Une matrice de la forme
a1,1a1,2a1,3··· a1,n
0a2,2a2,3··· a2,n
··· ··· ··· ···
0 0 ··· 0an,n
est appelée matrice triangulaire supérieure.
Nous allons maintenant définir une addition et une multiplication par un scalaire
sur l’ensemble Mm,n(K)des matrices de type (m, n)à coefficients dans K.
Soient Aet Bdeux éléments de Mm,n(K). Écrivons A= (ai,j )1≤i≤m,1≤j≤net B=
(bi,j )1≤i≤m,1≤j≤n. On définit A+Bcomme étant la matrice (ai,j +bi,j )1≤i≤m,1≤j≤n
comme pour les vecteurs, on fait l’addition coordonnée par coordonnée, en par-
ticulier, il faut que les deux matrices aient même type.
Pour tout λ∈K, on notera λA la matrice (λai,j )1≤i≤m,1≤j≤n.
On multiplie chaque coordonnées par λ.
proposition 1. Le triplet (Mm,n(K),+, .)est un K-espace vectoriel d’élément
neutre la matrice nulle.
Preuve : Exercice.
2 Multiplication de matrices
Donnons-nous une matrice Ade type (m, n)et une matrice Bde type (n, p).
Nous allons définir le produit A.B.
Écrivons A= (ai,j )1≤i≤m,1≤j≤net B= (bj,k)1≤j≤n,1≤k≤p. On définit A.B comme
une matrice de type (m, p)égale (ci,k)1≤i≤m,1≤k≤pavec ci,k =Pn
j=1 ai,j .bj,k
Formellement, on l’écrit sous la forme suivante :
b1,1b1,2. . . b1,p
· · · · · · · · ·
bn,1bn,2. . . bn,p
a1,1a1,2. . . a1,n
··· ··· ···
··· ··· ···
··· ··· ···
··· ··· ···
··· ··· ···
am,1am,2. . . am,n
c1,1c1,2. . . c1,p
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
cm,1cm,2. . . cm,p
Pour calculer c1,1on va utiliser les coefficients de Aqui sont dans la même ligne,
et les coefficients de Bqui sont dans la même colonne. c1,1=a1,1.b1,1+a1,2.b2,1+
a1,3.b3,1+....
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