DM14

DEVOIR MAISON N° 14
Exercice 1 Révision sur les probabilités
Une entreprise fabrique des puces électroniques qui sont utilisées pour des matériels aussi différents que des
téléphones portables, des lave-linge ou des automobiles.
À la sortie de la fabrication, 5 % d’entre elles présentent un défaut et sont donc éliminées.
Les puces restantes sont livrées aux clients.
On dit qu’une puce a une durée de vie courte si cette durée de vie est inférieure ou égale à 1 000 heures. On
observe que 2 % des puces livrées ont une durée de vie courte.
On note L l’évènement « La puce est livrée ».
On note C l’évènement « La puce a une durée de vie courte c’est-à-dire inférieure ou égale à 1 000 heures ».
Étant donné deux évènements A et B, on note PA ( B ) la probabilité conditionnelle de l’évènement B
sachant que l’évènement A est réalisé.
Les parties A, B et C sont indépendantes.
Partie A. On tire au hasard une puce fabriquée par l’entreprise.
1. Donner la valeur PL ( C ) .
2. Quelle est la probabilité que la puce soit livrée et ait une durée de vie strictement supérieure à 1 000
heures ?
3. Quelle est la probabilité que la puce soit éliminée ou ait une durée de vie courte à la sortie de la chaine de
fabrication ?
Dans la suite de l’exercice on s’intéresse seulement aux puces livrées aux clients.
Partie B. On appelle X la variable aléatoire correspondant à la durée de vie en heures d’une telle puce.
On suppose que X suit une loi exponentielle de paramètre λ .
1. Montrer que λ =
− ln ( 0,98 )
1000
.
2. Calculer la probabilité qu’une puce ait une durée de vie supérieure à 10 000 heures. On arrondira le
résultat à 10–3 près.
3. Calculer P ( 20 000 ≤ X ≤ 30 000 ) . On arrondira le résultat à 10–3 près. Interpréter ce résultat.
Partie C. Les ingénieurs de l’entreprise ont mis au point un nouveau procédé de fabrication. On suppose
qu’avec ce nouveau procédé la probabilité qu’une puce livrée donnée ait une durée de vie courte est égale à
0,003.
On prélève au hasard 15 000 puces prêtes à être livrées. On admettra que ce prélèvement de 15 000 puces
revient à effectuer un tirage avec remise de 15 000 puces parmi l’ensemble de toutes les puces électroniques
produites par l’entreprise et prêtes à être livrées.
On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de puces ayant une vie courte dans cet échantillon.
1. Justifier que Y suit une loi binomiale de paramètres n = 15000 et p = 0,003.
2. Calculer, à 10–3 près, la probabilité P ( 40 ≤ Y ≤ 50 ) .
3. On admet que la variable aléatoire Y suit approximativement une loi normale de même espérance m et
même écart type σ .
a. Justifier que m = 45 et que σ ≈ 6, 7 à 10-3 près.
b. Calculer avec cette approximation P ( 40 ≤ Y ≤ 50 ) à 10-3 près.
c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse,
sera prise en compte dans l’évaluation.
On suppose ici que p est inconnue.
On admet aussi que la loi T =
Y −m
σ
suit approximativement la loi normale centrée réduite.
En sachant que P ( X ≤ 50) = 0, 9 justifier que
50 − 15000 p
= 1, 2815 .
15000 p(1 − p)
Quelle est alors la valeur de p ?
Exercice 2 Révision complexes et suites
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O ; u, v ) .
Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn défini par :
3
3 
z0 = 1 et zn+1 =  + i
 zn .
4
4


On définit la suite ( rn ) par rn = zn pour tout entier naturel n.
1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe
3
3
+i
.
4
4
2. a. Montrer que la suite ( rn ) est géométrique de raison
3
.
2
b. En déduire l’expression de rn en fonction de n.
c. Que dire de la longueur OAn lorsque n tend vers +∞ ?
3. On considère l’algorithme suivant :
Variables
Entrée
Traitement
n entier naturel
R réel
P réel strictement positif
Demander la valeur de P
R prend la valeur 1
n prend la valeur 0
Tant que R > P
n prend la valeur n +1
R prend la valeur
3
R
2
Fin tant que
Afficher n
Sortie
a. Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour P = 0,5 ?
b. Pour P = 0,01 on obtient n = 33. Quel est le rôle de cet algorithme ?
4. a. Démontrer que le triangle OAn An+1 est rectangle en An+1 .
i
b. On admet que zn = rne
nπ
6
.
Déterminer les valeurs de n pour lesquelles An est un point de l’axe des ordonnées.
c. Compléter la figure donnée ci-dessous, en représentant les points A6, A7, A8 et A9. Les traits de
construction seront apparents.