Exercice 1 - PharedesMaths

Stage Printemps Sujet type-bac no3Terminale S
Exercice 1
Dans cet exercice, les questions 1,2et 3sont indépendantes.
Au besoin, les probabilités calculées seront données sous forme décimale, arrondies au millième.
Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour différents matériels.
À la sortie de fabrication, 5 % d’entre elles présentent un défaut et sont éliminées. Les puces restantes sont
livrées aux clients.
On dit qu’une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1000 heures.
On observe que 2 % des puces livrées ont une durée de vie courte.
1. On choisit au hasard une puce fabriquée par l’entreprise et on note :
•L, l’événement : « La puce est livrée. » ;
•C, l’événement : « La puce a une durée de vie courte. ».
a) Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1000
heures ?
b) Calculer la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte.
Dans la suite de l’exercice on s’intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
2. On appelle Xla variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d’une telle puce.
On admet que Xsuit une loi exponentielle de paramètre λ.
a) Montrer que λ=−ln(0,98)
1000 .
b) Calculer une valeur approchée arrondie à l’entier le plus proche de l’espérance de X.
Interpréter le résultat.
c) Déterminer une valeur approchée arrondie à l’entier le plus proche du réel ppour lequel la probabilité
qu’une puce ait une durée de vie supérieure à pheures est égale à 0,5. Interpréter le résultat.
d) Calculer P(20000 6X630000). Interpréter le résultat.
3. Les ingénieurs de l’entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose qu’avec
ce nouveau procédé la probabilité qu’une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à
0,003.
On prélève au hasard 15000 puces prêtes à être livrées. On admettra que ce prélèvement de 15000
puces revient à effectuer un tirage avec remise de 15000 puces parmi l’ensemble de toutes les puces
électroniques produites par l’entreprise et prêtes à être livrées.
On appelle Yla variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
a) Justifier que Ysuit une loi binomiale dont on précisera les paramètres et dont on calculera et
interprétera l’espérance.
b) Calculer la probabilité P(40 6Y650).
c) Déterminer le plus petit entier naturel ntel que P(Y>n)60,01.

Stage Printemps Sujet type-bac no3Terminale S
Exercice 2
Partie A
Soit fla fonction définie sur Rpar f(x) = 3
1 + e−2x.
Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal (O;#» ı , #» ), la courbe représentative Cde
la fonction fet la droite ∆d’équation y= 3.
1
2
3
1 2 3 4−1−2#»
ı
#»
C
∆
O
1. Démontrer que la fonction fest strictement croissante sur R.
2. a) Justifier que la droite ∆est asymptote à la courbe C.
b) Cadmet-elle d’autres asymptotes ? Justifier.
3. a) Établir que : ∀x∈Rf(x) + f(−x) = 3
b) Démontrer que l’équation f(x) = 2 admet une unique solution , notée α, sur Ret déterminer la
valeur numérique exacte de α.
c) Déduire des questions précédentes la valeur exacte de f(−α).
Partie B
1. Justifier que la fonction h:x7→ 3−f(x)est continue et à valeurs strictement positives sur R.
2. Montrer que la fonction H, définie sur Rpar H(x) = −3
2ln Ä1 + e−2xä, est une primitive de hsur R.
3. Soit tun réel strictement positif.
a) Donner une interprétation graphique de l’intégrale Zt
0
h(x) dx.
b) Démontrer que Zt
0
h(x) dx=3
2ln Ç2 1 + e−2tå.
c) On note Dl’ensemble des points Mdu plan dont les coordonnées (x;y)vérifient : 
x>0
f(x)6y63
Hachurer le domaine Dsur le graphique de la première partie puis déterminer son aire, exprimée en
unités d’aire.