Théorème de Carathéodory

Théorème de Carathéodory - Théorème de Mazur
Florent Nacry
24 janvier 2015
Références : Oraux X-E.N.S. Algèbre 3, Francinou, Cours d’analyse fonctionnelle de Lionel
Thibault (Université Montpellier 2).
Notation : Si Xest une partie d’un R-espace vectoriel, on note co (X)son enveloppe convexe.
Théorème. (Carathéodory) Soient n∈N?,Xune partie non vide de Rn. Alors, tout point de
co (X)est barycentre d’une famille de n+ 1 points de Xaffectés de coefficents positifs.
Démonstration. Soit x∈co (X)fixé. Puisque co (X)est l’ensemble des combinaisons convexes
d’éléments de X, il existe p∈N?,x1, . . . , xp∈X,λ1, . . . , λp∈R?
+avec
p
P
i=1 λi= 1 tels que
x=
p
P
i=1 λixi. Si p≤n+ 1, c’est terminé. Supposons p > n + 1. On a p−1> n = dimRRn. Ainsi,
la famille (xi−x1)2≤i≤pde Rnest R-liée dans Rn, i.e. il existe (α2, . . . , αp)∈Rp+1 \ {0}tel que
p
X
i=2
αi(xi−x1)=0.(1)
Posons α1=−p
P
i=2 αi. On a
p
X
i=1
αixi=
p
X
i=2
αixi+α1x1
=
p
X
i=2
αix1+α1x1
=
p
X
i=2
αix1−
p
X
i=2
αix1
= 0
où la deuxième égalité résulte de (1). Remarquons que pour tout t∈R,
x=
p
X
i=1
λixi+t
p
X
i=1
αixi=
p
X
i=1
(λi+tαi)xi.(2)
On a
p
P
i=1 αi= 0 et l’existence de i0∈ {2, . . . , p}tel que αi06= 0. Ceci entraîne tout de suite
l’existence d’un j0∈ {1, . . . , p}tel que αj0<0ce qui permet de définir
τ= min (−λi
αi
:i∈ {1, . . . , p}, αi<0).
1

Posons pour tout i∈ {1, . . . , p},µi=λi+ταi. Fixons k∈ {1, . . . , p}. Soit αk≥0et dans ce cas
µk≥0, soit αk<0et dans ce cas 0≤τ≤ −λk
αkpuis ταk≥ −λk, i.e. µk≥0. On en déduit que
pour tout i∈ {1, . . . , p},µi≥0. Puisque
p
P
i=1 αi= 0, on a
p
X
i=1
µi=
p
X
i=1
λi+τ
p
X
i=1
αi= 1.
Fixons j∈ {1, . . . , p}tel que τ=−λj
αj. Il vient
µj=λj+αjτ=λj−λj= 0.
Ainsi, on a
X
1≤i≤p,i6=j
µixi=
p
X
i=1
µixi
=
p
X
i=1
(λi+ταi)xi
=x
où la dernière égalité est conséquence immédiate de (2). Il s’ensuit que xest barycentre d’une
famille de p−1points de Xaffectés de coefficients positifs. Pour conclure, il reste alors à appliquer
m−1fois ce même procédé où mest l’entier naturel non nul qui satisfait p−m=n+ 1.
Application. Soient n∈N?,Xune partie de Rncompacte. Alors, l’enveloppe convexe de Xest
compacte.
Démonstration. Si X=∅, c’est terminé. Si X6=∅, posons
Φ : Rn+1 ×Rn+1 −→R
((x1, . . . , xn+1),(λ1, . . . , λn+1)) 7−→
n+1
X
i=1
λixi
Observons que Φest continue sur Rn+1 ×Rn+1 (par R-bilinéarité et R-dimension finie de Rn+1 ×
Rn+1). Notons ∆n+1 =(λ1, . . . , λn+1)∈Rn+1 :n+1
P
i=1 λi= 1. L’application
ϕ:X×∆n+1 −→co (X)
((x1, . . . , xn+1),(λ1, . . . , λn+1)) 7−→
n+1
X
i=1
λixi
est alors continue (restriction à la source et au but de Φ) sur X×∆n+1 et ϕ(X×∆n+1) = co (X).
La compacité évidente (c’est un fermé borné de Rn+1 !) de ∆n+1 associée à celle de Xnous garantit
que X×∆n+1 est compact. Ceci termine la preuve.
L’objet de la suite est d’établir que le résultat est faux en dimension infinie.
2

