice
sous la forme d’un tableau
mlignes 
ncolonnes
z}| {
a1,1a1,2. . . a1,n
··· ··· ···
am,1am,2. . . am,n 
Exemple : la matrice 0
mlignes 
ncolonnes
z}| {
0 0 ... 0
··· ··· ···
0 0 ... 0
qui est appelée la matrice nulle.
Lorsque m=n, les matrices de type (m, n)seront appelées matrices carrées
d’ordre n.
Exemple : La matrice
In=
100··· 0
010··· 0
··· ··· ··· ···
0 0 ··· 0 1
appelée matrice identité.
Plus généralement, une matrice de la forme
α10 0 ··· 0
0α20··· 0
··· ··· ··· ···
0 0 ··· 0αn
est appelée matrice diagonale.
1

Une matrice de la forme
a1,1a1,2a1,3··· a1,n
0a2,2a2,3··· a2,n
··· ··· ··· ···
0 0 ··· 0an,n
est appelée matrice triangulaire supérieure.
Nous allons maintenant définir une addition et une multiplication par un scalaire
sur l’ensemble Mm,n(K)des matrices de type (m, n)à coefficients dans K.
Soient Aet Bdeux éléments de Mm,n(K). Écrivons A= (ai,j )1≤i≤m,1≤j≤net B=
(bi,j )1≤i≤m,1≤j≤n. On définit A+Bcomme étant la matrice (ai,j +bi,j )1≤i≤m,1≤j≤n
comme pour les vecteurs, on fait l’addition coordonnée par coordonnée, en par-
ticulier, il faut que les deux matrices aient même type.
Pour tout λ∈K, on notera λA la matrice (λai,j )1≤i≤m,1≤j≤n.
On multiplie chaque coordonnées par λ.
proposition 1. Le triplet (Mm,n(K),+, .)est un K-espace vectoriel d’élément
neutre la matrice nulle.
Preuve : Exercice.
2 Multiplication de matrices
Donnons-nous une matrice Ade type (m, n)et une matrice Bde type (n, p).
Nous allons définir le produit A.B.
Écrivons A= (ai,j )1≤i≤m,1≤j≤net B= (bj,k)1≤j≤n,1≤k≤p. On définit A.B comme
une matrice de type (m, p)égale (ci,k)1≤i≤m,1≤k≤pavec ci,k =Pn
j=1 ai,j .bj,k
Formellement, on l’écrit sous la forme suivante :
b1,1b1,2. . . b1,p
· · · · · · · · ·
bn,1bn,2. . . bn,p 
a1,1a1,2. . . a1,n
··· ··· ···
··· ··· ···
··· ··· ···
··· ··· ···
··· ··· ···
am,1am,2. . . am,n
c1,1c1,2. . . c1,p
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
cm,1cm,2. . . cm,p
Pour calculer c1,1on va utiliser les coefficients de Aqui sont dans la même ligne,
et les coefficients de Bqui sont dans la même colonne. c1,1=a1,1.b1,1+a1,2.b2,1+
a1,3.b3,1+....
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Exemple 
3 4 −2 1
4−2−1 0
0 1 2 −1
µ2 1 1
−1−5 4 ¶ µ 10 7 −3 1
−23 10 15 −5¶
proposition 2. La multiplication de matrices vérifie les propriétés suivantes
1. Pour toute matrice Ade type (m, n), toute matrice Bde type (n, p)et tout
scalaire λon a
A.(λB) = λ(AB) = (λA)B.
2. Pour toutes matrices A, B de type (m, n)et toute matrice Cde type (n, p)
on a (A+B).C =A.C +B.C (disctributivité à gauche).
3. Pour toute matrice Ade type (m, n)et toutes matrices B, C de type (n, p)
on a A.(B+C) = A.B +A.C (dictributivité à droite.
4. Pour toute matrice Ade type (m, n), toute matrice Bde type (n, p)et toute
matrice Cde type (p, q)on a A.(B.C) = (A.B).C (associativité).
5. Pour toute matrice Ade type (m, n)on a Im.A =A.In=A.
Preuve : : Exercice, ou second semestre.
ATTENTION : En général, si on a une matrice Ade type (m, n)et une matrice
Bde type (n, p)alors on peut parler de A.B mais pas de B.A en général. Pour
cela, il faut que p=n.
