variables aléatoires, probabilités conditinnelles, loi

Exercices 23 juillet 2014
Probabilités conditionnelles
Loi binomiale
Équiprobabilité et variable aléatoire
Exercice 1
Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes.
On tire au hasard et simultanément deux boules.
1) Calculez les probabilités des événements
•R « les deux boules sont rouges »;
•V « les deux boules sont vertes ».
2) On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le nombre de boules
vertes obtenues.
•Trouvez la loi de probabilité de X.
•Calculez E(X).
Exercice 2
On club de randonnée propose à ses adhérents une sortie payante suivant les tarifs indi-
qués ci-dessous. Catégorie A
(adultes) J (jeunes) E (enfants)
Sortie 20 e13 e7e
Repas 12 e7e4e
Le club a inscrit 87 participants pour cette sortie dont 58 adultes et 12 enfants.
La moitié des adultes, un quart des enfants et 10 jeunes ont apporté leur propre pique-
nique.
On choisit au hasard un participant. On note X la variable aléatoire qui indique le prix
payé au club par un participant.
1) Faire un arbre d’effectifs suivant la catégorie du participant et suivant qu’il emporte
son pique-nique ou non.
2) Quelles sont les valeurs possibles prises par X?
3) a) Dresser le tableau de la loi de probabilité de X.
b) Sur quel tarif moyen par adhérent peut compter le club s’il renouvelle un grand
nombre de fois ce type de sortie dans les même condition?
Probabilités conditionnelles
Exercice 3
Deux ateliers A et B fabriquent des puces électroniques. Pour une commande de 2 000
pièces, A en a produit 60% et B en a produit 40%. L’atelier A produit 4% de puces
défectueuses et B en produit 3%. On prend une puce au hasard dans la commande. On
appelle A l’événement « la puce provient de l’atelier A », B l’événement « elle provient
de l’atelier B » et D l’événement « elle est défectueuse ».
paul milan 1 Terminale S

exercices
1) Compléter la tableau suivant qui décrit la composition de la commande :
nombre de puces
défectueuses nombre de puces non défectueuses total
nombre de puces
produit par A
nombre de puces
produit par B
total
2) Calculer les probabilités suivantes :
a) p(D), p(A ∩D) et pD(A)
b) p(D), p(D ∩B) et p¯
D(B)
c) Remplir l’arbre suivant :
D
?A
?
B
?
D
?A
?
B
?
Exercice 4
1) A et B sont tels que p(A) =1
2,p(B) =1 4et p(A ∩B) =1 10
Calculer pA(B) et pB(A).
2) A et B sont tels que p(A) =1
2,p(B) =1 3et p(A ∪B) =2 3
Calculer p(A ∩B), pA(B) et pB(A).
3) A et B sont tels que p(A) =1
3,pA(B) =1 4et p¯
A(B) =1
2
Calculer p(B).
4) A et B sont tels que p(A) =1
2,p(B) =3 4et p(A ∩B) =2 5
a) pA(B) et pB(A)
b) Calculer p(A∩B). En déduire p¯
A(B).
Exercice 5
À la suite d’un sondage effectué à propos de la construction d’un barrage, on estime que :
•65% de la population concernée est contre la construction de ce barrage et parmi ces
opposants, 70% sont des écologistes;
•parmi les personnes non opposées à la construction, 20% sont des écologistes.
On interroge une personne au hasard.
1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré.
2) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée soit opposée au barrage et soit éco-
logiste.
paul milan 2 Terminale S

exercices
3) Calculer la probabilité qu’une personne interrogée ne soit pas opposée et soit écolo-
giste.
4) En déduire la probabilité qu’une personne interrogée soit écologiste.
Exercice 6
Un tiroir T1contient cinq pièces d’or et cinq pièces d’argent, un tiroir T2en contient
quatre d’or et six d’argent. On choisit au hasard l’un des tiroirs et dans ce tiroir, on prend
une pièce au hasard.
1) Construire l’arbre pondéré de cette expérience aléatoire.
2) Calculer la probabilité de prendre une pièce d’or
•du tiroir T1;•du tiroir T2.
3) Calculez la probabilité de prendre une pièce d’or.
4) On a extrait une pièce d’or. Quelle est alors la probabilité qu’elle provienne du tiroir
T1? Pouvait-on le prévoir?
Exercice 7
Le personnel d’un hôpital est réparti en trois catégories : M (médecins), S (soignants non
médecins) et AT (personnel administratif ou technique).
•12% sont des médecins et 71% des soignants.
•67% des médecins sont des hommes et 92% des soignants sont des femmes.
On interroge au hasard un membre du personnel
1) Écrire les probabilités correspondantes aux données puis construire un arbre pondéré.
2) Quelle est la probabilité que la personne interrogée soit une femme soignante? une
femme médecin?
3) On sait que 80% du personnel est féminin.
•Calculer la probabilité que la personne interrogée soit une femme AT.
•En déduire la probabilité que la personne interrogée soit une femme sachant que
cette personne interrogée est AT.
Exercice 8
Un lot de cent dés contient vingt dés pipés. Pour un tel dé, la probabilité d’apparition du
6 est égale à 1
2. Les autres dés sont parfaits.
1) On prend au hasard un dé, on le lance. Calculer la probabilité de l’événement S «on
obtient 6 ».
2) On prend au hasard un dé, on le lance, on obtient 6. Calculer la probabilité que le dé
soit pipé.
Exercice 9
Le quart de la population d’un pays a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte 1
12 de
malades. Parmi les malades, 1
5n’est pas vacciné.
paul milan 3 Terminale S