On note l2
R(N) = (xn)n∈N∈RN:+∞
P
n=0 x2
n<+∞. Rappelons c’est un R-espace vectoriel et que
l’application
h·,·i :l2
R(N)×l2 R(N)−→R
((xn)n∈N,(yn)n∈N)7−→
+∞
X
n=0
xnyn
est un produit scalaire sur l2
R(N). Rappelons aussi que (l2 R(N),h·,·i)est un R-espace de Hilbert
dont on note k·k2la norme induite par h·,·i. Pour tout m∈N?, posons
δm:N−→R
n7−→ 
1 si n=m
0 sinon ,
Posons également
ζm:N−→R
n7−→ 
1
n+1 si n=m
0 sinon,
Pour tout n∈N?, on a
ζn−0l2
R(N)
2
2=
+∞
X
k=0
ζn(k)2=1
(n+ 1)2.
Ceci permet d’établir que lim
n→+∞ζn= 0l2
R(N). Posons
A={ζn:n∈N?} ∪ n0l2
R(N)o
qui est (résultat classique de topologie !) compact et notons C= co (A). Montrons que An’est pas
fermée dans l2
R(N). Pour tout m∈N?, on définit
ϕm(·) = 6
π2
m
X
k=1
ζk(·)
k2
qui est évidemment un élément de l2
R(N). Remarquons que pour tout m∈N?,
ϕm(·) = 6
π2
m
X
k=1
ζk(·)
k2+ 1−6 π2
m
X
k=1
1
k2!0l2
R(N).
Ceci nous dit que pour tout m∈N?, on a ϕm(·)∈co (A). Posons l(·) = 6
π2
+∞
P
k=1
ζk(·)
k2et observons
tout de suite que l(·)∈l2
R(N)et que l(·)/∈co (A). Fixons n0∈N?. On a pour tout k∈N,
l(k)−ϕn0(k) = 6
π2
+∞
X
i=n0+1
ζi(k)
i2=
6
π2k2(k+1)2si k > n0
0 si k∈ {0, . . . , n0}.
On en déduit que
kl−ϕn0k2
2=
+∞
X
k=n0+1 6
π2k2(k+ 1)2!2
.
3

On a donc (reste numérique d’une série convergente !)
lim
n→+∞kl−ϕnk2
2= 0,
i.e. lim
n→+∞ϕn=l. Ainsi, co(A)n’est même pas fermée dans l2
R(N).
On a toutefois le résultat suivant :
Théorème. (Mazur) Soient (X, k·k)un K-espace de Banach, Kun compact de (X, k·k). Alors,
l’enveloppe convexe fermée de Kest un compact de (X, k·k).
Démonstration. Notons U=B(0X,1) et fixons un réel ε > 0. Il existe m∈N?,a1, . . . , am∈K
tels que
K⊂
m
[
k=1
B(ak,ε
2)
=
m
[
k=1
ak+ε
2U
={a1, . . . , am}+ε
2U.
On en déduit
co(K)⊂co({a1, . . . , am}+ε
2U)⊂co({a1, . . . , am}) + ε 2U.
L’application
ϕ:Rm×Xm−→ X
(λ1, . . . , λm, x1, . . . , xm)7−→
m
X
k=1
λkxk
est évidemment continue sur Rm×Xm. On a
co({a1, . . . , am}) = ϕΛ×({a1} × . . . × {am}),
où Λ = (λ1, . . . , λm)∈Rm:m
P
k=1
λk= 1. Donc, co({a1, . . . , am})est k·k-compact. Il existe n∈N?,
c1, . . . , cn∈co({a1, . . . , am})tels que
co({a1, . . . , am})⊂ {c1, . . . , cn}+ε
2U.
Donc, co(K)⊂ {c1, . . . , cn}+εU. Ainsi, co(K)est k·k-précompact. Puisque (X, k·k)est un K-
espace de Banach, co(K)est k·k-compact. Ceci termine la preuve.
4