Les probabilités (1)

Probabilités
I/ Variables aléatoires
La somme des deux dés
On lance deux dés et on fait la somme des deux chiffres obtenus.
On peut trouver 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ou 12.
Chacune de ces valeurs a une probabilité.
On appelle cela une variable aléatoire.
On rédige ainsi:
Soit S la variable aléatoire égale à la somme des chiffres indiqués par les deux dés.
La probabilité que la somme soit égale à 2 est
1
36
.
On note P ( S = 2 ) =
1
36
.
De même, P ( S = 3 ) =
2
36
etc.
Il vaut mieux faire un tableau :
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P ( S = n )
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Quand on a donné toutes ces probabilités, on dit qu’on a donné la loi de probabilité de la
variable aléatoire.
On peut faire un calcul de moyenne, chaque somme étant affectée de sa probabilité.
On trouve
2
1
36
+ 3
2
36
+ 4
3
36
+ 5
4
36
+ 6
5
36
+ 7
6
36
+ 8
5
36
+ 9
4
36
+
10
3
36
+ 11
2
36
+ 12
1
36
= 7.
Cette moyenne s’appelle l’espérance de la variable aléatoire.
L’espérance de la variable aléatoire S est notée E ( S ).
Un cas particulier assez parlant est l’espérance de gain lors d’un jeu de hasard.
On lance un dé. Je gagne 2 euros si le 6 sort, je perds 1 euro sinon.
X est la variable aléatoire égale à mon gain.
La probabilité de gagner 2 euros est
1
6
, la probabilité de perdre 1 euro est
5
6
donc E ( X ) =
1
6
2 -
5
6
1 = -
3
6
= -
1
2
.
L’espérance de gain est négative donc le jeu est défavorable au joueur.

Remarque: le gain possible (2 euros) est supérieur à la perte possible ( 1 euro) mais
l’espérance est négative car la perte est beaucoup probable que le gain.
Les jeux de casino ou de la Française des jeux ont tous une espérance de gain négative.
Quand l’espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable.
II/ Loi binomiale
Une épreuve de Bernoulli est une expérience qui peut donner deux résultats. Par exemple
- lancer une pièce; on peut obtenir pile ou face.
- lancer un dé; on peut obtenir 6 ou autre chose.
On peut appeler les deux résultats « succès » et « échec ».
On appelle souvent p la probabilité d’un succès et q la probabilité d’un échec ( q = 1 - p ).
Pour un lancer de pièces, p =
1
2
et q =
1
2
.
Pour un lancer de dé, si un succès est l’obtention d’un six, p =
1
6
et q =
5
6
.
Trois pièces
On peut répéter une épreuve de Bernoulli, par exemple en lançant trois pièces.
Soit F la variable aléatoire égale au nombre de pièces qui tombent sur face.
Donnons la loi de probabilité de cette variable aléatoire et son espérance.
FFF 3 faces
FFP 2 faces
F FPF 2 faces
FPP 1 face
PFF 2 faces
P PFP 1 face
PPF 1 face
PPP 0 face
1ère pièce 2 e pièce 3 e pièce
À chaque feuille de l’arbre correspond un événement. Pour atteindre une feuille depuis la
racine on emprunte un chemin : une succession de nœuds et de branches.
Chaque pièce a autant de chances de tomber sur pile que sur face donc à chaque nœud de
l’arbre, les deux branches ont la même probabilité d’être empruntées.
L’arbre suggère donc que les huit événements indiqués par l’arbre ont tous la même
probabilité.
On peut donc donner la loi de probabilité de la variable aléatoire F en utilisant la formule
nombre de cas favorables
nombre de cas possibles
. . .
. . .
:

Nombre de faces 0 1 2 3
Probabilité
1
8
3
8
3
8
1
8
On vérifie que
1
8
+
3
8
+
3
8
+
1
8
= 1
On peut aussi noter P ( F = 0 ) =
1
8
; P ( F = 1 ) =
3
8
; P ( F = 2 ) =
3
8
et P ( F = 3 ) =
1
8
.
L’espérance de la variable aléatoire F est
E ( F ) = 0
1
8
+ 1
3
8
+ 2
3
8
+ 3
1
8
=
12
8
=
3
2
.
Cela signifie qu’en moyenne, pour chaque lancer de trois pièces, le nombre de faces est 1,5.
On dit que la variable aléatoire F suit une loi binomiale.
Il y a plusieurs lois binomiales, celle-ci s’appelle B ( 3 ;
1
2
).
* B comme binomial car on effectue des expérience à deux issues : pile et face (on
peut aussi dire succès et échec)
* ces expériences sont identiques et indépendantes
* 3 car on répète trois fois cette expérience
*
1
2
car, chaque fois qu’on lance une pièce, la probabilité d’avoir face est p =
1
2
.
Les trois expériences successives sont identiques car chaque pièce a la même
probabilité de tomber sur pile et la même probabilité de tomber sur face.
Les trois expériences successives sont indépendantes car le résultat d’une expérience
ne dépend pas du résultat des expériences précédentes : la probabilité d’avoir face est la même
si la première pièce a donné pile ou si la première pièce a donné face (les pièces et les dés
n’ont pas de mémoire).
Trois dés
On lance trois dés et on compte le nombre de six.
Soit S la variable aléatoire égale au nombre de six.
Cette variable aléatoire suit la loi binomiale B ( 3 ;
1
6
).
Ici les différentes branches de l’arbre n’ont pas la même probabilité, on ne peut donc plus
utiliser le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles.

On fait un arbre pondéré :
1
6
P =
1
6
1
6
1
6
1
6
5
6
P =
1
6
1
6
5
6
1
6
5
6
1
6
P =
1
6
5
6
1
6
5
6
P =
1
6
5
6
5
6
1
6
P =
5
6
1
6
1
6
5
6
1
6
5
6
P =
5
6
1
6
5
6
5
6
1
6
P =
5
6
5
6
1
6
5
6
P =
5
6
5
6
5
6
Disons qu’obtenir 6 est un succès et disons qu’obtenir autre chose que 6 est un échec.
La probabilité d’un succès est p =
1
6
.
La probabilité d’un échec est alors q = 1 - p =
5
6
.
On part de la racine de l’arbre et on va jusqu’à une feuille. Pour cela on passe par trois
branches. La probabilité d’arriver à cette feuille est le produit des probabilités rencontrées sur
ces trois branches.
Par exemple, la probabilité d’avoir deux succès puis un échec (deuxième feuille en partant du
haut) est
1
6
1
6
5
6
=
5
216
.
La probabilité d’avoir deux succès et un échec est
1
6
1
6
5
6
+
1
6
5
6
1
6
+
5
6
1
6
1
6
= 3
5
216
=
15
216
.

On donne ainsi la loi de probabilité de la variable aléatoire S :
Nombre de six 0 1 2 3
Probabilité
125
216
75
216
15
216
1
216
On peut aussi noter P ( S = 0 ) =
125
216
; P ( S = 1 ) =
75
216
etc.
On vérifie que
125
216
+
75
216
+
15
216
+
1
216
= 1.
L’espérance de la variable aléatoire F est
E ( F ) = 0 P ( S = 0 ) + 1 P ( S = 0 ) + 2 P ( S = 0 ) + 3 P ( S = 0 )
= 0
125
216
+ 1
75
216
+ 2
15
216
+ 3
1
216
=
108
216
=
1
2
.
Cela signifie qu’en moyenne, pour chaque lancer de trois dés, le nombre de six est
1
2
.
On dit que la variable aléatoire S suit la loi binomiale B ( 3 ;
1
6
) car, à chaque lancer de dé, la
probabilité d’un succès (avoir un six) est p =
1
6
.
On peut envisager beaucoup d’autres situations régies par une loi binomiale :
* Quelle est la probabilité d’avoir deux garçons dans une famille de trois enfants ?
* Chaque malade a neuf chances sur dix de guérir. Quelle est la probabilité que, parmi trois
malades, un seul guérisse ?
Dans toutes ces situations, on effectue des expériences identiques et indépendantes.
Rappel: des expériences sont identiques si elles ont la même loi de probabilité.
Rappel: on dit que des expérience sont indépendantes si le résultat d’une expérience ne
dépend pas du résultat des expériences précédentes.
Des expériences identiques ne sont pas forcément indépendantes.
Dans une rue à sens unique, il y a deux voies de circulation et un feu rouge. Deux
voitures arrivent. Chaque voiture a une chance sur deux de s’arrêter sur la file de
gauche et une chance sur deux de s’arrêter sur la file de droite.
Quelle est la probabilité qu’elles s’arrêtent toutes les deux sur la file de gauche ?
Si on fait un arbre, on trouve
1
4
.
En fait les voitures (ou plutôt les automobilistes) ne se comportent pas ainsi.