exercices
1) Calculer :
a) la probabilité qu’une personne malade soit vacciné ;
b) la probabilité qu’une personne soit vaccinée et malade;
c) la probabilité qu’une personne soit malade.
2) En déduire la probabilité qu’une personne non-vaccinée tombe malade. Que pouvez-
vous en déduire?
Exercice 10
Une étude épidémiologique concernant une certaine maladie a été faite dans des familles
ayant deux enfants de moins de dix ans : une fille et un garçon. On a constaté que 20 %
des filles et 50 % des garçons sont touchés par la maladie. Par ailleurs, dans les familles
dont la fille est malade, le garçon l’est aussi dans 70 % des cas. On notera :
•F l’événement « la fille de la famille est atteinte par la maladie »;
•G l’événement « le garçon de la famille est atteint par la maladie. »
On choisit au hasard une famille ayant fait l’objet de cette étude. Quelle est la probabilité
que :
1) A « les deux enfants soient atteints par la maladie »;
2) B « au moins l’un des deux enfants soit atteint »;
3) C « aucun des deux enfants ne soit atteint »;
4) D « la fille soit atteinte sachant que le garçon l’est »;
5) E « la fille soit atteinte sachant que le garçon n’est pas atteint. »
6) H « le garçon soit atteint sachant que la fille n’est pas atteinte. »
Exercice 11
On considère l’arbre de probabilités suivant :
A
0,2B
0,68
B
AB
B
0,4
Affirmation : la probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est
égale à 0,32.
Cette affirmation est-elle vraie ou fausse? On se justifiera
Exercice 12
Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l’événement « l’appareil présente un défaut d’apparence» et F l’événement
« l’appareil présente un défaut de fonctionnement ».
On suppose que les événements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02
et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à
0,069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le
défaut F?
paul milan 4 Terminale S

exercices
Indépendance
Exercice 13
Un dé cubique truqué est tel que la probabilité de sortie d’un numéro kest proportionnelle
àk. On lance ce dé et on considère les événements :
•A « le numéro est pair »;
•B « le numéro est supérieur ou égal à 3 »;
•C « le numéro obtenu est 3 ou 4 »
a) Calculez les probabilités de A, B, C.
b) Calculez la probabilité conditionnelle pA(B).
c) A et B sont-ils indépendants? A et C?
Exercice 14
Réunion juin 2005
On considère trois urnes U1, U2, et U3.
L’urne U1contient deux boules noires et trois boules rouges ; l’urne U2contient une boule
noire et quatre boules rouges; l’urne U3contient trois boules noires et quatre boules
rouges.
Une expérience consiste à tirer au hasard une boule de U1et une boule de U2, à les mettre
dans U3, puis à tirer au hasard une boule de U3.
Pour iprenant les valeurs 1, 2 et 3, on désigne par Ni, (respectivement Ri) l’événement
«on tire une boule noire de l’urne Ui» (respectivement «on tire une boule rouge de l’urne
Ui»).
1) Reproduire et compléter l’arbre de probabilités suivant :
N1
N2N3
R3
R2N3
R3
R1
N2N3
R3
R2N3
R3
2) a) Calculer la probabilité des événements N1∩N2∩N3, et N1∩R2∩N3.
b) En déduire la probabilité de l’événement N1∩N3.
c) Calculer de façon analogue la probabilité de l’événement R1∩N3.
3) Déduire de la question précédente que p(N3=2
5.
4) Les événements N1et N3sont-ils indépendants?
5) Sachant que la boule tirée dans U3est noire, quelle est la probabilité que la boule tirée
de U1soit rouge?
paul milan 5 Terminale S