TD de mécanique des fluides n 1

CPGE PSI 2005-2006
TD de mécanique des fluides no1
Cinématique des fluides
Eddie SAUDRAIS — Auxerre 2005-2006
1 Écoulement tourbillonnaire et
allure des lignes de courant
1) On considère l’écoulement caractérisé par le
champ des vitesses −→ v=ax−→ ey.
a) Cet écoulement est-il tourbillonnaire ?
b) Quel est l’allure des lignes de courant ? Com-
mentaire.
2) On considère l’écoulement caractérisé par le
champ des vitesses −→ v=Γ/(2πr)−→ eθen coordon-
nées polaires.
a) Cet écoulement est-il tourbillonnaire ?
b) Quel est l’allure des lignes de courant ? Com-
mentaire.
2 Écoulement laminaire
On considère l’écoulement laminaire dont le
champ de vitesses a pour expression
−→
v=v(y)−→ ex.
Étudier cet écoulement (on cherchera à en donner
le maximum de caractéristiques).
3 Écoulement non stationnaire
On considère un écoulement bidimensionnel dont
le champ des vitesses est de la forme
−→
v(M,t)=(−kx +bt )−→ ex+asinωt−→ ey.
1) Caractériser cet écoulement.
2) Déterminer les trajectoires des particules de
fluide et les lignes de courant.
3) Calculer l’accélération d’une particule de fluide
de deux manières différentes.
4 Écoulement entre deux
cylindres en rotation
L’écoulement entre deux cylindres d’axe (Oz) en
rotation est donné par le champ des vitesses sui-
vant, en coordonnées, cylindriques :
−→
v=µAr +B
r¶−→
eθ.
Ce champ des vitesses correspond-il à :
— un écoulement stationnaires ?
— un écoulement incompressible ?
— un écoulement rotationnel ?
Vérifier si les conditions aux limites sur les deux cy-
lindres sont correctes.
Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
5 Écoulement radial
On considère une bulle sphérique de rayon R(t),
dont les variations engendrent un écoulement
dans le fluide, caractérisé par un champ des vi-
tesses de la forme −→ v(M,t)=v(r,t)−→ eren coordon-
nées sphériques, le fluide étant supposé parfait et
incompressible.
1) En utilisant la conservation de la masse, donner
l’expression de v(r,t) et fonction de r, du rayon de
la bulle R(t) et de sa dérivée.
2) Déterminer le champ des accélérations.
6 Écoulement autour d’un cy-
lindre
On considère un cylindre d’axe horizontal Oz et de
rayon R, en mouvement rectiligne uniforme à la vi-
tesse U−→ exdans le référentiel terrestre RT.
2 Cinématique des fluides
y
x
M
θ
r
O
On se place dans le référentiel Rlié au cylindre,
dans lequel l’écoulement sera supposé station-
naire, incompressible, irrotationnel et plan, inva-
riant par translation le long du cylindre. En co-
ordonnées cylindriques, le champ des vitesses est
donc de la forme
−→
v(M)=vr(r,θ)−→ er+vθ(r,θ)−→ eθ.
1) Montrer que l’écoulement est potentiel. Quelle
est l’équation différentielle vérifiée par le potentiel
des vitesse φ(r,θ) ?
2) La solution générale de cette équation est de la
forme
φ(r,θ)=α0lnr+β0+
∞
X
n=1¡αnrn+βnr−n¢cos(nθ)
+
∞
X
n=1¡γnrn+δnr−n¢sin(nθ),
où αn,βn,γnet δnsont des constantes.
a) Par des considérations de symétrie, montrer
que γn=0 et δn=0, ∀n.
b) Que vaut la vitesse du fluide loin du cylindre ?
En déduire l’expression du potentiel des vitesses φ
loin du cylindre.
Montrer que l’on a α1= −Uet αn=0, ∀n6= 1.
c) En utilisant la condition aux limites sur la sur-
face du cylindre, montrer que β1= −R2Uet βn=0,
∀n>2.
d) Donner alors l’expression du potentiel φ(r,θ),
et en déduire l’expression du champ des vitesses.
3) Déterminer les points d’arrêt (−→ v=−→ 0 ).
Déterminer la vitesse sur le cylindre. En quels
points a-t-on k−→ vk < U?
Commenter ces résultats en s’aidant de la repré-
sentation des lignes de courant :
7 Étude cinétique d’une tornade
On décrit une tornade par un écoulement incom-
pressible à symétrie cylindrique autour d’un axe
Oz, décrit en coordonnées cylindriques par un
champ de vitesses de la forme −→ v=vθ(r)−→ eθet un
vecteur tourbillon −→ Ωuniforme au sein de la tor-
nade et nul en dehors :
−→
Ω=(Ω0−→
ezpour r6a
−→
0 pour r>a.
1) En utilisant le théorème de Stokes sur un cercle
de rayon r, établir l’expression de vθ(r) pour r6a
et r>a. Où la norme de la vitesse est-elle maxi-
male ?
2) On appelle vortex le cas limite obtenu lorsque
a→0 et Ω0→ ∞, avec Ω0a2=Γ
2π, où Γest une
constante finie.
a) Chercher un potentiel des vitesses φtel que
−→
v=−−−→ gradφpour r6= 0. Comparer φ(r,θ=0) et
φ(r,θ=2π) et conclure.
b) Montrer que la superposition d’un vortex d’axe
Oz à l’écoulement dérivant du potentiel
φ= −Uµr+R2
r¶cosθ
étudié dans l’exercice 6 (écoulement autour d’un
cylindre) satisfait encore aux conditions aux li-
mites sur le cylindre et à l’infini, et est irrotationnel.
Calculer la circulation de −→ vsur le cercle de rayon
Ret de centre O.
Eddie SAUDRAIS — Ne pas apprendre son cours est un délit