M2 - Sophie Touzet

T.S.V.P.
I1 - ICAM Toulouse Sophie Touzet
M2 T.D. n° 13 2013-2014
1. Dans une classe de 49 élèves est-il raisonnable de parier que deux élèves au moins fêtent leur
anniversaire le même jour de l’année ?
On négligera les années bissextiles.
2. On considère une classe de N étudiants. On suppose que la probabilité pour qu’un seul étudiant ait
20 à un devoir de probabilités est p, les étudiants ayant tous la même chance d’obtenir cette note.
Le professeur a corrigé N – 1 copies, sans obtenir de 20.
Quelle est la probabilité que le dernier étudiant ait cette chance ?
3. Déterminer une probabilité sur
{
}
1;...;n
Ω = telle que la probabilité de l’événement {k} soit
proportionnelle à k.
4. Dans une usine, la construction d'un train d'atterrissage nécessite l'exécution de trois tâches
consécutives, notées A (construction du compas), B (construction de l'amortisseur), C (construction
de la contrefiche principale).
Un gestionnaire de l'entreprise a relevé sur une longue période les durées nécessaires pour effectuer
chacune des trois tâches :
pour A : un jour ou deux jours;
pour B : quatre jours, cinq jours ou six jours;
pour C : deux jours ou trois jours.
L'observation conduit à admettre que, pour chaque tâche, les durées possibles sont équiprobables.
a) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
i) N
1
: "le temps de construction dure neuf jours";
ii) N
2
: "le temps de construction dure au plus neuf jours";
iii) N
3
: "le temps de construction dure strictement plus de neuf jours"
b) Le temps de construction a duré 9 jours. Quelle est la probabilité que la tâche B ait été effectuée
en 5 jours ?
c) Les événements suivants sont-ils indépendants :
i) N
1
et B
5
: " la tâche B est réalisée en cinq jours ".
ii) H : " le temps de construction dure huit jours" et B
5
.
5. Une urne contient 8 boules blanches, et 2 boules noires. On tire sans remise et successivement 3
boules de l’urne.
a) Quelle est la probabilité que la troisième boule du tirage soit noire ?
b) Quelle est la probabilité que le tirage compte au moins une boule noire ?
c) Sachant qu’une boule noire a été tirée, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit
noire ?
6. Dans un jeu de 52 cartes, on tire une main de 5 cartes. Déterminer les probabilités suivantes :
i) La main continent exactement une dame et un cœur.
ii) La main contient exactement une dame, un roi, et un cœur.

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7. Deux ateliers, notés A et B, d'une même entreprise produisent chaque jour respectivement a
1
et b
1
pièces d'un même modèle M
1
, et a
2
et b
2
pièces d'un même modèle M
2
.
a) On choisit au hasard une usine, et on teste une pièce.
Sachant qu’il s’agit d’une pièce M
1
, quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’atelier A ?
b) On a mélangé les stocks des deux usines. On prélève une pièce au hasard.
Sachant qu’il s’agit d’une pièce M
1
, quelle est la probabilité qu’elle provienne de l’atelier A ?
8. Deux joueurs A et B disposent au début d’un jeu de a et b euros respectivement.
Ils jouent à un jeu équitable. A chaque coup, le perdant donne 1€ au gagnant.
Le jeu s’arrête lorsque l’un des joueurs est ruiné.
On note p
a,b
la probabilité que le joueur A soit ruiné (avec a et b pour sommes initiales).
a) Exprimer p
a,b
en fonction de p
a+1,b – 1
et p
a – 1,b+1
.
b) Etudier la suite u
n
= p
n , a+b – n
; en déduire p
a,b
.
9. Deux joueurs A et B jouent aux dés. A commence. S’il fait 6, il gagne ; s’il fait 4 ou 5, il rejoue ;
sinon, il passe la main à l’autre joueur auquel le même principe s’applique.
Le jeu s’arrête dès que l’un des joueurs fait 6.
On note p
n
la probabilité de l’événement « A joue au n-ième coup », et q
n
la probabilité de
l’événement « B joue au n-ième coup ».
a) Déterminer une relation de récurrence entre p
n+1
, p
n
et q
n
.
b) Déterminer une relation de récurrence entre q
n+1
, p
n
et q
n
.
c) Exprimer la suites (p
n
) à l’aide de n.
Indication : considérer les suites (p
n
+ q
n
) et (p
n
– q
n
).
d) En déduire la probabilité que A gagne en n coups.
e) Déterminer la probabilité que A gagne en n coups au moins.
10. Un prestidigitateur manipule 3 gobelets alignés : l’un contient une balle, les deux autres sont
vides. A chaque manipulation, il inverse les deux gobelets de gauche avec une probabilité de 1/3, ou
les deux gobelets de droite avec une probabilité de 2/3.
La balle ne peut pas passer directement d’un gobelet extrême à l’autre.
Au départ, la balle se trouve dans le gobelet de gauche.
On note 1, 2 et 3 les gobelets de gauche, du centre et de droite respectivement.
Soient pour tout (i ; j)
2
1;3
∈ pi,j la probabilité que la balle passe du gobelet j au gobelet i, et pour
tout entier n : gn la probabilité que la balle soit dans le gobelet de gauche après n manipulations, cn la
probabilité que la balle soit dans le gobelet du centre après n manipulations, et dn la probabilité que
la balle soit dans le gobelet de droite après n manipulations.
a) Expliciter la matrice
(
)
2
i,j
(i;j) 1;3
A p
∈
=
b) Pour tout entier n, on note X
n
=
t
(g
n
c
n
d
n
).
Exprimer la matrice colonne X
n+1
à l’aide de A et X
n
.
c) On admet que les suites (g
n
), et (c
n
) convergent. Après avoir justifié que (d
n
) est également
convergente, déterminer leurs limites.