Lois Binomiales et Normales Exercices

Mathématiques
Année 2016 – 2017
Terminale S
Feuille d’exercices n° 6 : Loi binomiale - Lois normales
Exercice 1 : Un candidat doit répondre à un QCM (questionnaire à choix multiples) comportant 10
questions.
Pour chaque question quatre réponses sont proposées, une de ces quatre réponses est juste, les trois
autres sont fausses.
Le candidat répond au hasard aux dix questions.
Calculer les probabilités suivantes:
1) Toutes les réponses du candidat sont justes.
2) Le candidat a exactement trois réponses justes.
3) Le candidat a la moyenne.
4) Le candidat a au moins une réponse juste.
5) On note X le nombre de réponses justes.
a) A l’aide de la calculatrice, compléter le tableau suivant :
Arrondir au millième.
k
P X  k
b) Calculer l'espérance mathématique de X.
c) Comment interpréter ce résultat ?
Exercice 2 : ( extrait de bac STI2D 2015 )
L’entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide .
On souhaite analyser la qualité de cette production .
Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de 300 .
On suppose que la probabilité de l’événement « un plat préparé prélevé au hasard dans la production n’est
pas conforme » est égale à 0,12 .
On prélève au hasard 300 plats dans la production . La production est assez importante pour que l’on
puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise .
On considère la variable aléatoire X qui , à un lot de 300 plats , associe le nombre de plats préparés non
conformes qu’il contient .
1) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres .
2) Calculer l’espérance mathématique E  X  et en donner une interprétation .
3) Calculer la probabilité que dans un échantillon de 300 plats prélevés au hasard , au moins 280
plats soient conformes ( arrondir le résultat à 10 - 3 )
1
Exercice 3 : ( Inspiré de bac 2013)
Une jardinerie vend de jeunes plants d’arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants
proviennent de l’horticulteur H1, 25 % de l’horticulteur H2 et le reste de l’horticulteur H3. Chaque
horticulteur livre deux types d’arbres : des conifères et des feuillus. La livraison de l’horticulteur H1
comporte 80 % de conifères alors que celle de l’horticulteur H2 n’en comporte que 50 %.
Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock. La probabilité qu’il choisisse un
conifère est égale à 0,525.
On donnera les résultats arrondis à 10-3 près.
1) a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
b) Calculer la probabilité que l’arbre choisit soit un conifère acheté chez l’horticulteur acheté chez
l’horticulteur H3.
c) L’arbre choisit ayant été acheté chez l’horticulteur H3 quelle est la probabilité que cela soit un
conifère ?
d) L’arbre choisit est un feuillu, quelle est la probabilité qu’il ait été acheté chez l’horticulteur H1 ?
2) On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que le
stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10
arbres dans le stock. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères dans
l’échantillon choisit.
a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
b) Quelle est la probabilité que l’échantillon prélevé au moins un conifère ?
c) Quelle doit être la taille de l’échantillon pour que la probabilité d’avoir au moins un conifère soit
supérieure à 90 % ?
Exercice 4 : Exercice avec prise d’initiatives
D’après des études statistiques , il naît plus de garçons que de filles en France .
Lors d’une naissance , la probabilité que le bébé soit un garçon est de 0,51 .
Déterminer la probabilité qu’une famille de six enfants ( dans laquelle il n’y a pas de jumeaux ) ait autant
de garçons que de filles .
Exercice 5 :
On considère une variable aléatoire X dont la fonction
de densité sur 0;5 est représentée ci - contre . Déterminer :
a) p  0  X  2 
b) p  3  X  5 
a) p  0  X  4 
2
Exercice 6 :
On considère une variable aléatoire X dont la fonction
de densité f sur  0;  est représentée ci - contre .
On admet que p  0  X  2   0, 63 .
1) Dessiner cette probabilité sur le graphique .
2) Donner une valeur approchée de p  X  2 
Exercice 7 :
Si une variable aléatoire X suit la loi N  0,1 , utiliser la calculatrice pour déterminer des valeurs
approchées à 103 près de p  0.3  X  0.6  , p  X  0.5 et
p  X  0.1
Si une variable aléatoire X suit la loi N  0,1 , utiliser la calculatrice pour déterminer
Exercice 8 :
p  1  X  1 , p  2  X  2 et p  3  X  3 .
Donner le résultat sous forme de pourcentage tronqué à l’entier.
Exercice 9 : La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N  0 ;1 .
1) Déterminer P  X  2,1 et P  X  2,9  à l’aide de la calculatrice, avec trois décimales.
2) En déduire, sans calculatrice, les probabilités suivantes :
a) P  X  2,1 .
b) P  X  2,9  .
c) P  2,1  X  2,9  .
d) P  X  2,1 ou X  2,9  .
e) P  2,1  X  2,9  .
La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N  0 ;1 .
Compléter les étiquettes et donner les probabilités égales aux aires des domaines indiqués par la flèche.
Arrondir à 103 près.
Exercice 10 :
3
Sous la courbe de Gauss ci-dessous, les deux droites verticales d’équations
x  1,5 et x  0,5 délimitent trois domaines.
Exercice 11 :
Déterminez leurs aires respectives, à 102 près.
Exercice 12 :
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale N  0;1 .
1) Déterminer la valeur du réel r  0 , approchée à 102 près , telque p  X  r   0, 6 .
2) Déterminer la valeur du réel r  0 , approchée à 103 près , telque p   r  X  r   0, 4 .
Exercice 13:
Les trois courbes ci-contre représentent les
fonctions
de densité des lois normales suivantes :
N 10 ; 2  , N 10 ; 5 et N 8 ; 2  .
Associer chaque courbe à une de ces lois
Exercice 14 : On note X la variable aléatoire qui, à chaque homme prélevé au hasard, associe sa taille
en centimètres. On suppose que X suit la loi normale de moyenne 178 et d'écart-type 10.
Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
1) A : « Un homme interrogé au hasard a une taille supérieure ou égale 180 »
2) B : « Un homme interrogé au hasard a une taille strictement inférieure à 150 »
3) C : « Un homme interrogé au hasard a une taille comprise entre 160 et 185 »
Exercice 15 : Lors d’un test de connaissances, 70 % des individus ont un score inférieur à 60 pts.
De plus, les résultats suivent une loi normale d’écart-type 20.
Calculer l’espérance  de cette loi normale . Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice .
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Exercice 16 : Sur une ligne de train, une enquête a permis de révéler que le retard (algébrique) du
train, en minutes, peut-être modélisé par une variable aléatoire X qui suit une loi normale N ( ;  2 ) .
Des observations statistiques ont permis d’établir que p  X  7   0,8413 et que E  X   5 .
1) Quelle est la probabilité que ce train arrive avec moins de 3 minutes de retard ?
2) Déterminer les paramètres de la loi suivie par X .
3) Quelle est la probabilité que le retard soit supérieur à 8 minutes ?
4) Sachant que le retard est supérieur à 3 minutes, quelle est la probabilité qu’il soit supérieur à 5
minutes ?
Exercice 17 : ( extrait bac 2015 )
Le chikungunya est une maladie virale transmise d’un être humain à l’autre par les piqûres de
moustiques. Le temps d’incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable
aléatoire T suivant une loi normale d’écart type   10 . On souhaite déterminer sa moyenne m .
La représentation graphique de la fonction de densité de T est donnée ci-dessous :
1) a) Conjecturer à l’aide du graphique, une valeur approchée de m .
b) On donne p T  110   0,18 .
Hachurer sur le graphique un domaine dont l’aire correspond à la probabilité donnée.
T 
2) On note T’ la variable aléatoire égale à
.

