entiers ni

M1 – ALG ` EBRE 1 DM WEDDERBURN, ANN ´ EE 2015
Le but de ce devoir est d’´ etudier les “corps non commutatifs”, d’abord par l’exemple des quaternions,
puis par le th´ eor` eme de Wedderburn sur la commutativit´ e des corps finis. Afin d’´ eviter la confusion, nous
appelons “anneau de divison” un corps, ` a priori non commutatif.
1. UN LEMME SUR LES ENTIERS
Le lemme en question affirme que, si q,n,d∈Navec d6=0, q≥2 et qd−1|qn−1. Alors d|n.
(1) Montrer qu’il existe a,b∈Navec n=ad +bet 0 ≤b<d.
(2) Remarquer qd≡1 puis qn≡qbmodulo qd−1.
(3) D´ eduire de qn≡1 modulo qd−1 et b<d,q≥2 que qb−1<qd−1 donc que b=0.
2. POLYN ˆ OMES CYCLOTOMIQUES
2.1. Indicatrice d’Euler. La fonction indicatrice d’Euler ϕ:N\{0} → Nassocie ` a un entier nle nombre
ϕ(n)d’entiers kdans [1,n]tels que pgcd(k,n) = 1.
(1) Calculer ϕ(n)pour n=ppremier puis pour n=pα.
(2) Calculer ϕ(nm)lorsque pgcd(n,m) = 1.
(3) Montrer que, si n=∏r
i=1pαi
iest la d´
ecomposition en facteurs premiers de n, alors
ϕ(n) = n
r
∏
i=11−1
pi.
2.2. Racines primitives de l’unit´ e. D´ efinissions Rnl’ensemble des racines n-i` emes de l’unit´ e et Un⊂Rn
l’ensemble des racines primitives n-i` emes de l’unit´ e dans C.
(1) Trouver un isomorphisme ψ:Rn→Z/nZ. Quel est l’ensemble des g´ en´ erateurs du groupe Z/nZ?
(2) Montrer que ψ(Un)est l’ensemble des unit´ es de l’anneau Z/nZ.
(3) Montrer que ψ(Un)est un groupe (multiplicatif) d’ordre ϕ(n).
(4) Montrer que, si pest premier, Up'Z/(p−1)Z. Montrer U4'Z/2Z, puis U8'Z/2Z×Z/2Z.
2.3. Polynˆ ome cyclotomique. Soit ≥1 un entier. D´ efinissons le n-i` eme polynˆ ome cyclotomique :
Φn(x) = ∏
ζ∈Un
(X−ζ).
(1) Calculer Φnpour n=1,2,...,6. Quel est le degr´ e de Φn?
(2) Calculer Φppour ppremier, puis montrer que Φpest irr´ eductible dans Q[x].
(3) Montrer Xn−1=∏d|nΦd(x). En d´ eduire n=∑d|nϕ(d).
(4) Montrer par r´ ecurrence que Φnest unitaire et appartient ` aZ[x].
(5) Montrer que, si nest impair, alors Φ2n(x) = (−1)ϕ(n)Φn(−x).
(6) Montrer que, si nest pair, alors Φ2n(x) = Φn(x2).
(7) Soit nun entier et p-nun premier. Montrer Φnp(x) = Φn(xp)/Φn(x).
3. ANNEAUX DE DIVISION
Un anneau de division est un anneau (pas n´ ecessairement commutatif) unitaire A, o` u pour tout a∈A∗=
A\{0}il existe b∈Atel que ab =ba =1. Autrement dit, il s’agit d’un corps, pas forc´ ement commutatif.

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3.1. Les quaternions. Soit Hl’ensemble des quaternions, i. e. les expressions de la forme a+ib+jc +kd,
avec a,b,c,d∈R. D´ efinissons les r` egles de multiplication :
i2=j2=k2=i jk =−1.
(1) Munir Hd’une somme et d’un produit induit par la formule pr´ ec´ edente, de sorte que Hsoit une
R-alg` ebre, c’est-` a-dire un anneau o` u la somme et le produit sont R-lin´ eaires.
(2) Montrer que Hest un anneau de division non commutatif.
(3) Montrer que hi,j,kiest sous-groupe de H∗de cardinal 8 o` u tout ´ el´ ement 6=1 est d’ordre 2 ou 4.
(4) Montrer que le centre du groupe de cardinal 8 en question est form´ e par les ´ el´ ements d’ordre ≤2.
