TD 4. Représentations linéaires des groupes finis.

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 4. Représentations linéaires des groupes finis.
Rappel Soit Gun groupe fini. Une représentation linéaire de dimension finie de Gsur le corps Kest la donnée
un K-espace vectoriel Vde dimension finie et d’un morphisme de groupes ρ:G→GL(V): le groupe Gagit
sur Vpar automorphismes linéaires via (g, v)7→ ρ(g)v. On appelle degré ou dimension de la représentation la
dimension de l’espace vectoriel V. La représentation sera dite irréductible si les seuls sous-espaces de Vstables
sous l’action de Gsont {0}et Vlui-même. Soit (V′, ρ′)une autre représentation de G. On dit que (V, ρ)et (V′, ρ′)
sont isomorphes s’il existe un isomorphisme linéaire V→V′qui commute à l’action de G.
En cours, le cas des représentations à coefficients dans le corps des complexes Ca été traité grâce à la fructueuse
théorie des caractères.
Remarquons que si Gagit sur un ensemble fini X, on peut considérer cette action comme une représentation
linéaire en construisant un C-espace vectoriel Vde base {ex, x ∈X}indexée par les éléments de X. L’action de
g∈Gsur l’élément exest donnée par eg.x. C’est une représentation complexe de dimension finie !
Exercice 1. Pour le groupe des quaternions H8et le groupe D4, déterminer le groupe des
commutateurs et en déduire les caractères de degré 1. Comparer les tables des caractères de ces
deux groupes.
Exercice 2. Soient Gun groupe fini et Aun sous-groupe abélien de G. Montrer que les degrés
des caractères irréductibles de Gsont inférieurs ou égaux à [G:A]l’indice de Adans G. Retrouver
le fait que les caractères d’un groupe abélien sont de degré 1.
Exercice 3 (Toujours GL2(Fp)...). Soit pun nombre premier impair et G= GL2(Fp).
1. Soit ǫun générateur du groupe cyclique F∗
p. On considère la Fp-algèbre quotient
Fp[X]/(X2−ǫ)
où (X2−ǫ)désigne l’idéal de Fp[X]engendré par X2−ǫc’est à dire l’ensemble des polynômes
multiples de X2−ǫ. Montrer que cette algèbre est un Fp-espace vectoriel de dimension 2.
En décrire une base. Après avoir remarqué que X2−ǫest irréductible sur Fp, montrer que
cette algèbre est un corps. Quel est son cardinal ? Nous allons la noter Fp2.
2. Montrer que le sous-groupe K=x ǫy
y x ,(x, y)6= (0,0)de Gest isomorphe au groupe
multiplicatif (Fp2)∗.
3. Se convaincre que les classes de conjugaisons de Gsont les suivantes :
Représentant Nombre d’éléments Nombre de telles classes
ax=x0
0x1p−1
bx=x1
0xp2−1p−1
cx,y =x0
0yavec x6=y p2+p(p−1)(p−2)
2
dx,y =x ǫy
y x avec y6= 0 p2−p(p−1)p
2
4. Combien y a-t-il de caractères irréductibles de G?
5. Remarquer que pour chacun des morphismes φ:F∗
p→C∗, on a un caractère de degré 1
de Gcorrespondant à la composition de φavec le déterminant. Combien y a-t-il de tels
caractères ?
6. Le groupe Gagit par homographies sur la droite projective P1(Fp)(cf TD2 Exercice 6).
Décrire le caractère de cette représentation. Est-il irréductible ? Le décomposer en somme
directe de caractères irréductibles.
1

