ERM´eca(1)
ER Skieur
On ´etudie le mouvement d’un skieur Mde masse mdescendant une piste selon une pente
faisant un angle αavec l’horizontale. L’air exerce une force de frottement
F=k.
v, o`u k
est un coefficient constant positif et
vla vitesse du skieur. La neige exerce sur le skieur, une
force de frottement de composante tangentielle
Tet de composante normale
N. Les modules
de ces composantes sont reli´es par la relation k
Tk=µ. k
Nko`u µest appel´e le coefficient de
frottement solide.
L’origine de l’axe Ox (axe le long de la la pente orient´e dans le sens de la descente) est la
position initiale du skieur, suppos´e partir `a l’instant initial avec une vitesse n´egligeable. On note
Oy la normale `a la piste dirig´ee vers le haut. On prendra pour les applications num´eriques :
k= 5 u.S.I.,µ= 0,8u.S.I.,m= 75 u.S.I. et cos α= sin α=2
2.
1) D´eterminer l’unit´e SI des coefficients ket µ.
2) Faites un sch´ema et calculer les normes Tet Ndes forces
Tet
N.
3) ´
Etablir l’´equation diff´erentielle que v´erifie la vitesse v. On posera τ=m
k.
Montrer que le skieur atteint une vitesse limite vl=mg
k.(sinα µ. cos α) que l’on calculera.
4) Exprimer la vitesse vet la position xdu skieur en fonction de t,τet vlseulement.
5) Calculer la date t1pour la quelle le skieur `a une vitesse ´egale `a vl
2
6) `
A la date t1, le skieur tombe. On eglige alors la r´esistance de l’air et on consid`ere que le
coefficient de frottement sur le sol est multipli´e par 2.
`
A l’aide du th´eor`eme de l’´energie cin´etique, calculer la distance Dparcourue par le skieur avant
de s’arrˆeter.
Solution
1) u(k) = N.s.m1=kg.s1et µest sans unit´e et sans dimension.
2) Scema similaire `a ExM2.9.N=mg. cos α= 520 Net T=µ.mg. cos α= 426 N. Attention
Ts’oppose au mouvement, donc :
T=T.
ex.
3) dv
dt+v
τ=g(sin αµ.cos α) avec : τ=m
k.
Lorsque le skieur atteint la vitesse limite vl,v=Cte =vl=τ.g(sin αµ.g cos α)
donc : vl=mg
k.(sinα µ. cos α) = 20,8m.s1= 74,8km.h1
4) L’´equation diff´erentielle lin´eaire que v´erifie vadmet pour solution la somme d’une solu-
tion particuli`ere et de la solution de l’´equation sans second membre. La solution particuli`ere
correspond `a la vitesse limite. La solution de l’´equation sans second membre est de la forme :
vG=A.et
τ. La solution de l’´equation est donc v(t) = A.et
τ+vl. Et connaissant la vitesse
initiale v(t= 0) = 0, on en eduit : v(t) = vl.(1 et
τ)
La position xs’obtient par int´egration de la vitesse par rapport au temps : x=vl.(t+τ.et
τ)+B.
La constante d’int´egration s’obtient avec la condition initiale x(t= 0) = 0.
ERM´eca(1)
Skieur PTSI-A |2011-2012
Nous obtenons B=vl.
Finalement : x(t) = vl.[t+τ.(1+et
τ)]
5) t1=τ. ln 2 = 10,4s
6) Appliquons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique sur la distance Dde freinage qui s´epare le
point de chute Adu point de d’arrˆet B:
ABEk=W(m
g)+
W(
N)+W(
T)01
2mvl
22
=Epg+ZxB
xA2µ.mg cos α
exdx
ex
Soit :
m.v2
l
8=
mg.D sin α2µ.
mg cos α.D D’o`u : D=v2
l
8g.(2µ. cos αsin α)= 13 m
2http://atelierprepa.over-blog.com/ jpq[email protected]
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