3.2. Les anneaux de division finis. Soit Kun anneau de division de cardinal fini.
3.2.1. Le centre.
(1) Montrer que Z={a∈K|ax =xa,∀x∈K}est un corps fini de cardinal q≥2.
(2) Montrer que Kest un Z-espace vectoriel de dimension net |K|=qnet n=1 ssi Kcommutatif.
Supposons d´ esormais Knon commutatif, donc n>1, et cherchons une contradiction. Ceci prouvera le
th´ eor` eme de Wedderburn : tout anneau de division fini est commutatif.
3.2.2. L’orbite. Nous consid´ erons K∗qui op` ere par conjugaison sur K∗. Soit x∈K∗et ω(x)l’orbite de x.
(1) Soit Kx={y∈K|xy =yx}. Montrer que Kxest un sous anneau de Ket un Z-espace vectoriel.
(2) Soit K∗
x={y∈K∗|xy =yx}le stabilisateur de xet d=dimZ(Kx). Montrer |K∗ x|= (qd−1)|
(qn−1).
(3) Se servir du lemme pour en d´ eduire d|n.
(4) En d´ eduire |ω(x)|= (qn−1)/(qd−1) = ∏m|n,m-dΦm(q).
3.2.3. La formule aux classes. ´ Ecrivons K∗comme r´ eunion disjointe d’orbites :
K∗=Z∗∪ω(x1)∪···∪ω(xs).
(1) Soit di=dimZ(Kxi). Montrer que xi6∈ Zimplique di6=n, puis :
|K∗|=qn−1=q−1+
s
∑
i=1
qn−1
qdi−1.
(2) D´ eduire que, pour tout i,Φn(q)divise (qn−1)/(qdi−1).
3.2.4. La contradiction.
(1) Soit ξune racine primitive n-i` eme de 1. O` u se situe ξdans C? Montrer |ξi−q|>q−1.
(2) En d´ eduire Φn(q)>q−1.
(3) Observer que, comme Φn(q)divise qn−1, la formule aux classes implique Φn(q)|q−1.
(4) Conclure.

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M1 – ALG ` EBRE 1 DM EUCLIDIEN ?, ANN ´ EE 2015
Tous les anneaux seront unitaires commutatifs. Si Iest une partie d’anneau, on note I∗=I\{0}.
Le but est de montrer que l’anneau Asuivant n’est pas euclidien, tout en ´ etant principal :
A=Z"1+i√19
2#.
1. ANNEAUX QUASI EUCLIDIENS
Un anneau Aest quasi euclidien s’il existe une fonction ϕ:A→Ntelle que :
i) ϕ(a) = 0 si et seulement si a=0 ;
ii) pour tout (a,b)∈A×A∗on a ϕ(ab)≥ϕ(a);
iii) pour tout (a,b)∈A×A∗avec ϕ(a)≥ϕ(b), on a b|aou alors il existe c,d∈Atels que :
0<ϕ(ad −bc)<ϕ(b).
On appelle ϕune quasi norme euclidienne sur A.
1.1. Un anneau quasi euclidien est principal. Soit Aun anneau quasi euclidien de quasi norme ϕet I
un id´ eal de A. Nous voulons montrer que Aest principal (c’est un th´ eor` eme de Dedekind et Hasse). Pour
le faire, on d´ efinit m, le minimum de ϕ(a)lorsque avarie dans I∗et nous fixons b∈I∗tel que ϕ(b) = m.
Montrer que bengendre I.
1.2. Un anneau principal est quasi euclidien. La r´ eciproque du th´ eor` eme de Dedekind et Hasse est valide
aussi. En effet, si Aest un anneau principal, nous allons montrer que Aest quasi euclidien.
(1) Rappeler que, si Aest principal, alors il est factoriel.
(2) Soit Afactoriel. D´ efinissons ϕ:A→Npar ϕ(0) = 0 et :
ϕ:u
r
∏
i=1
pni
i7→ 2n1+···+nr,
lorsque uest inversible et les pisont irr´ eductibles distincts. Montrer que ϕsatisfait (i) et (ii).
(3) Pour montrer que ϕsatisfait (iii), prendre (a,b)∈A×A∗avec ϕ(a)≥ϕ(b). Soit d=pgcd(a,b)et
u,v∈Atels que ua +vb =d. Montrer que, si b-a, alors 0 <ϕ(d)<ϕ(b).
(4) Conclure que Aest principal si et seulement si Aest quasi euclidien.
