Modèle mathématique.

Chapitre 5 :
Pyramides et cônes
Dans les exercices, le théorème de Pythagore sera souvent utilisé car on a des
triangles rectangles. Il faut revoir ce chapitre.
1) Aire d’un rectangle et d’un carré (rappel) :
● L’aire d’un rectangle est égale à sa longueur multipliée par sa largeur.
lAire (rectangle) = Longueur x largeur = L x
l
l
L
Exemple : l’aire d’un rectangle de longueur 4 cm et de largeur 2 cm est
Aire (rectangle) = L x
l
= 4 x 2 = l8 cm²
● L’aire d’un carré est égale à son côté multiplié par lui-même.
lAire (carré) = côté x côté = c x c
c
Exemple : L’aire d’un carré de côté 3 cm est
Aire (carré) = c x c = 3 x 3 = l 9 cm²
2) Aire d’un triangle et d’un disque (rappel) :
● L’aire d’un triangle est égale à une de ses bases multipliée par sa hauteur et
divisée par 2.
lAire (triangle) =
base x hauteur b x h
=
2
2
hauteur
hauteur
base
base
(Un triangle est toujours la moitié d’un rectangle donc on divise l’aire du
rectangle par 2)
Exemple : L’aire du triangle de base 4m et de hauteur 3m est
Aire (triangle) =
bxh 4x3
=
= l6 m²
2
2
● L’aire d’un disque est égale à son rayon multiplié par lui-même et par le
nombre π.
lAire (disque) = Rayon x Rayon x π = R x R x π
R = 2cm
Exemple : L’aire du disque de rayon 2cm est
Aire (disque) = R x R x π = 2 x 2 x π = 4 x π = 4π cm² ≃ 13 cm²
On donne la valeur exacte avec π puis la valeur approchée en utilisant le
symbole ≃ et on rajoute l’unité.
3) Rappels sur les volumes :
Le volume d’un prisme droit (parallélépipède rectangle, cube, cylindre, … ) est
égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur.
lVolume(parallélépipède) = Vol (cube) = Vol(cylindre) = Aire de la base  hauteur
Exemples :
2cm
3cm
4cm
● Le volume du parallélépipède rectangle de longueur 4cm, de largeur 3cm et
de hauteur 2cm est
Volume (parallélépipède) = aire de base x hauteur = Aire (rectangle) x h
= Longueur x largeur x h = 4 x 3 x 2 = l24 cm3
V
2cm
● Le volume d’un cube de côté c = 2cm est
Volume (cube) = aire de base x hauteur = Aire (carré) x h
= c x c x c = 2 x 2 x 2 = l8 cm3
V
R = 2cm
3cm
● Le volume du cylindre de rayon 2cm et de hauteur 3 cm est
Volume (cylindre) = Aire de base x hauteur = Aire (disque) x h = R x R x π x h
V
= 2 x 2 x π x 3 = 4 x π x 3 = 12 x π = 12π cm3 ≃ 38 cm3
4) Pyramide :
S
arête
hauteur
B
C
H
A
D
base
Une pyramide de sommet S est un solide délimité par:
- sa base : c'est la face qui ne contient pas le point S.
- ses faces latérales : ce sont des triangles de sommet S dont un des côtés est
sur la base. Les côtés des triangles sont les arêtes.
La hauteur d'une pyramide de sommet S est la longueur du segment [SH].
Le segment [SH] est perpendiculaire au plan de la base (avec H point de ce
plan).
En perspective cavalière, on dessine les arêtes cachées AB, BC et SB en
pointillés.
Exemple : la pyramide de Khéops a pour base un carré de côté 230 mètres et
une hauteur de 146 m. Calculer la longueur de ses arêtes (218,55 m).
5) Patron d’une pyramide :
Pour construire une pyramide, on dessine un patron.
Exemple : la pyramide d’arête 5,5 cm et de base un carré de côté 5,8 cm
( Khéops à l’échelle 1/4000)
Pour faire le patron, on trace un carré de côté 5,8 cm et, à l’aide du compas, on
construit des triangles isocèles de côté 5,5 cm qui ont pour base les côtés du
carré. On découpe et on plie les côtés du carré pour construire la pyramide.
