Exercices 29 `a 31 (dualité et méthode d`Uzawa)

Exercices 29 `a 31 (dualit´e et m´ethode d’Uzawa)
Exercice 29 Soit Aune matrice r´eelle `a nlignes et pcolonnes, de rang ´egal `a p.
Soient b∈Rnet c∈Rp. Pour x∈Rp, on d´efinit
J(x) = kAx −bk2,
et l’on consid`ere le probl`eme (P) : Minimiser J(x)sous la contrainte tc x ≤0.
1. Calculer ∇J.
2. Montrer que Jest elliptique (on pr´ecisera la constante d’ellipticit´e αen fonction
des valeurs singuli`eres de A).
3. Donner l’expression du Lagrangien associ´e `a (P).
4. Dans cette question uniquement, on consid`ere le cas o`u
A=
1 3
−1 1
1 1
, b = −3
4
1
et c=−2
1.
R´esoudre (P) explicitement en utilisant le th´eor`eme de Karush-Kuhn-Tucker.
5. ´ Ecrire une fonction x=minimise KKT(A,b,c) qui calcule exactement la solution
xde (P) en utilisant le th´eor`eme de Karush-Kuhn-Tucker `a partir d’une une
matrice Ade taille n×p, d’un vecteur colonne b∈Rn, et d’un vecteur colonne
c∈Rp.
6. D´ecrire explicitement (c’est-`a-dire sans faire r´ef´erence `a un proc´ed´e de minimi-
sation) l’algorithme d’Uzawa associ´e `a (P). Pour quelles valeurs du pas ρest-on
assur´e de la convergence ?
7. ´ Ecrire une fonction x=minimise uzawa(A,b,c,rho,N) qui prend en entr´ee une ma-
trice Ade taille n×p, un vecteur colonne b∈Rn, un vecteur colonne c∈Rp,
un r´eel rho strictement positif et un entier N, et qui retourne le r´esultat xde
l’algorithme d´ecrit `a la question pr´ec´edente appliqu´e avec Nit´erations et un pas
rho.
8. Dans le cas o`u l’on impose non plus une mais 100 contraintes-in´egalit´e, qui
s’´ecrivent tcjx≤0 pour 1 ≤j≤100, doit-on utiliser plutˆot la m´ethode KKT
ou la m´ethode d’Uzawa ? Expliquer pourquoi et donner l’algorithme associ´e.
Exercice 30 Soit y= (yi)∈Rn, et C > 0. On consid`ere le probl`eme (P) suivant :
1

(P) : Trouver x∈Rnqui minimise kx−yk2sous les contraintes
gi(x)≤0, g0
i(x)≤0 (1 ≤i≤n−2), avec
gi(x) = xi+2 −2xi+1 +xi−Cet g0
i(x) = −xi+2 + 2xi+1 −xi−C.
1. Expliquer pourquoi le probl`eme (P) admet une unique solution.
2. Soit
L(x, µ, µ0) = kx−yk2+
n−2
X
k=1
(µkgk(x) + µ0
kg0 k(x))
le Lagrangien associ´e `a (P), d´efini sur Rn×Rn−2
+×Rn−2 +. Calculer ∂L
∂xi
pour tout
i∈ {1,2, . . . , n}(on pourra ´eventuellement poser µ−1=µ0=µn−1=µn= 0 et
µ0
−1=µ0 0=µ0 n−1=µ0 n= 0 pour simplifier les calculs).
3. En d´eduire l’expression de ¯x= Argminx∈RnL(x, µ, µ0) en fonction de µet µ0.
4. Montrer que
∀x∈Rn,
n−2
X
i=1
(xi+2 −2xi+1 +xi)2≤16
n
X
i=1
x2
i.
5. En d´eduire que l’application gde Rndans R2n−4d´efinie par
t
g(x) = g1(x), g2(x),...gn−2(x), g0
1(x), g0 2(x),...g0 n−2(x),
est M-lipschitzienne avec M= 4√2.
6. Expliciter l’algorithme d’Uzawa associ´e `a (P). Pour quelles valeurs du pas ρest-on
assur´e de la convergence ?
Exercice 31 Soit y= (yi)∈Rn, et C > 0. On consid`ere le probl`eme
(P) : Trouver x∈Rnqui minimise kx−yk2sous les contraintes −C≤xi+1 −xi≤C
(1≤i≤n−1).
1. Montrer que la fonctionnelle `a minimiser est elliptique, et pr´eciser la constante
d’ellipticit´e (α).
2. Montrer que le probl`eme (P) admet une unique solution.
3. Donner l’expression du Lagrangien associ´e `a (P).
4. Expliciter l’algorithme d’Uzawa associ´e `a (P). Pour quelles valeurs du pas ρest-on
assur´e de la convergence ?
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5. ´ Ecrire une fonction [x,e]=uzawa(y,C,rho,r) qui retourne l’estimation de la solution
de (P) obtenue apr`es rit´erations de la m´ethode d’Uzawa (initialis´ee avec les
variables duales nulles) de pas rho, ainsi que le vecteur e= (kxk−yk)1≤k≤r(xk
´etant l’approximation de la solution obtenue apr`es kit´erations).
6. Enregistrer le fichier signal.m (Octave/Matlab) ou signal.dat (Scilab) dans le
r´epertoire courant puis ex´ecuter les commandes
signal; (Octave/Matlab) ou
exec(”signal.dat”); (Scilab)
y=z(:,2);
Sur le vecteur yainsi d´efini, tester la fonction uzawa de la question pr´ec´edente
avec C= 0.05 et r= 1000. Comparer la convergence (visualiser la suite e) pour
diff´erentes valeur de rho. Quelle est approximativement la valeur maximale de
rho pour laquelle il y a convergence ?
7. Montrer qu’il existe une matrice A∈Mn(R) inversible telle que le probl`eme (P)
est ´equivalent au probl`eme
(P’) : Trouver z∈Rnqui minimise kAz −yk2sous les contraintes −C≤zi≤C
(1≤i≤n−1).
8. Expliciter l’algorithme du gradient projet´e associ´e `a (P’).
9. Impl´ementer cet algorithme et comparer ses performances (stabilit´e, temps de
calcul) `a celui d’Uzawa.
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