1.3. Anneaux non euclidiens. Soit Aun anneau qui n’est pas un corps. Soit b∈A∗non inversible. Sup-
posons que, pour tout a∈A, il existe c∈Ainversible ou nul tel que b|(a−c). Montrer que alors An’est
pas euclidien.
2. ENTIERS QUADRATIQUES
Un corps quadratique de nombres est de la forme Q(√−D)⊂C, avec D∈N>0sans facteurs carr´
es. On
appelle α∈Q(√−D)\Qun entier alg´ ebrique quadratique, si (x−α)(x−¯ α)est ` a coefficients entiers.

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2.1. Propri´ et´ es de base des corps quadratiques de nombres.
(1) Montrer que Q[√−D]est un Q-espace vectoriel de dimension 2.
(2) Montrer que Q[√−D] = Q(√−D)et que ce corps est le plus petit sous corps de Ccontenant √−D.
Soit D≡3 modulo 4 et posons :
α=1+√−D
2∈Q[√−D].
(3) Montrer que l’ensemble Ades entiers alg´ ebriques de Q[√−D]est un sous anneau, qui co¨ ıncide
avec Z[α]si D≡3 modulo 4 et avec Z[√−D]autrement.
2.2. Norme et unit´ es d’un corps quadratique de nombres. Soit K=Q(√−D)⊂Cun corps quadratique
de nombres, Al’anneau des entiers alg´ ebriques de Ket consid´ erons la norme ϕ:A→Nd´ efinie par ϕ(z) =
z¯z=|z|2(module au carr´ e au sens complexe). Soit Ule groupe des unit´ es de A. Montrer que :
(1) Si D=1, alors U={±1,±i};
(2) Si 1 6=D6≡ 3 modulo 4, alors U={±1};
(3) Si D=3, alors U={±1,±α,±(1−α)};
(4) Si 3 <D≡3 modulo 4, i. e. D=4k−1 pour un certain k∈N>1, alors U={±1}.
3. ENTIERS QUADRATIQUES PRINCIPAUX ET EUCLIDIENS
H. M. Stark a d´ emontr´ e en 1967 que l’anneau Ades entiers d’un corps quadratique de nombres Q(√−D)
est principal si et seulement si
D∈ {1,2,3,7,11,19,43,67,163}.
3.1. Entiers quadratiques principaux. Dans le livre de G. H. Hardy et E. M. Wright, An introduction to
the Theory of Numbers, 1962, il est montr´ e que Aest euclidien si D∈ {1,2,3,7,11}. Essayer de deviner la
d´ emonstration, en raisonnant comme dans le cas D=1 vu en classe.
3.2. Entiers quadratiques quasi euclidiens. Nous voulons montrer que Aest quasi euclidien (donc prin-
cipal) si D=19. Nous utilisons la mˆ eme lettre ϕpour la norme ϕ(z) = z¯zsur Aet son extension ` aC.
Soit (a,b)∈A∗×A∗avec b-a.
(1) Montrer qu’il suffit de trouver δ,γ∈Atels que 0 <ϕ((a/b)δ−γ)<ϕ(1) = 1.
(2) ´ Ecrire a/bsous la forme (u+v√−19)/wavec u,v,w∈Z`
a pgcd 1 et w≥0. Montrer w>1.
(3) Supposer w≥5. Justifier qu’il existe x,y,z∈Ztels que xu +yv +zw =1 et yu −19xv =wq +r
avec |r| ≤ w/2. Montrer que δ=y+x√−19 et γ=q−z√−19 conviennent.
Dans les prochaines questions, il conviendra de raisonner sur la parit´ e de uet vpour montrer que δ,γ∈A.
(4) Supposer w=2. Montrer que δ=1 et γ= ((u−1)+v√−19)/2= (a−1−b)/2+bαconviennent.
(5) Pour w=3, montrer que δ=u−v√−19 et γ=qconviennent.
(6) Pour w=4, prendre (δ,γ)comme dans la question (5) si uet vne sont pas tous les deux impairs,
ou comme ((y+x√−19)/2,q)si ils le sont. Montrer que (δ,γ)ainsi d´ efinis conviennent.
3.3. Entiers quadratiques non euclidiens. Nous voulons montrer que Rn’est pas euclidien si R=
19,43,67,163. Pour le faire, nous supposons qu’il le soit, de stathme ψ. Nous prenons ensuite 2 ∈Ret
b∈R∗non inversible de norme minimale et nous cherchons une contradiction.
(1) Montrer que ∃γ,ρ∈Atels que a=bγ+ρ, avec ρ=0 ou ψ(ρ)<ψ(b). En d´ eduire ρ=−1,0,1.
