Ensembles de nombres - Université de Genève

Ensembles de nombres
L’ensemble des entiers naturels N∗
L’ensemble des nombres réels R
Ce sont les nombres les plus usuels, ceux avec lesquels nous comptons les moutons pour nous endormir.
Toutes les civilisations un tant soit peu technologiquement avancées les
connaissent. Mais, par exemple, les indiens d’amazonie ne connaissent que
1,2,3 et “plusieurs”.
N∗ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 . . .}
La somme, la multiplication de deux entiers naturels est encore un entier
naturel. En revanche, le quotient ou la différence de deux entiers naturels
n’en est pas un en général. Cette remarque d’apparence anodine a eu une grande
√
√importance dans le développement scientifique : attribuer un sens a des expressions comme 3 − 5, 87 , 2 et −3 a préoccupé les savants
pendant plus de deux millénaires.
L’ensemble des entiers relatifs Z, les rationnels Q
L’un des plus grands obstacles dans le développement des systèmes de numération est le “zéro”. Accepter ce qui était avant tout un signe de manque (manque d’un chiffre ou encore marque du
vide) comme un nombre à part entière est l’une des trouvailles majeures des indiens et des arabes.
À partir de là il est possible de définir des nombres négatifs et donc de concevoir par exemple des températures
en dessous de zéro ! Cette trouvaille marque l’entrée de
deux nouveaux ensembles de nombres : les entiers relatifs
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .} et les rationnels qui sont
les fractions construites
©
ª à partir des entiers relatifs Q =
a
| a, b ∈ Z et b 6= 0 .
b
Apprivoiser ces nouveaux objets, savoir calculer avec eux,
par exemple en adoptant la fameuse "règle des signes", est à la
base du développement scientifique de la Renaissance.
Nous avons donc un emboîtement d’ensembles de
nombres :
Al Kashi (1380-1429)
N⊂Z⊂Q
Dès le VIe siècle av. J.-C., les mathématiciens grecs ont découvert des grandeurs qui n’étaient pas des
nombres rationnels.
d’un carré de côté 1, que l’on
√ est la
√longueur de la diagonale √
√ L’exemple le plus connu
écrit aujourd’hui 2 la racine carrée de 2 ( 2 × 2 = 2). On sait que 1 < 2 ≃ 1, 414 · · · < 2, donc si
l’on représente les nombres rationnels sur une droite, il reste des "trous d’épingle" : les irrationnels.
√
Démontrons que 2 n’est pas un nombre rationnel. S’il était rationnel, alors on devrait pouvoir écrire
√
2
2 = pq , avec p et q deux nombre entiers sans diviseur commun. En élévant au carré on obtiendrait : 2 = pq2 ,
√
c’est à dire 2q 2 = p2 . Ce qui contredit le fait que p et q n’ont pas de diviseurs communs et 2 ne peut donc
pas être un nombre rationnel.
Boucher ces “trous” de manière rigoureuse est loin d’être simple, c’est l’œuvre du mathématicien Dedekind en 1858. L’ensemble obtenu en rebouchant les rationnels est l’ensemble des nombres réels R. De cette
manière nous avons :
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
L’ensemble des nombres complexes C
Nous avons vu que passer des entiers naturels, aux relatifs a déjà pris √
des millénaires. Il a fallu encore
quelques siècles pour définir les réels. Alors que penser de nombres comme −2, dont le carré est un nombre
négatif ?
Tout d’abord ce sont de purs artifices de calcul chez Cardano au XVIe siècle, ils fournissent des solutions que l’on qualifie "d’imaginaires" à des équations comme x2 = −2. Cependant ces objets imaginaires apparaissent de plus en plus dans
les mathématiques aux XVIIIe et XIXe siècles et permettent
de résoudre des problèmes difficiles de théorie des nombres, de
géométrie et de physique : il faut bien leur accorder une place
parmi les autres nombres, ce seront les nombres complexes C,
définis rigoureusement par Hamilton au XIXe siècle.
Et si ces nombres vous paraissent encore trop mystérieux,
rappelez-vous que les réels se placent facilement sur une droite
(la droite des réels). Et bien, les nombres complexes, eux, se
placent tout aussi facilement sur un plan !
On a ainsi défini cinq ensembles de nombres :
William Hamilton (1805-1865)
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
Pourquoi s’arrêter en si bon chemin, existe-t-il des nombres au-delà des complexes ?
Université de Genève - Section de mathématiques