TD 4. Représentations linéaires des groupes finis.

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 4. Représentations linéaires des groupes finis.
Exercice 1.
Exercice 2. Soient Gun groupe fini, Aun sous-groupe abélien de Get (ρ, V )une C-représentation
irréductible (de dimension finie) de G. Puisque Aest abélien, il existe un vecteur v∈Vnon
nul qui est propre pour l’action de chacun des éléments de A. (cf. réduction simultanée d’en-
domorphismes qui commutent deux à deux). Puisque la représentation est irréductible, l’espace
vectoriel Va pour famille génératrice l’ensemble
{ρ(g)v, g ∈G},
ou encore, Vest la somme des droites vectorielles dirigées par les ρ(g)v. L’action de Gsur ces
droites vectorielles est bien sûr transitive. Le stabilisateur de la droite dirigée par vcontient A
par construction. Ainsi, le nombre de telles droites vectorielles est inférieur ou égal à |G|/|A|=
[G:A]. On a montré que la dimension de Vest inférieure ou égale à [G:A].
Exercice 3 (Toujours GL2(Fp)...). Soit pun nombre premier impair et G= GL2(Fp).
1. Soit ǫun générateur du groupe cyclique F∗
p. La Fp-algèbre quotient
Fp[X]/(X2−ǫ)
est un Fp-espace vectoriel de dimension 2de base les images des polynômes 1et Xdans
l’espace quotient. En effet, pour tout polynôme P∈Fp[X], la division euclidienne
P= (X2−ǫ)Q+R
fournit R, de degré inférieur ou égal à 1, tel que Pest égal Rmodulo l’idéal (X2−ǫ). Ainsi,
la classe de Pdans le quotient s’écrit bien comme combinaison linéaire des classes de 1et
X.
La Fp-algèbre quotient Fp[X]/(X2−ǫ)est un corps (c’est donc un corps à p2éléments) :
un élément non nul s’écrit
α+βX mod (X2−ǫ)
avec (α, β)6= (0,0). On remarque que
(α+βX)(α−βX) = α2−β2X2=α2−ǫβ2mod (X2−ǫ).
La constante α2−ǫβ2ne saurait être nulle car ǫn’est pas un carré dans F∗
p. Ainsi, on a un
inverse pour α+βX mod (X2−ǫ)donné par
α2−ǫβ2
α−βX mod (X2−ǫ).
Remarque 1. Plus tard on lira ici la norme d’un élément, son conjugué, etc...
Remarque 2. De façon générale, si P0est un polynôme de degré n, irréductible à coefficients
dans le corps K, alors la K-algèbre quotient K[X]/(P0)est un K-espace vectoriel de
dimension n. C’est de plus un corps : l’inverse de tout élément non nul Pmod (P0)
s’obtient en écrivant un couple de Bezout pour les polynômes premiers entre eux P0et P...
2. Soit K=α ǫβ
β α ,(α, β)6= (0,0). On définit l’application bijective
(Fp2)∗→K, α +βX 7→ α ǫβ
β α .
C’est un isomorphisme de groupes (vérifier qu’elle est compatible avec le produit dans (Fp2)∗
d’une part et le produit matriciel d’autre part.)
1

Le sous-groupe Kde Gest isomorphe au groupe multiplicatif de (Fp2)∗. On dit que c’est un
tore non déployé de G, par opposition au sous-groupe de Gdes matrices diagonales qui est
isomorphe à F∗
p×Fp∗et est appelé tore déployé...
3. Remarquer que les 3trois premières sortes de classes de conjugaison sont les classes de
similitude de matrices trigonalisables dans Fp. (Certaines sont mêmes diagonalisables). Les
dx,y quant à elles ne sont pas réductibles dans Fp. Leur polynôme caractéristique n’admet
pas de racine dans Fp. (En revanche il admet une racine dans une extension de degré 2de
Fp...)
4. Il y a autant de caractères irréductibles de Gque de classes de conjugaisons dans Gc’est-
à-dire p2−1.
5. Un morphisme φ:F∗
p→C∗est déterminé par l’image de ǫqui est une racine p−1ème de
l’unité dans C∗. Il y a donc p−1tels morphismes. Les composer chacun avec
det : G→F∗
p
fournit p−1caractères G→C∗.
6. Le groupe Gagit par homographies sur la droite projective P1(Fp).
(cf TD2 Exercice 6, on rappelle que l’action de a b
c dsur zest donnée par az+b
cz+d. Cette
action reflète l’action naturelle de Gsur l’ensemble des p+ 1 droites de l’espace vectoriel
(Fp)2lorsque l’on associe à l’élément z∈P1(Fp)la droite vectorielle dirigée par le vecteur
(z, 1).)
Le caractère de la représentation associée à cette action est donné, en l’élément g∈G, par
le nombre de points fixes pour gdans son action sur les points de P1(Fp).
Résoudre az+b
cz+d=zselon les 4cas donne les valeurs suivantes pour le caractère :
ax=x0
0x7→ p+ 1, bx=x1
0x7→ 1, cx,y =x0
0y7→ 2, dx,y =x ǫy
y x 7→ 0.
Rien d’étonnant à cela quand on revient à l’action naturelle de ces éléments sur les droites
de (Fp)2: il est clair que la matrice axqui est une homothétie fixe les p+ 1 droites de
l’espace, que la matrice bxqui est trigonalisable et non diagonalisable fixe exactement une
droite, que la matrice cx,y qui est diagonalisable avec deux valeurs propres distinctes fixe
exactement deux droites, et enfin, que la matrice dx,y que l’on ne peut pas réduire dans Fp
ne fixe aucune droite.
Cette représentation n’est pas irréductible. En effet, le calcul du produit scalaire de son
caractère par lui-même donne la valeur 2, donc cette répresentation est une somme directe de
deux représentations irréductibles non isomorphes. L’une d’entre elles est la représentation
triviale. Voir le cours sur la représentation standard de Sn.
Exercice 4 (Lemme de Schur.). Soit Gun groupe fini et (ρ, V )une représentation de di-
mension finie de Gà coefficients dans K. On note EndK[G](V)l’algèbre des endomorphismes de
l’espace vectoriel Vqui commutent à l’action de Gsur V.
1. On suppose que (ρ, V )est irréductible. Soit f∈EndK[G](V)un endomorphisme non nul
de Vqui commute à l’action de G. Son image est un sous-espace de Vnon trivial et stable
sous l’action de G. C’est donc Vtout entier par irréductibilité de V. De même, le noyau
de fest trivial. Ainsi, fest inversible.
Supposons que Kest algébriquement clos. Notre endomorphisme fadmet alors une va-
leur propre λ, c’est-à-dire que l’élément f−λid ∈EndK[G](V)n’est pas inversible. Par
l’argument précédent, il est donc nul et fest égal à l’homothétie de rapport λ. L’algèbre
EndK[G](V⊕V)s’identifie alors à l’algèbre des matrices carrées de taille 2à cœfficients
dans K.