Exercice: Dynamique et Énergétique - Skieur sur Pente

On ´etudie le mouvement d’un skieur Mde masse mdescendant une piste selon une pente
faisant un angle αavec l’horizontale. L’air exerce une force de frottement −→ F=−k.−→ v, o`u k
est un coefficient constant positif et −→ vla vitesse du skieur. La neige exerce sur le skieur, une
force de frottement de composante tangentielle −→ Tet de composante normale −→ N. Les modules
de ces composantes sont reli´es par la relation k−→ Tk=µ. k−→ Nko`u µest appel´e le coefficient de
frottement solide.
L’origine de l’axe Ox (axe le long de la la pente orient´e dans le sens de la descente) est la
position initiale du skieur, suppos´e partir `a l’instant initial avec une vitesse n´egligeable. On note
Oy la normale `a la piste dirig´ee vers le haut. On prendra pour les applications num´eriques :
k= 5 u.S.I.,µ= 0,8u.S.I.,m= 75 u.S.I. et cos α= sin α=√2
2.
1) D´eterminer l’unit´e SI des coefficients ket µ.
2) Faites un sch´ema et calculer les normes Tet Ndes forces −→ Tet −→ N.
3) ´ Etablir l’´equation diff´erentielle que v´erifie la vitesse v. On posera τ=m
k.
Montrer que le skieur atteint une vitesse limite vl=mg
k.(sinα −µ. cos α) que l’on calculera.
4) Exprimer la vitesse vet la position xdu skieur en fonction de t,τet vlseulement.
5) Calculer la date t1pour la quelle le skieur `a une vitesse ´egale `a vl
2
6) ` A la date t1, le skieur tombe. On n´eglige alors la r´esistance de l’air et on consid`ere que le
coefficient de frottement sur le sol est multipli´e par 2.
`
A l’aide du th´eor`eme de l’´energie cin´etique, calculer la distance Dparcourue par le skieur avant
de s’arrˆeter.
1-TSI 1
Dynamique *
en*référentiel*galiléen*
Energétique
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Exercice+1+:+
exO
A
H
α

Nous obtenons B=−vl.τ.
Finalement : x(t) = vl.[t+τ.(−1+e−t
τ)]
5) t1=τ. ln 2 = 10,4s
6) Appliquons le th´eor`eme de l’´energie cin´etique sur la distance Dde freinage qui s´epare le
point de chute Adu point de d’arrˆet B:
∆A→BEk=W(m−→ g)+
W(−→ N)+W(−→ T)⇔0−1
2mvl 22
=−∆Epg+ZxB
xA−2µ.mg cos α−→
exdx−→ ex
Soit : −
m.v2
l
8=
mg.D sin α−2µ.
mg cos α.D ⇒D’o`u : D=v2
l
8g.(2µ. cos α−sin α)= 13 m
2
Solution
1) u(k) = N.s.m−1=kg.s−1et µest sans unit´e et sans dimension.
2) Sch´ema : N=mg. cos α= 520 Net T=µ.mg. cos α= 426 N. Attention
−→
Ts’oppose au mouvement, donc : −→ T=−T.−→ ex.
3) dv
dt+v τ=g(sin α−µ.cos α)avec : τ=m k.
Lorsque le skieur atteint la vitesse limite vl,v=Cte =vl=τ.g(sin α−µ.g cos α)
donc : vl=mg
k.(sinα −µ. cos α) = 20,8m.s−1= 74,8km.h−1
4) L’´equation diff´erentielle lin´eaire que v´erifie vadmet pour solution la somme d’une solu-
tion particuli`ere et de la solution de l’´equation sans second membre. La solution particuli`ere
correspond `a la vitesse limite. La solution de l’´equation sans second membre est de la forme :
vG=A.e−t
τ. La solution de l’´equation est donc v(t) = A.e−t τ+vl. Et connaissant la vitesse
initiale v(t= 0) = 0, on en d´eduit : v(t) = vl.(1 −e−t
τ)
La position xs’obtient par int´egration de la vitesse par rapport au temps : x=vl.(t+τ.e−t
τ)+B.
La constante d’int´egration s’obtient avec la condition initiale x(t= 0) = 0.
1-TSI
exO
A
H
α