Chapitre 14 L OIS DE PROBABILITÉ À DENSITÉ Le hasard c'est Dieu qui se promène incognito. Albert Einstein Dans les situations étudiées jusqu'à présent, à une expérience aléatoire, on associait un univers ni muni d'une loi de probabilité P . Toute variable aléatoire ne prenait alors qu'un nombre ni de valeurs. Cependant certaines expériences aléatoires conduisent à utiliser des variables aléatoires qui prennent toutes les valeurs d'un intervalle I de R. Dans ce cas dit continu, il n'est plus possible de dénir une loi de probabilité sur I en donnant la probabilité de chaque élément de I sous forme de tableau car dans I , il y a une innité de valeurs. De plus les événements intéressants ne sont plus obtenir telle ou telle valeur mais obtenir une valeur comprise entre a et b . Parmi les phénomènes continus nous trouvons : les temps d'attente, les durées de vie ... 1 L OIS À DENSITÉ DITES LOIS CONTINUES Dans ce paragraphe I désigne un intervalle (borné ou non) de R. Dénition 1 (Densité de probabilité). On appelle densité de probabilité sur I toute fonction f dénie sur I telle que f est continue sur I (éventuellement par morceaux). fZ est positive sur I . f (x) dx = 1 I y Z f (x) dx = 1 I Cf 1 u.a. I x 1 LYCÉE B LAISE PASCAL S.D ELOBEL M.L UITAUD 2 Chapitre 14. Lois de probabilité à densité Lorsque I est non borné, par exemple I = 0 ; +∞ , alors : Z On ose alors, lorsque la limite existe et est nie, écrire f (x) dx = ZI +∞ M Z lim M →+∞ 0 f (x) dx f (x) dx. 0 C'est une intégrale dite généralisée (notion abordée dans le supérieur). Exercice 1 h 1. Soit f la fonction dénie sur 0 ; 2. πi par f (x) = cos x. 2 h πi Démontrer que f est une densité de probabilité sur 0 ; . 2 1 Soit g la fonction dénie sur 1 ; +∞ par g(x) = 2 . x Démontrer que g est une densité de probabilité sur 1 ; +∞ . Exercice 2 Soit f la fonction dénie sur 0 ; 1 par f (x) = ax(1 − x)2 . Déterminer a pour que la fonction f est une densité de probabilité sur 0 ; 1 . Dénition 2. Soit f une densité de probabilité sur I . Dire qu'une variable aléatoire X suit la loi de densité f sur I signie qu'à tout intervalle J inclus dans I , on associe la probabilité : Z f (x) dx P (X ∈ J) = y Z P (X ∈ J) = f (x) dx J Cf 1 u.a. J J x L'événement X ∈ J signie que X prend toutes les valeurs de l'intervalle J . Cette notation est abusive mais elle prolonge la notation X = a déjà utilisé précédemment. On utilisera également les notations a 6 X 6 b, X > a, X 6 b, etc. où a et b appartiennent à I . La fonction densité f est positive surZ I donc pour tout J ⊂ I , on a P (X ∈ J) > 0 d'après la positivité de l'intégrale. Comme f (x) dx = 1, alors P (X ∈ J) 6 1. I Les probabilités seront donc toujours desZvaleurs comprises entre 0 et 1. a pour tout a ∈ I , on a P (X = a) = 0 car f (x) dx = 0. a Exercice 3 1. Soit X la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité f dénie à l'exercice 1. Calculer P π π 6X6 . 6 4 2. Soit Y la variable aléatoire qui suit la loi de probabilité de densité g dénie à l'exercice 1. Calculer P (Y < 4) et P (Y > 10). 3 Cours de Terminale S Dénition 3 (Espérance mathématique). Soit X un variable aléatoire qui suit une loi de probabilité de densité f sur I . L'espérance mathématique de X , notée E(X), est dénie par : Z E(x) = xf (x) dx I Exercice 4 1. Soit F la fonction dénie sur R+ par F (x) = 1 − (1 + x) e−x . Calculer la dérivée f de F . 2. a. Démontrer que f est une densité de probabilité. b. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R+ , de densité f . Calculer P (1 ≤ X < 2). 3. a. Déterminer les réels, α, β et γ tels que la fonction G dénie par G(x) = αx2 + βx + γ e−x soit une primitive de la fonction x 7→ xf (x). b. En déduire l'espérance de X . 1 2 P REMIER EXEMPLE : LA LOI UNIFORME Dénition 4. Soient a et b deux réels tels que a < b. On dit que la variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle a ; b si elle admet pour densité de probabilité la fonction f dénie par : f (x) = Notation X∼U a; b y 1 b−a 1 b−a a b x Exercice 5 Vérier que la fonction f ainsi dénie est bien une densité de probabilité. Exemple 1 Le temps d'attente à une station de métro suit une loi uniforme sur 0 ; 3 si un métro passe toutes les trois minutes. 1. On aura besoin d'utiliser le résultat suivant, que l'on admet : lim M2 M →+∞ eM = 0. 4 Chapitre 14. Lois de probabilité à densité Il existe une innité de lois uniformes, la seule connaissance de l'intervalle permet de déterminer la densité associée à la loi uniforme. Exercice 6 1. Déterminer les fonctions densités associées aux lois uniformes suivantes : a. b. X∼U 1; 3 X∼U −2 ; 5 c. d. X∼U 0; 2 X∼U −2 ; 2 2. Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse. Justier. Questions Réponses V F V F 1. Deux lois uniformes peuvent avoir des densités qui ont les mêmes expressions. 