Autre exemple : la pyramide de base un carré ABCD de côté 5 cm et de
hauteur AS de 5 cm. Attention, les côtés de triangles qui se suivent ont la
même longueur comme BS1 , BS2 , DS3 et DS4 que l’on reporte au compas.
S1
S4
A
D
S3
B
C
S2
6) Volume d’une pyramide :
Avec trois pyramides comme la précédente, on peut former un cube :
rmer un cube :
Le volume de chaque pyramide est égal au volume du cube divisé par 3.
Le volume d’un cube est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur.
Le volume d'une pyramide est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur
divisée par 3. C’est vrai pour n’importe quelle pyramide.
lVolume (pyramide) =
aire de base x hauteur B x h
=
3
3
Exemple : Calculer le volume d’une pyramide de hauteur 9 cm et de base un
carré de côté 2 cm.
La base est un carré donc l’aire de la base est égale à l’aire du carré c’est-àdire « côté x côté ». On a donc :
Volume (pyramide) =
aire de base x hauteur c x c x h 2 x 2 x 9
=
=
= 12 cm3
3
3
3
Remarques :
● La formule est vraie pour n’importe quelle pyramide.
● Si la division par 3 ne tombe pas juste, on donne la valeur exacte avec la
fraction et on arrondit (souvent à l’unité).
● On n’oublie pas de rajouter l’unité (m3, cm3 , … )
7) Cône de révolution : révolution:
S
hauteur
M
O
base
Lorsqu’on fait tourner un triangle rectangle autour d’un des côtés de l’angle
droit, on obtient un cône de révolution. (révolution veut dire tourner)
Exemple : on fait tourner le triangle SOM rectangle en O autour de la droite
(SO). On obtient un cône de révolution de sommet S.
La base du cône est le disque de centre O et de rayon OM.
La hauteur du cône est la longueur du segment [SO].
Le segment [SO] est perpendiculaire à la base.
Remarques :
● On trace en pointillés la partie cachée de la base qu’on dessine ovale sans
instrument mais on utilise la règle pour tracer le triangle isocèle.
● (SM) peut être appelée la génératrice (elle génère le cône).
8) Volume d’un cône :
Le volume d'un cône est égal à l’aire de sa base multipliée par sa hauteur
divisée par 3.
lVolume (cône) =
aire de base x hauteur B x h
=
3
3
(C’est la même formule que pour une pyramide).
La base est un disque de rayon R.
L’aire d’un disque de rayon R est égale à
Aire (disque) = Rayon x Rayon x π
Le volume d’un cône de rayon R est donc égal à
RxRxπxh
Volume (cône) =
3
π ≃ 3,14 mais on utilise la touche lπ de la calculatrice.
Exemple : Calculer le volume d’un cône de rayon 2 cm et de hauteur 9 cm.
aire de base x hauteur R x R x π x h 2 x 2 x π x 9
=
=
3
3
3
2x2x9
=
π = 12π cm3 ≃ 38 cm3 .
3
Volume (cône) =
V
Remarques :
● 12π est la valeur exacte obtenue en calculant à part les nombres qui sont
différents de π.
● 38 est la valeur approchée obtenue avec la calculatrice en arrondissant le
résultat à l’unité.
● On peut calculer séparément l’aire de la base mais il faut garder la valeur
exacte et arrondir seulement après avoir multiplié par la hauteur et avoir
divisé par 3.
Annexe : extrait du programme officiel :
3.2 Configurations dans l’espace
Pyramide et cône de révolution.
- Réaliser le patron d’une pyramide de dimensions données.
L’observation et la manipulation d’objets constituent des points d’appui indispensables.
Ces activités doivent être complétées par l’observation et la manipulation d’images
dynamiques données par des logiciels de géométrie.
Les activités sur les pyramides exploitent des situations simples.
L’objectif est toujours d’apprendre à voir dans l’espace, ce qui implique un large usage des
représentations en perspective et la réalisation de patrons.
Ces travaux permettent de consolider les images mentales relatives à des situations
d’orthogonalité.
4.1 Aires et volumes
Calculs d’aires et volumes.
- Calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution à l’aide de la formule
1
V = B h.
3
L’objectif est, d’une part, d’entretenir les acquis des classes antérieures et, d’autre part, de
manipuler de nouvelles formules, en liaison avec la pratique du calcul littéral.