a) Quelle loi la variable aléatoire T’ suit - elle ?
b) Déterminer une valeur approchée à l’unité près de la moyenne m de la variable aléatoire T et
vérifier la conjecture de la question 1).
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Exercice 18 : ( extrait bac 2016 )
Des études statistiques ont permis de
modéliser le temps hebdomadaire, en
heures, de connexion à internet des jeunes
en France âgés de 16 à 24 ans par une
variable aléatoire T suivant une loi normale
de moyenne μ = 13, 9 et d’écart type σ.
La fonction densité́ de probabilité́ de T est
représentée ci-contre :
1) On sait que p T  22   0, 023 .
En exploitant cette information :
a) Hachurer sur le graphique, deux domaines distincts dont l’aire est égale à 0,023.
b) Déterminer p  5,8  T  22  . Justifier le résultat.
Montrer qu’une valeur approchée de σ au dixième est 4,1.
2) On choisit un jeune en France au hasard.
Déterminer la probabilité qu’il soit connecté à internet plus de 18 heures par semaine.
Arrondir au centième.
Exercice 19 : ( extrait bac 2015 )
Des études statistiques ont permis de
modéliser la durée de vie, en mois, d’un
type de lave-vaisselle par une variable
aléatoire X suivant une loi normale
N   ,  2  de moyenne μ = 84 et d’écart-
type σ.
De plus, on a P  X  64   0,16 .
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci - dessus .
1) a) En exploitant le graphique, déterminer p  64  X  104 
b) Quelle valeur approchée entière de σ peut-on proposer?
X  84
2) On note Z la variable aléatoire définie par Z 
.

