p X - ambition

TerminaleS
Loiscontinues–loisnormales
MmeMAINGUY
FICHE 2 - corrigé  Lois normales
Exercice 1
( )
Onconsidèrelavariablealéatoire X suivantlaloinormalecentréeréduite N 0 ;1 .
Danscetexercice,onarrondiralesrésultatsaumillième.
1)
Déterminonslesprobabilitéssuivantes:
(
)
a/Àl’aidedelacalculatrice,onobtient: p 0 ≤ X ≤ 0,5 ≈ 0,191 b/Onaalors p X ≤ 0,5 = p X ≤ 0 + p 0 ≤ X ≤ 0,5 ≈ 0,5 + 0,191 ≈ 0,691 c/Parsymétriedelacourbe: p X > −0,5 = p X < 0,5 = p X ≤ 0,5 ≈ 0,691 d/Calculde p −1 ≤ X ≤ 0,5 Onsaitque
p −1 ≤ X ≤ 1 = p µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ≈ 0,683
= 2× p µ −σ ≤ X ≤ 0
(
)
(
(
(
(
) (
)
)
(
)
)
)
(
(
(
)
(
)
)
)
p ( −1 ≤ X ≤ 0,5) = p ( −1 ≤ X ≤ 0 ) + p ( 0 ≤ X ≤ 0,5) ≈ 0,3415 + 0,191 ≈ 0,533 e/ p ( X ≥ 1) = p ( X ≤ −1) = p ( X ≤ 0,5) − p ( −1 ≤ X ≤ −0,5) ≈ 0,691− 0,533 ≈ 0,158 f/Calculde p ( X < −2 ) :
Onsaitque: p ( X ≤ −2 ) + p ( −2 ≤ X ≤ 2 ) + p ( X ≥ 2 ) = 1 !##"##
$
D’où: p −1 ≤ X ≤ 0 ≈ 0,3415 (
) (
p( µ −2σ ≤ X ≤ µ +2σ )≈0,954
)
(
Alors: p X ≤ −2 + p X ≥ 2 ≈ 1− 0,954 ≈ 0,046 Onaalors: 2 p X ≤ −2 ≈ 0,046 etdonc p X ≤ −2 ≈ 0,023
(
)
(
)
(
)
2)
Déterminationdelavaleurduréel t :
( )
b/ p ( 0 ≤ X ≤ t ) = 0,15 ⇔ p ( X ≤ 0 ) + p ( 0 ≤ X ≤ t ) = 0,5 + 0,15 = 0,65 ⇔ t ≈ 0,385 c/ p ( X > t ) = 0,9 ⇔ 1− p ( X ≤ t ) = 0,9 ⇔ p ( X ≤ t ) = 0,1 ⇔ t ≈ −1,282 d/
⇔ p 0 ≤ X ≤ t = 0,2 ⇔ p X ≤ 0 + p 0 ≤ X ≤ t = 0,7 a/ p X < t = 0,8 ⇔ t ≈ 0,842 p ( −t ≤ X ≤ t ) = 0,4 ⇔ 2 p ( 0 ≤ X ≤ t ) = 0,4
(
)
(
) (
⇔ p ( X ≤ t ) = 0,7 ⇔ t ≈ 0,524
)
)
Or p X ≤ −2 = p X ≥ 2 (parsymétriedelacourbe)
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Exercice 2
Lesquestionssuivantessontindépendantes.
1)
( )
Onconsidèreunevariablealéatoire Y suivantlaloinormalecentréeréduite N 0 ;1 et a unréeltelque
(
)
p Y < a = 0,7 .
(
) ( )
p (Y ≤ −a ) = 1− p (Y ≥ −a ) = 0,3
(
)
a/ p Y ≥ −a = p Y ≤ a (parsymétriedelacourbe).D’où p Y ≥ −a = 0,7 b/
c/
(
)
(
)
( ) (
)
⇔ 0,5 + p ( 0 ≤ Y ≤ a ) = 0,7 ⇔ p ( 0 ≤ Y ≤ a ) = 0,2
p Y < a = p Y ≤ a = 0,7 ⇔ p Y ≤ 0 + p 0 ≤ Y ≤ a = 0,7
2) Onconsidèreunevariablealéatoire Z suivantlaloinormalecentréeréduite N 0 ;1 .
