CORRIGE DU DEVOIR A LA MAISON N° 10 EXERCICE 1: 2. a. B(x) = R (x) – C(x) = 100x – ( x2 + 27x + 1 092) = 100x – x2 – 27x – 1 092 = – x2 + 73 x – 1 092 b. (21 – x) (x – 52) = 21x – 1092 – x2 + 52x = – x2 + 73 x – 1 092 donc B(x) = (21 – x) (x – 52) c. La chocolaterie est rentable lorsque son bénéfice x 0 21 est positif c'est-à-dire B(x) > 0 soit (21 – x)(x – 52) > 0 On étudie le signe de (21 – x) (x – 52) sur [0 ; 60] D’après le tableau de signes, l’inéquation Signe de 21 - x Signe de x – 52 Signe de (21 – x) (x – 52) + – 0 52 – – 60 – + 0 – 0 + 0 – (21 – x) (x – 52) > 0 a pour ensemble solution : S = ] 21 ; 52 [. On peut donc en déduire que la chocolaterie est rentable lorsque la production est comprise entre 21 et 52 tonnes de chocolat ( 21 et 52 étant exclus) 3. a. 240,25 – (x – 36,5)2 = 240 , 24 – (x2 – 73x + 1332,25) = - x2 + 73x + 240,25 – 1332,25 = – x2 + 73 x – 1 092 Donc B(x) = 240,25 – (x – 36,5)2 b. B est une fonction polynôme du second degré et 240,25 – (x – 36,5)2 est la forme canonique de B(x) avec 3a = - 1 < 0, = 36,5 et = 240,25 . Donc, B admet un maximum égal à 240,25 atteint en 36,5. Cela signifie que le bénéfice sera maximal pour une production de 36,5 tonnes de chocolat et ce bénéfice est de 240 250 €. EXERCICE 2: 1. On peut modéliser la situation avec un arbre : On en déduit la loi de probabilité ci-dessous : Position finale Probabilités –4 1 16 – 2 4 16 0 6 8 2 4 16 4 1 16 a. V : Il existe une position finale de la puce plus probable qu’une autre, la position 0. b. F : La probabilité que la puce se retrouve à la fin en O est de 0,375 et non de 0,5. c. V : La puce a autant de chance d’avoir à la fin une abscisse positive qu’une abscisse négative : 5 chances sur 16 2. Quelques exemples Variables : x , i et n. Début : x prend la valeur 0 Pour i allant de 1 jusqu’à 4 n prend la valeur aléatoire 0 ou 1 . Si n = 0 Alors x prend la valeur x + 1 Sinon x prend la valeur x – 1 Fin Si Fin Pour Afficher « la position finale de la puce est : » Afficher x Fin EXERCICE 3 : 1. Le centre de gravité d’un triangle, point de concours des 3 médianes du triangle, est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. 2 2. I étant le milieu de [BC] alors [AI] est la médiane issue de A donc AG = AI 3 AG = 2 2 2 2 2 1 2 ( AG + GI ) = AG + GI donc AG - AG = GI donc - AG = - GI donc GA= - 2 GI 3 3 3 3 3 3 3 3. GB + GC = GI + IB + GI + IC (relation de Chasles) donc GB + GC = 2 GI + IB + IC Or I est le milieu de [BC] donc IB + IC = 0 . Donc GB + GC = 2 GI . 4. Ainsi GA + GB + GC = - 2 GI + 2 GI = 0 .