(2) En d´ eduire que b|2 ou b|3, puis montrer que ni 2 ni 3 ne divisent α,α+1,α−1.
(3) Montrer que 2 et 3 sont irr´ eductibles dans A.
(4) Conclure.

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M1 – ALG ` EBRE 1 DM ENTIERS DE GAUSS, ANN ´ EE 2015
Tous les anneaux dans ce probl` eme sont commutatifs avec unit´ e. Soit Aun anneau, et notons A×l’en-
semble des ´ el´ ements inversibles de A, puis posons A∗=A\{0}. On note [r]la classe de rdans Z/nZ.
1. GROUPE DES UNIT ´ ES D’UN CORPS FINI
Dans cette section, nous voulons ´ etablir que les ´ el´ ements non nuls d’un corps fini Kforment un groupe
cyclique, puis utiliser ce r´ esultat pour d´ eterminer quand −1 est un carr´ e dans K.
1.1. Cyclicit´ e du groupe des unit´ e d’un corps fini. Nous voulons montrer d’abord que le groupe des
unit´ es d’un corps fini est cyclique. Nous commenc¸ons par un r´ esultat sur les groupes ab´ eliens finis. Soit
(G,·,e)un groupe ab´ elien fini, et notons |x|l’ordre d’un ´ el´ ement xde G,(x)le sous groupe cyclique de G
engendr´ e par xet |G|l’ordre de G. Montrer que :
(1) si Gcontient un ´ el´ ement xd’ordre n, et m|n, alors (x)contient un ´ el´ ement d’ordre m;
(2) ´ etant donn´ es x,y∈G, si |x|et |y|sont premiers entre eux, on a (x)∩(y) = {e}et |xy|=|x||y|.
Posons M=max{|x|:x∈G}. Nous voulons d´ emontrer que yM=epour tout y∈G, i.e. l’ordre de tout
´
el´ ement y∈Gdivise M. Soit M=pα1
1···pαs
sla d´
ecomposition en facteurs premiers de M(pipremiers
distincts et αi>0) et soit x∈Gd’ordre M.
(3) Soit y∈Get supposons qu’un facteur premier de |y|ne divise pas M. En utilisant les deux questions
pr´ ec´ edentes, contredire la maximalit´ e de M.
(4) Supposons que le facteur premier p1de |y|figure avec un exposant β1>α1. Trouver deux ´ el´ ements
u∈(x)et v∈(y)tels que le |uv|=pβ1
1···pαs
s>M. Conclure.
Soit Kun corps commutatif, et soit Gun sous groupe fini de K∗. Montrons que Gest cyclique.
(5) Consid´ erons Md´ efini ci-dessus. Montrer que tout y∈Gest solution du polynˆ ome XM−1, puis en
d´ eduire |G| ≤ M.
(6) Utiliser que |x|=Mpour conclure que (x) = G.
1.2. Racines de −1dans les corps finis. Soit Kun corps fini de caract´ eristique p6=2. Nous voulons
donner un crit` ere d´ ependant du cardinal de Kpour ´ etablir si −1 admet une racine carr´ ee dans K.
(1) Montrer que, s’il existe x∈Ktel que x2=−1, alors xest d’ordre 4 dans K∗. En d´ eduire que le
cardinal de Kest congru ` a 1 modulo 4.
(2) En utilisant que K∗est cyclique, montrer l’´ enonc´ e r´ eciproque, i.e. que si le cardinal de Kest congru
`
a 1 modulo 4, alors −1 admet une racine carr´ ee dans K.
2. ´ EL´ EMENTS IRR´ EDUCTIBLES DANS LES ENTIERS DE GAUSS
Soit Z[i]l’anneau des entiers de Gauss. On dit qu’un ´ el´ ement ad’un anneau int` egre Aest irr´ eductible
si, lorsque a=bc avec b,c∈A, on a forc´ ement que bou cest un ´ el´ ement inversible de A. Nous voulons
classifier les ´ el´ ements irr´ eductibles de Z[i].
2.1. Nombres premiers irr´ eductibles dans les entiers de Gauss. Nous commenc¸ons l’´ etude des
irr´ eductibles de Z[i]par les entiers premiers. Soit p>2 un nombre premier.
(1) Chercher des d´ ecompositions dans Z[i]des ´ el´ ements suivants :
1,2,1+i,1+3i,5,7.
(2) Supposons pnon irr´ eductible dans Z[i]. Montrer qu’il existe z∈Z[i]avec φ(z) = p.