Uncertainty quantification on high-dimensionnal obstacle

Propagation d’incertitudes sur des problèmes de
l’obstacle
Un algorithme glouton
Virginie EHRLACHER
CERMICS, Equipe-projet MICMAC, INRIA-Ecole des Ponts
Travail fait en collaboration avec E. Cancès et T. Lelièvre
JFMS 2010, 24 mars 2010
Virginie EHRLACHER CERMICS, Equipe-projet
Propagation
MICMAC,
d’incertitudes
INRIA-Ecole sur
desdes
Ponts
problèmes
Travailde
fait
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l’obstacle
en collaboration
2010,Un
24 algorithme
mars
avec
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E. Cancès
glouton
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Introduction
Principale motivation : Problèmes non linéaires convexes en grande
dimension
Propagation d’incertitudes sur des problèmes non linéaires en
mécanique (problèmes de contact)
Dynamique moléculaire
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Introduction
Principale motivation : Problèmes non linéaires convexes en grande
dimension
Propagation d’incertitudes sur des problèmes non linéaires en
mécanique (problèmes de contact)
Dynamique moléculaire
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Calcul d’un modèle réduit
Problème spatial défini pour x ∈ R3 . Incertitudes modélisées par un
vecteur aléatoire T = (T1 , ..., Tp ) ∈ Rp .
Méthodes de collocation stochastique, méthodes de Galerkin,
méthodes de perturbation...
La solution u est recherchée comme une combinaison linéaire de produits
tensoriels
u(t, x) =
K X
L
X
λkl rk (t)sl (x)
k=1 l=1
où (rk )1≤k≤K et (sl )1≤l≤L sont connues a priori. (λkl )1≤k≤K ,1≤l≤L doivent
être calculées.
Dim = KL
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Algorithmes gloutons
Les algorithmes gloutons consistent à minimiser localement une
fonctionnelle par un produit tensoriel. Construction de la solution par
séparation de variables.
Première introduction dans le contexte de la propagation
d’incertitudes: cas d’une fonctionnelle quadratique associée à une
classe d’EDP linéaires elliptiques
Nouy A., A generalized spectral decomposition to solve a class of
linear stochastic partial differential equations,Comput. Methods Appl.
Mech. Engrg., vol. 196, p. 4521-4537, 2007.
Extension au cas d’une fonctionnelle fortement convexe non linéaire.
Cas du problème de l’obstacle: combiner une méthode de pénalisation
avec un algorithme glouton.
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Plan
1
Cadre théorique général et résultats principaux
2
Application au problème de l’obstacle
3
Résultats numériques
4
Conclusion
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Plan
1
Cadre théorique général et résultats principaux
2
Application au problème de l’obstacle
3
Résultats numériques
4
Conclusion
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Quelques notations
p, d ∈ N∗ . T et X des ouverts de Rp et Rd respectivement.
V espace de Hilbert de fonctions à valeurs réelles définies sur T × X .
Le produit scalaire est noté h., .i et la norme associée est notée k.kV .
E une fonctionnelle différentiable définie sur V .
Vt et Vx espaces de Hilbert de fonctions à valeurs réelles définies
respectivement sur T et X .
On définit le produit tensoriel suivant: Pour (r , s) ∈ Vt × Vx ,
r ⊗s :
T ×X
(t, x)
→
R
7→ r (t)s(x)
Σ = {r ⊗ s | (r , s) ∈ Vt × Vx }
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Hypothèses
(H1) Vect(Σ) est dense dans V pour k.kV .
(H2) Pour toute suite d’éléments de Σ bornée dans V , il
existe une sous-suite qui converge faiblement dans V vers un
élément de Σ.
(H3) La fonctionnelle E est fortement convexe.
(H4) Le gradient de E est Lipschitz sur les ensembles
bornés.
On note u l’unique minimiseur global de E dans V .
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Définition de l’algorithme
On définit par récurrence:
(rn , sn ) ∈
argmin E
(r ,s)∈Vt ×Vx
et
un =
n
X
n−1
X
rk ⊗ sk + r ⊗ s
k=1
!
(1)
rk ⊗ sk
k=1
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Résultat de convergence
Théorème
Sous les hypothèses (H1), (H2), (H3) et (H4), les itérations de
l’algorithme sont bien définies dans le sens où il existe toujours un
minimiseur pour le problème (1). De plus, la suite (un )n∈N∗ converge
fortement dans V vers u.
Remarques sur l’algorithme
Le minimiseur rn ⊗ sn de (1) n’est pas unique.
L’algorithme et le résultat peuvent facilement être généralisés dans le
cas de plus de deux variables.
Réduction de la dimension:
Dim = C (K + L)
au lieu de KL.
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Vitesse de convergence en dimension finie
L’algorithme converge exponentiellement vite en dimension finie.
Théorème
Supposons que les espaces Vt et Vx sont de dimensions finies et que (H1),
(H2), (H3) et (H4) sont satisfaites. Alors il existe C1 , C2 > 0 et σ ∈ (0, 1)
tels que pour tout n ∈ N∗ :
0 ≤ E(un ) − E(u) ≤ C1 σ n ,
et
ku − un kV ≤ C2 σ n/2 .
Ce résultat est également valable dans le cas de plus de deux variables.
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Plan
1
Cadre théorique général et résultats principaux
2
Application au problème de l’obstacle
3
Résultats numériques
4
Conclusion
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13 /et23T.
Quelques notations
Modélisation des incertitudes: T = (T1 , ..., Tp ) un vecteur aléatoire à
valeurs dans T .
Problème mécanique défini sur X (borné).
H un espace de Hilbert de fonctions à valeurs réelles définies sur X .
L2T (T , H) = w : T → H | E[kw (T )k2H ] < +∞
Dons notre cas
H = H10 (X )
kw k2H 1 (X ) =
0
Z
|∇x v |2
X
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Problème de l’obstacle considéré
Membrane accrochée soumise à une force f ∈ L2T (T , L2 (X )), suspendue
au-dessus d’un obstacle d’altitude g ∈ L2T (T , H01 (X )). v (T , x): altitude
aléatoire de la membrane au point x.