Exercice 4 (Lemme de Schur.). Soit Gun groupe fini et (ρ, V )une représentation de di-
mension finie de Gà coefficients dans K. On note EndK[G](V)l’algèbre des endomorphismes de
l’espace vectoriel Vqui commutent à l’action de Gsur V.
1. On suppose que (ρ, V )est irréductible. Montrer que EndK[G](V)est une algèbre à division
(c’est-à-dire un corps non nécessairement commutatif). Dans le cas où Kest algébriquement
clos montrer que
EndK[G](V)≃K.
Décrire l’algèbre EndK[G](V⊕V).
2. Si (ρ, V )et (ρ′, V ′)sont deux représentations irréductibles non isomorphes de G, montrer
que l’algèbre des endomorphismes EndK[G](V, V ′)qui commutent à l’action de Gest nulle.
3. Si (ρ, V )s’écrit comme somme directe de représentations irréductibles V=V1⊕V2, décrire
l’algèbre EndK[G](V).
Exercices très optionnels...
Exercice 5 (Représentations induites.). Soient Gun groupe fini, Hun sous-groupe propre
de G. On se donne un morphisme α:H→K∗et l’on définit la représentation induite par α
comme suit :
– Son espace West l’ensemble des fonctions f:G→Kqui vérifient f(hx) = α(h)f(x)pour
tout h∈H,x∈G.
– L’action de g∈Gsur une telle fonction est donnée par translation à droite c’est-à-dire que
g.f est la fonction qui à x∈Gassocie f(xg).
On note IndG
Hαcette représentation.
1. Vérifier que IndG
Hαest bien une représentation de G.
2. Pour tout g∈Gon définit fgl’élément de Wégal à la fonction de support Hg qui à g
associe 1K. Vérifier que fg=g−1.f1
On choisit {g1, ..., gk}un système de représentants des classes à droite H\G:
G=
k
a
i=1
Hgk.
Montrer qu’une base de West donnée par {fg1, ..., fgk}. Ainsi, IndG
Hαest une représentation
de Gde dimension [G:H].
3. On reprend les notations de l’exercice 4. Pour G= GL2(Fp),H=Ble sous-groupe de Borel
de Gdes matrices triangulaires supérieures, et α:B→C∗le caractère trivial, comparer
la représentation induite obtenue et la représentation de Gdonnée par son action sur la
droite projective.
Exercice 6 (Réciprocité de Frobenius). On se donne pour la suite un groupe fini Get une
représentation de dimension finie (ρ, V )de Gà coefficients dans le corps K. Soit Hun sous-
groupe de G. On note VHle sous-espace des vecteurs de Vqui sont fixés par l’action des éléments
de H.
Soit 1:H→K∗le caractère trivial qui à tout élément associe l’unité 1K. Nous voulons montrer
que l’on a une bijection
(1) EndK[G](IndG
H1, V )≃VH.
1. Soit i∈ {1,2, ..., k}. Montrer que la fonction fgide l’exercice précédent est ici égale à la
fonction caractéristique de Hgi(nous avons pris α=1).
2. Pour F∈EndK[G](IndG
H1, V ), montrer que F(f1)est un élément de VH.

3. Soit v∈VHfixé. Soient g∈Get i∈ {1, ..., k}tels que Hg =Hgi. Montrer que ρ(g−1)v=
ρ(g−1
i)v. En déduire que l’on définit de façon univoque un élément F∈EndK[G](IndG
H1, V )
en posant
F(f1) = v.
4. Montrer la bijection (1).
5. Supposons que (ρ, V )est une représentation telle que VH6={0}. Montrer que l’on a un
morphisme non nul IndG
H1→Vqui commute à l’action de G. Si de plus (ρ, V )est irré-
ductible, montrer que ce morphisme est surjectif. On dit que la représentation (ρ, V )est
quotient de la représentation induite IndG
H1.
6. On choisit maintenant G= GLn(Fp). On note Bson sous-groupe des matrices triangulaires
supérieures et Ule sous-groupe de Bconstitué par les matrices unipotentes. Supposons que
Kest un corps algébriquement clos de caractérisque p.
(a) Si (ρ, V )est une représentation non-nulle de G, montrer que VU6={0}(voir TD2),
que VUest stable sous l’action du sous-groupe Tconstitué par les matrices diagonales
de G. En déduire qu’il existe dans VUun vecteur non nul sur lequel Bagit par un
caractère α:B→K∗qui est trivial sur U.
(b) Montrer que si (ρ, V )est une représentation non nulle irréductible de Galors elle est
quotient de l’induite IndG
U1. (La réciprocité de Frobenius se démontre pour l’induite
d’un caractère quelconque, pas seulement pour le caractère trivial. Ainsi, on déduirait
de même de (a) que Vest quotient de l’induite IndG
Bα.)
7. Une remarque : le résultat précédent n’est pas vrai lorsque K=C. On peut déjà le vérifier
pour GL2(Fp). En effet, si l’on calcule le nombre de quotients irréductibles non-isomorphes
de IndG
U1, on en trouve moins que le nombre de classes de conjugaison dans GL2(Fp). Il
y en a donc d’autres : on les appelle les représentations supercuspidales. Pour la liste des
caractères irréductibles de GL2(Fp), voir par exemple Representation theory, a first course,
Chapitre 5, Fulton-Harris.