2. On peut dénir une loi uniforme sur l'intervalle 0 ; +∞ . Proposition 5. Soient α et β deux réels de a ; b avec α < β. longueur de α ; β β−α . = Alors P (α 6 X 6 β) = b−a longueur de a ; b Preuve À faire. Exercice 7 Soit X une variable aléatoire de densité f , suivant la loi uniforme sur 2 ; 22 . Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse. Justier. Questions 1. Pour tout intervalle Réponses α ; β inclus dans 2 ; 22 , on a α−β P (α 6 X 6 β) = . 20 V F 2. P (X > 12) = P (X < 12) 3. La probabilité que l'événement 10 6 X 6 12 se réalise sachant que l'événement 10 6 X 6 18 est réalisé est égale à 0,25. V F V F 5 Cours de Terminale S Proposition 6. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur a ; b avec a < b. Alors l'espérance mathématique de X est E(X) = a+b . 2 Preuve À faire. Exercice 8 La durée de communication téléphonique entre Ophélie et Julien ne dépasse jamais 2 heures et on suppose que sa durée exacte, en heures, est une variable aléatoire de densité f qui suit une loi uniforme sur 0 ; 2 . 1. Ophélie appelle Julien au téléphone. Déterminer la probabilité que la durée de communication soit : a. au plus égale à 1 h 15 min. b. au moins égale à 20 min. c. comprise entre 45 min et 1 h 20 min. 2. Déterminer la durée moyenne d'une communication téléphonique entre Ophélie et Julien. Exercice 9 Le temps d'attente à un guichet de gare, en minutes, est une variable aléatoire X qui exprimé suit une loi uniforme sur un intervalle a ; b . Déterminer a et b sachant que : Le temps moyen d'attente est de 6 minutes. 60% des voyageurs ont un temps d'attente supérieur à 5 minutes. 3 D EUXIÈME EXEMPLE : LA LOI EXPONENTIELLE Dénition 7. On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi λ exponentielle de paramètre λ > 0 si elle admet pour densité la fonction f dénie par : y f (x) = λe−λx Notation X ∼ E (λ) Exercice 10 Vérier que la fonction f ainsi dénie est bien une densité de probabilité. Exemple 2 La durée de vie d'un composant électronique est modélisée par une loi exponentielle. x 6 Chapitre 14. Lois de probabilité à densité Proposition 8. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0. Alors, pour tous t et h positif, on a : PX>t (X > t + h) = P (X > h) On dit alors qu'une loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement. Preuve À faire. Exercice 11 Les questions suivantes sont indépendantes. 1. La durée X (en heures) d'un match de tennis suit la loi exponentielle de paramètre 0,34. Quelle est la probabilité que le match dure plus de 5 heures ? 2. Déterminer la valeur du paramètre probabilité dénie par f vérie P λ de la densité f : t 7→ λe−λt sachant que la loi de e2 − 1 . 0; 4 = 2 e Exercice 12 Soit X une variable aléatoire de densité f , suivant la loi exponentielle de paramètre λ. Pour chacune des armations suivantes, indiquer si elle est vraie ou si elle est fausse. Justier. Questions 1. Il existe un unique réel a tel que P (X > a) = P (X 6 a) et ce réel est égal à ln 2 . ln λ 2. Si X vérie P (X > 5) = 1 1 alors PX>2 (X > 7) = . 4 4 Proposition 9. X ∼ E (λ) où λ est un réel strictement positif. Soient α et β deux réels positifs tels que α 6 β . P (X 6 α) = 1 − e−λα P (X > α) = e−λα P (α 6 X 6 β) = e−λα − e−λβ Preuve À faire Réponses V F V F 7 Cours de Terminale S Exercice 13 D'après une étude statistique sur la durée d'attente, en minute, aux vingt caisses d'un hypermarché : six caisses ont une durée d'attente qui suit une loi exponentielle de paramètre λ = 0, 05 ; les autres caisses ont une durée d'attente qui suit la loi exponentielle de paramètre µ = 0, 1. Un client choisit une caisse au hasard. On note T sa durée d'attente exprimée en minute. 1. On désigne par t un nombre positif. On se propose de déterminer P (T 6 t). a. Représenter la situation par un arbre pondéré. b. En déduire P (T 6 t). 2. Calculer à 10−3 près la probabilité que le client attende : a. moins d'un quart d'heure ; b. plus de 10 minutes ; c. entre 5 et 20 minutes. Proposition 10. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0. 1 Alors l'espérance mathématique de X est E(X) = . λ Preuve Indication : h h 1. Soit M ∈ 0 ; +∞ . Calculer, en fonction de M , l'intégrale M Z λxe−λx dx en cherchant une primitive de g : x 7→ λxe−λx 0 2. sous la forme d'une fonction polynôme-exponentielle G : x 7→ (ax + b)e−λx . En déduire E(X). La variance d'une variable aléatoire X est V (X) = E (X − E(X))2 . Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ > 0 alors V (X) = Exercice 14 1 (hors-programme). λ2 Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle d'espérance 1000. Déterminer la densité de probabilité de X puis calculer P (X 6 5).