−∆x v ≥ f sur T × X ,



v ≥ g sur T × X ,
 (∆x v + f )(v − g ) = 0 sur T × X ,


v (T , x) = 0 ∀(T , x) ∈ T × ∂X .
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Autre formulation
Kg = w ∈ L2T (T , H01 (X )) | ∀(t, x) ∈ T × X , w (t, x) ≥ g (t, x)
Problème de l’obstacle:
v = argmin J (w )
w ∈Kg
avec
Z
Z
1
2
J (w ) = E
f (T , x)w (T , x) dx
|∇x w (T , x)| dx −
2 X
X
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Méthode de pénalisation
Transformer les contraintes en termes pénalisés dans la fonctionnelle:
ρ > 0 (large)
vρ =
argmin
w ∈L2T (T ,H01 (X ))
Jρ (w )
où
Z
ρ
2
[g (T , x) − w (T , x)]+ dx
Jρ (w ) = J (w ) + E
2
X
a si a > 0
Pour a ∈ R, [a]+ =
0
sinon
vρ −→ v
ρ→+∞
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Application de l’algorithme
But de l’algorithme : Approcher u = vρ , le minimiseur de E = Jρ sur
V = L2T (T , H01 (X )).
Vt = L2T (T , R) and Vx = H01 (X ).
Les hypothèses (H1), (H2), (H3) et (H4) définies précédemment sont bien
vérifiées sur ce problème.
En définissant par récurrence pour n ∈ N∗ ,
!
n−1
X
(rn , sn ) ∈ argmin E
rk ⊗ sk + r ⊗ s ,
(r ,s)∈Vt ×Vx
on sait que
n
X
k=1
k=1
rk ⊗ sk −→ u.
n→+∞
De nombreuses autres variantes du problème de l’obstacle peuvent être
traitées avec l’algorithme présenté précédemment.
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Application au problème de l’obstacle
3
Résultats numériques
4
Conclusion
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Résultats numériques
X = T = (0, 1). T suit une loi de probabilité uniforme sur (0, 1).
∀(t, x) ∈ (0, 1)2 , f (t, x) = −1 and g (t, x) = t[sin(3πx)]+ +(t−1)[sin(3πx)]−
On note [a]− la partie négative de a ∈ R, i.e. [a]− = 0 si a ≥ 0, et
[a]− = −a si a ≤ 0.
ρ = 2500, k, l = 40
1
0.8
u(t, x)
g (t, x)
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
1
0
1
0.8
1
0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
t
0.2
0
0
x
0.8
1
0.6
0.8
0.6
0.4
0.4
0.2
t
0.2
0
0
x
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Résultats numériques
5
5
3
log10 (ku − un kV )
log10 (E(un ) − E(u))
4
0
2
1
0
−1
−5
−2
−3
−4
−10
0
1000
2000
3000
4000
5000
Number of iterations
6000
7000
−5
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Number of iterations
7000
8000
La décomposition trouvée n’est pas la décomposition optimale.
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Conclusion
Résultat théorique de convergence d’un algorithme de type glouton
pour la minimisation d’une énergie fortement convexe (non linéaire)
Résultat de vitesse de convergence en dimension finie
Application à l’étude de la propagation d’incertitudes sur un problème
de l’obstacle: combinaison de méthodes de pénalisation avec
l’algorithme glouton
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Pour aller plus loin...
Problème de la méthode de pénalisation: on approche vρ et non v !
Idée: Combiner plutôt des méthodes de lagrangien augmenté avec
l’algorithme glouton. Travail en cours avec Eric Cancès et Tony
Lelièvre.
Nouy A. and Le Maitre O., Generalized spectral decomposition for
stochastic nonlinear problems,Journal of Computational Physics, vol.
228(1), p. 202-235, 2009.
Utilisation de la Proper Generalized Decomposition sur l’équation de
Burgers.
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