a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Z ?
20 

b) Justifier que p  X  64   p  Z 
.
 

c) En déduire la valeur de s arrondie au millième
3) Dans cette question, on considère que σ = 20,1.
Les probabilités demandées seront arrondies au millième.
a) Calculer la probabilité́ que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans.
b) Calculer la probabilité́ que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans.
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Exercice 20 : ( extrait bac 2015 )
Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité́ effectue
plusieurs types de contrôle.
Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en
moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. La masse
(exprimée en grammes) d’une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant
la loi normale d’espérance μ = 100 et d’écart-type σ = 1. Le réglage des machines de la chaîne de
fabrication permet de modifier la valeur de σ.
1) Calculer la probabilité de l’évènement M : «la tablette est mise sur le marché».
2) On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité́ de cet évènement
atteigne 0,97. Déterminer la valeur de σ pour que la probabilité́ de l’évènement « la tablette est mise
sur le marché » soit égale à 0, 97.
Exercice 21 : ( extrait bac 2015 )
On étudie une maladie dans la population d’un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par
millilitre ng.mL-1, d’une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé́ chez les personnes
atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n’en sont pas atteintes.
1) Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la
maladie est modélisé́ par une variable aléatoire T qui suit la loi normale d’espérance   40 et
d’écart-type   8 .
On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée.
Calculer la probabilité́ que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à 60 ng.mL-1 .
2) Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes
atteintes par la maladie étudiée est de 50 ng.mL-1 et que 10 % d’entre elles ont un taux de substance
Gamma inferieur à 43 ng.mL-1.
On appelle T’ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL-1 chez une
personne atteinte par la maladie étudiée.
On admet que T’ suit la loi normale d’espérance  ’ et d’écart-type  ’.
Préciser la valeur de  ’ et déterminer la valeur de  ’.
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Exercice 22 : ( exercice avec prise d’initiatives )
Un lanceur de javelot amateur , souhaitant étudier ses performances , modélise la distance parcourue
par son javelot ( en mètre ) par une loi normale de paramètres  et  inconnus .
Après une semaine d’entraînement , il a relevé que , dans 7,62% des cas , ses lancers ne dépassent
pas les 50 mètres , alors que 23,75% d’entre eux franchissaient la ligne des 65 mètres .
Quelles valeurs doit – il prendre pour  et  ?
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