TD 4. Représentations linéaires des groupes finis.

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 4. Représentations linéaires des groupes finis.
Rappel Soit G un groupe fini. Une représentation linéaire de dimension finie de G sur le corps K est la donnée
un K-espace vectoriel V de dimension finie et d’un morphisme de groupes ρ : G → GL(V ) : le groupe G agit
sur V par automorphismes linéaires via (g, v) 7→ ρ(g)v. On appelle degré ou dimension de la représentation la
dimension de l’espace vectoriel V . La représentation sera dite irréductible si les seuls sous-espaces de V stables
sous l’action de G sont {0} et V lui-même. Soit (V ′ , ρ′ ) une autre représentation de G. On dit que (V, ρ) et (V ′ , ρ′ )
sont isomorphes s’il existe un isomorphisme linéaire V → V ′ qui commute à l’action de G.
En cours, le cas des représentations à coefficients dans le corps des complexes C a été traité grâce à la fructueuse
théorie des caractères.
Remarquons que si G agit sur un ensemble fini X, on peut considérer cette action comme une représentation
linéaire en construisant un C-espace vectoriel V de base {ex , x ∈ X} indexée par les éléments de X. L’action de
g ∈ G sur l’élément ex est donnée par eg.x . C’est une représentation complexe de dimension finie !
Exercice 1. Pour le groupe des quaternions H8 et le groupe D4 , déterminer le groupe des
commutateurs et en déduire les caractères de degré 1. Comparer les tables des caractères de ces
deux groupes.
Exercice 2. Soient G un groupe fini et A un sous-groupe abélien de G. Montrer que les degrés
des caractères irréductibles de G sont inférieurs ou égaux à [G : A] l’indice de A dans G. Retrouver
le fait que les caractères d’un groupe abélien sont de degré 1.
Exercice 3 (Toujours GL2 (Fp )...). Soit p un nombre premier impair et G = GL2 (Fp ).
1. Soit ǫ un générateur du groupe cyclique F∗p . On considère la Fp -algèbre quotient
Fp [X]/(X 2 − ǫ)
où (X 2 −ǫ) désigne l’idéal de Fp [X] engendré par X 2 −ǫ c’est à dire l’ensemble des polynômes
multiples de X 2 − ǫ. Montrer que cette algèbre est un Fp -espace vectoriel de dimension 2.
En décrire une base. Après avoir remarqué que X 2 − ǫ est irréductible sur Fp , montrer que
cette algèbre est un corps. Quel est son cardinal ? Nous allons la noter Fp2 .
x ǫy
2. Montrer que le sous-groupe K =
, (x, y) 6= (0, 0) de G est isomorphe au groupe
y x
∗
multiplicatif (Fp2 ) .
3. Se convaincre que les classes de conjugaisons de G sont les suivantes :
Représentant
Nombre d’éléments Nombre de telles classes
x 0
ax =
1
p−1
0 x
x 1
bx =
p2 − 1
p−1
0
x
x 0
(p−1)(p−2)
cx,y =
avec x 6= y
p2 + p
2
0
y
x ǫy
(p−1)p
dx,y =
avec y 6= 0
p2 − p
2
y x
4. Combien y a-t-il de caractères irréductibles de G ?
5. Remarquer que pour chacun des morphismes φ : F∗p → C∗ , on a un caractère de degré 1
de G correspondant à la composition de φ avec le déterminant. Combien y a-t-il de tels
caractères ?
6. Le groupe G agit par homographies sur la droite projective P1 (Fp ) (cf TD2 Exercice 6).
Décrire le caractère de cette représentation. Est-il irréductible ? Le décomposer en somme
directe de caractères irréductibles.
1
Exercice 4 (Lemme de Schur.). Soit G un groupe fini et (ρ, V ) une représentation de dimension finie de G à coefficients dans K. On note EndK[G] (V ) l’algèbre des endomorphismes de
l’espace vectoriel V qui commutent à l’action de G sur V .
1. On suppose que (ρ, V ) est irréductible. Montrer que EndK[G] (V ) est une algèbre à division
(c’est-à-dire un corps non nécessairement commutatif). Dans le cas où K est algébriquement
clos montrer que
EndK[G] (V ) ≃ K.
Décrire l’algèbre EndK[G] (V ⊕ V ).
2. Si (ρ, V ) et (ρ′ , V ′ ) sont deux représentations irréductibles non isomorphes de G, montrer
que l’algèbre des endomorphismes EndK[G] (V, V ′ ) qui commutent à l’action de G est nulle.