( )
Déterminerlesvaleursapprochéesde h et t aucentièmeprès:
(
)
a/ p Z ≤ 6t = 0,99 ⇔ 6t ≈ 2,33 ⇔ t ≈ 0,39 (
)
b/Onsaitque p −u0,05 < Z < u0,05 = 0,95 ⇔ u0,05 ≈ 1,96 .D’où 2h ≈ 1,96 cad h ≈ 0,98 Exercice 3
Unepucequisetrouvesurl’origined’unaxegraduéendécimètreseprépareàeffectuerunsautenlongueurversunautre
pointdel’axe.
( )
Onsupposequel’abscissedupointoùretombelapucesuitlaloi N 0 ;1 .Onarrondiralesrésultatsaumillième.
(
)
1)
Àl’aidedelacalculatrice,onobtient: p −1 ≤ X < 2 ≈ 0,819 .
2)
Laprobabilitédel’événement«lapuceretombeàsonpointdedépart»est p X = 0 = 0 .
(
)
3)
Calculonslaprobabilitéquelapuceparcourtplusde1dm:
Déterminons: p −1 ≤ X + p X ≥ 1 :
(
) ( )
Onsaitque p ( −1 ≤ X ≤ 1) = p ( µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) ≈ 0,683 .Deplus: p ( −1 ≤ X ) = p ( X ≥ 1) (symétriedelacourbe)
Etenfin: p ( X ≤ −1) + p ( −1 ≤ X ≤ 1) + p ( X ≥ 1) = 1 onadonc: 0,683+ 2 p ( X ≥ 1) ≈ 1 ⇔ 2 p ( X ≥ 1) ≈ 1− 0,683 ⇔ 2 p ( X ≥ 1) ≈ 0,317 .
Lapucea31,7%dechancedeparcourirplusde1dm.
4)
Unchatsouhaiteéviterquelapuceneretombesurluiaprèssonsaut.
(
)
Onsaitque p −u0,01 ≤ X ≤ u0,01 ≈ 0,99 pour u0,01 = 2,58 .
Ainsilechata99%dechanced’éviterquelapuceneretombesurlui,enseplaçantà2,58dmdecelle-ci.
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Exercice 4
Maxabeaucoupdemalàgérersonargent!Lasommequ’ilasursoncompteenbanque(enmilliersd’euros)estdonnéepar
unevariablealéatoiresuivantlaloinormalecentréeréduite N 0 ;1 .
( )
Ondonneralesrésultatsarrondisà 10−4 près.
1)
(
)
(
)
Laprobabilitédel’événement«lecomptedeMaxestàdécouvert»est p X < 0 = p X ≤ 0 = 0,5 .
2)
(
)
a/Laprobabilitédel’événement«Maxaentre200et500eurossursoncompte»est: p 0,2 ≤ X ≤ 0,5 ≈ 0,112 .
Ilyadoncenviron11,2%dechancequeMaxestentre200et500eurossursoncompte.
b/Laprobabilitédel’événement«Maxaundécouvertcomprisentre100et600euros»est:
p −0,6 ≤ X ≤ −0,1 ≈ 0,186 .
(
)
Ilyadonc18,6%dechancequeMaxaitundécouvertcomprisentre100et600euros.
3)
S’ilestàdécouvert,MaxreçoitunSMSdesabanque.
Déterminonslaprobabilitéqu’ilsoitàdécouvertdeplusde500eurossachantqu’ilareçuunSMS:
Oncalculedonc p( X ≤0) −0,5 ≤ X :
(
)
p( X ≤0) −0,5 ≤ X =
((
(
)
) (
p ( X ≤ 0)
p X ≤ 0 et −0,5 ≤ X
)) = p ( −0,5 ≤ X ≤ 0) ≈ 0,191 ≈ 0,383 0,5
p ( X ≤ 0)
Ilyadonc38,3%dechancequeMaxsoitàdécouvertdeplusde500eurossachantqu’ilareçuunSMS.