Exemple : Prenons A=
3 4 −2 1
4−2−1 0
0 1 2 −1
et B=
−1 2 4
4 0 −1
−1 0 1
2−7 2
. Alors
A.B est une matrice de type (3,3)
A.B =
17 −1 8
−11 8 17
0 7 −1
tandis que B.A est une matrice de type (4,4)
B=
5−4 8 −5
12 15 −10 5
−3−3 4 −2
−22 24 7 0
Même lorsque m=n=p(auquel cas A.B et B.A sont deux matrices de type
(m, m), i.e. matrice carrée d’ordre m) on n’a pas égalité en général
Si A=µ1 2
3 4 ¶et B=µ−1 2
−3 1 ¶
Alors A.B =µ−7 4
−15 10 ¶et B.A =µ5 6
0−2¶
3

3 Quelques objets associés à une matrice
Soit M∈Mm,n(K). On définit alors une application linéaire fM:Kn→Kmpar
fM(X) = MX.
Les propriétés du produit de matrice vues ci-dessus font que cette application est
linéaire. Vous verrez au second semestre que ce procédé est en fait réversible : à
toute application linéaire on peut associer une matrice. L’étude des applications
linéaires peut ainsi se ramener à l’étude des matrices.
Définissons maintenant un sous-ensemble de Knpar
KM={X∈Kn|MX = 0Km}.
L’ensemble KMest alors un sous-espace vectoriel de Kn.
Exemple : Si M= (1,2,3) alors
KM=©¡ x//y//z ¢|x+ 2y+ 3z= 0ª.
Une telle représentation d’un espace est appelée représentation implicite. L’avan-
tage d’une telle représentation est qu’il est aisé de vérifier si un vecteur donné
appartient à cet espace vectoriel (il suffit de le multiplié à gauche par la matrice
M), il est toutefois plus compliqué de trouver de tels vecteurs (car il faut résoudre
un système linéaire).
Définissons maintenant un sous-ensemble de Kmpar
IM={Y∈Km| ∃Y∈Kntel que X=MY }.
Utilisant de nouveau les propriétés du produit de matrices, on montre que cet
ensemble est un sous-espace vectoriel.
Exemple : considérons la matrice
P=
1 4
2 5
3 6 
On a alors
IM=
x+ 4y
2x+ 5y
3x+ 6y
, x, y ∈K
Une telle représentation est appellée représentation paramétrique. Avec une telle
description, il est asié de produire des vecteurs (remplacé les x, y par des va-
leurs) mais plus difficile de tester si un vecteur particulier est dans le sous-espace
vectoriel.
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Il peut donc etre utile de passer d’une représentation à l’autre, ce qui peut se
faire à l’aide du pivot de Gauss.
Exemple : Soit M=µ1 1 4 4
2 1 4 2 ¶. Donner une représentation paramétrique
de KM.
Soit P=
4 10
−4−6
1 0
0 1
. Donner une représentation implicite de IP.
4 Inverse d’une matrice
Definition 1. Soit Aune matrice carrée de type (n, n). On dira que Aest inver-
sible s’il existe une matrice carrée de type (n, n)telle que B.A =A.B =In. La
matrice Best alors appelé l’inverse de A.
proposition 3. Soit Aune matrice carrée inversible de type (n, n)et Mune
matrice de type (n, m). Si A.M = 0 alors M= 0
Preuve : Notons Bl’inverse de Aet multiplions à gauche par B. On a donc
B.A.M = 0 (l’ordre dans lequel on multiplie est égal car la multiplication est
associative). Or B.A =Inet In.M =M, on trouve donc le résultat.
On prendra garde au fait que si An’est pas inversible, alors ce résultat est faux
Exemple : µ1 0
0 0 ¶µ 0 0
0 1 ¶
proposition 4. Soit Aune matrice carrée d’ordre n. Notons f1,...,fnles vec-
teurs obtenus à partir des lignes de A. Alors la matrice Aest inversible seulement
si la famille f1,...,fnest une base (ou, de manière équivalente, si f1,...,fnest
libre où génératrice).
Dans les faits, si e1,...,endésigne la base canonique, on a fi=A.ei
Preuve : Supposons la matrice inversible. Nous allons montrer que la famille fi
est libre. Pour cela, supposons avoir une combinaison linéaire nulle Piλifi= 0.
Par définition, on a donc
0 = X
i
λiA.ei=X
i
A.(λiei) = A.(X
i
λiei)
D’après la proposition précédente, on trouve que Piλiei= 0 mais comme les
eiforment une base (en particulier une famille libre) on trouve que pour tout i
λi= 0.
Nous verrons plus tard que la réciproque de cette proposition est vraie.
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