3. Si (ρ, V ) s’écrit comme somme directe de représentations irréductibles V = V1 ⊕ V2 , décrire
l’algèbre EndK[G] (V ).
Exercices très optionnels...
Exercice 5 (Représentations induites.). Soient G un groupe fini, H un sous-groupe propre
de G. On se donne un morphisme α : H → K∗ et l’on définit la représentation induite par α
comme suit :
– Son espace W est l’ensemble des fonctions f : G → K qui vérifient f (hx) = α(h)f (x) pour
tout h ∈ H, x ∈ G.
– L’action de g ∈ G sur une telle fonction est donnée par translation à droite c’est-à-dire que
g.f est la fonction qui à x ∈ G associe f (xg).
On note IndG
H α cette représentation.
1. Vérifier que IndG
H α est bien une représentation de G.
2. Pour tout g ∈ G on définit fg l’élément de W égal à la fonction de support Hg qui à g
associe 1K . Vérifier que fg = g−1 .f1
On choisit {g1 , ..., gk } un système de représentants des classes à droite H\G :
G=
k
a
Hgk .
i=1
Montrer qu’une base de W est donnée par {fg1 , ..., fgk }. Ainsi, IndG
H α est une représentation
de G de dimension [G : H].
3. On reprend les notations de l’exercice 4. Pour G = GL2 (Fp ), H = B le sous-groupe de Borel
de G des matrices triangulaires supérieures, et α : B → C∗ le caractère trivial, comparer
la représentation induite obtenue et la représentation de G donnée par son action sur la
droite projective.
Exercice 6 (Réciprocité de Frobenius). On se donne pour la suite un groupe fini G et une
représentation de dimension finie (ρ, V ) de G à coefficients dans le corps K. Soit H un sousgroupe de G. On note V H le sous-espace des vecteurs de V qui sont fixés par l’action des éléments
de H.
Soit 1 : H → K∗ le caractère trivial qui à tout élément associe l’unité 1K . Nous voulons montrer
que l’on a une bijection
(1)
H
EndK[G] (IndG
H 1, V ) ≃ V .
1. Soit i ∈ {1, 2, ..., k}. Montrer que la fonction fgi de l’exercice précédent est ici égale à la
fonction caractéristique de Hgi (nous avons pris α = 1).
H
2. Pour F ∈ EndK[G] (IndG
H 1, V ), montrer que F (f1 ) est un élément de V .
3. Soit v ∈ V H fixé. Soient g ∈ G et i ∈ {1, ..., k} tels que Hg = Hgi . Montrer que ρ(g−1 )v =
ρ(gi−1 )v. En déduire que l’on définit de façon univoque un élément F ∈ EndK[G] (IndG
H 1, V )
en posant
F (f1 ) = v.
4. Montrer la bijection (1).
5. Supposons que (ρ, V ) est une représentation telle que V H 6= {0}. Montrer que l’on a un
morphisme non nul IndG
H 1 → V qui commute à l’action de G. Si de plus (ρ, V ) est irréductible, montrer que ce morphisme est surjectif. On dit que la représentation (ρ, V ) est
quotient de la représentation induite IndG
H 1.
6. On choisit maintenant G = GLn (Fp ). On note B son sous-groupe des matrices triangulaires
supérieures et U le sous-groupe de B constitué par les matrices unipotentes. Supposons que
K est un corps algébriquement clos de caractérisque p.
(a) Si (ρ, V ) est une représentation non-nulle de G, montrer que V U 6= {0} (voir TD2),
que V U est stable sous l’action du sous-groupe T constitué par les matrices diagonales
de G. En déduire qu’il existe dans V U un vecteur non nul sur lequel B agit par un
caractère α : B → K∗ qui est trivial sur U .
(b) Montrer que si (ρ, V ) est une représentation non nulle irréductible de G alors elle est
quotient de l’induite IndG
U 1. (La réciprocité de Frobenius se démontre pour l’induite
d’un caractère quelconque, pas seulement pour le caractère trivial. Ainsi, on déduirait
de même de (a) que V est quotient de l’induite IndG
B α.)
7. Une remarque : le résultat précédent n’est pas vrai lorsque K = C. On peut déjà le vérifier
pour GL2 (Fp ). En effet, si l’on calcule le nombre de quotients irréductibles non-isomorphes
de IndG
U 1, on en trouve moins que le nombre de classes de conjugaison dans GL2 (Fp ). Il
y en a donc d’autres : on les appelle les représentations supercuspidales. Pour la liste des
caractères irréductibles de GL2 (Fp ), voir par exemple Representation theory, a first course,
Chapitre 5, Fulton-Harris.