Université Paris 13 Département de Mathématiques Master 1

Université Paris 13 Département de Mathématiques
Master 1 Topologie, 2012/2013
Feuille n◦2
Topologie générale
I. Connexité et compacté
Exercice 1. Soit Xun espace topologique.
(i) Soit {Aα}est une famille de sous-espaces connexes de Xtelle que ∩Aα6=∅. Montrer
que ∪Aαest connexe.
(ii) Soit {An}une suite dénombrable de sous-espaces connexes de Xtelle que An∩An+1 6=∅
pour tout n. Montrer que ∪nAnest connexe.
Exercice 2.
(i) Montrer que Xest connexe si et seulement si les seules applications continues de Xvers
{0,1}sont les fonctions constantes.
(ii) En déduire de (i) que si une partie Ade Xest connexe alors ¯ Aest connexe.
(iii) Donner une autre preuve de (ii) qui ne repose pas sur la caractérisation (i).
Exercice 3.
(i) Montrer que l’image d’un espace connexe par une fonction continue est connexe.
(ii) Montrer que les connexes de Rsont les intervalles. En déduire que si f:R→Rest
continue et I⊂Rest un intevalle, alors f(I)est un intervalle.
(iii) Montrer que l’image d’un espace connexe par arcs par une fonction continue est connexe
par arcs.
Exercice 4.
(i) Montrer que, pour n≥2,Rnprivé d’un nombre fini de points est connexe par arcs.
(ii) Montrer que pour n≥2la sphère Sn−1dans Rnest connexe. (Astuce: utiliser soit
la projection stéréographique avec 2.(ii) et 3.(i), soit la projection Rn− {0} → Sn−1avec
3.(iii) et 4.(i).)
Exercice 5. (Connexité locale) On dit qu’un espace est localement connexe si tout point admet
un système fondamental de voisinages connexes.
(i) Montrer qu’un espace Xest localement connexe si et seulement si toute composante
connexe d’un ouvert de Xest ouverte dans X.
(ii) Soit Uouvert dans un espace localement connexe, Vune composante connexe de de U.
Montrer que la frontière de Vest contenue dans celle de U.
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Exercice 6. Soit Mn(K), où K=Cou R, les matrices carrées de taille net à coefficients dans
K. On munit Mn(K)de la topologie usuelle (provenant d’une norme quelconque). Considérons
les sous-espaces GLn(C)et Un(C)de Mn(C)et les sous-espaces GLn(R)et On(R)de Mn(R).
(i) Montrer que GLn(R)et On(R)ne sont pas connexes.
(ii) Montrer que GLn(C)est connexe par arcs.
(iii) Montrer que Un(C)est connexe par arcs.
(iv) Lesquels de ces espaces sont compacts?
Exercice 7. Soit
S={(x, sin(1/x)) : 0 < x ≤1} ⊂ R2.
(i) Montrer que Sest connexe.
(ii) Calculer ¯ S. Est-ce que ¯ Sest connexe?
(iii) Montrer que ¯ Sn’est pas connexe par arcs.
Exercice 8.
(i) Un produit d’espaces topologique connexes est-il toujours connexe?
(ii) Un produit d’espaces topologique connexes par arcs est-il toujours connexe par arcs?
(iii) Soit Xun espace topologique et A⊂Xun sous-espace connexe par arcs. Est-ce que
¯
Aest toujours connexe par arcs?
(iv) Montrer qu’un ouvert connexe de Rnest connexe par arcs.
Exercice 9.
(i) Soient Xet Ydeux espaces topologiques, avec Ycompact. Soit Uun ouvert du produit
X×Yqui contient une tranche x0×Y. Montrer que Ucontient un ouvert de la forme
V×Y, où Vest un ouvert de Xcontenant x0.
(ii) Trouver un exemple avec Ynon compact où l’énoncé ci-dessus n’est plus valable.
(iii) Montrer que le produit de deux compacts est compact.
Exercice 10.
(i) Montrer que si Yest compact alors la projection X×Y→Xest une application fermée
(l’image d’un fermé est un fermé).
(ii) Montrer que la projection π1:R×R→Rest une application ouverte, mais pas une
application fermée.
Exercice 11. Montrer qu’une application continue bijective d’un espace compact Kvers un
espace Lest un homéomorphisme. Donner un contre exemple si Kn’est pas compact.
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Exercice 12. Démontrer le lemme de Lebesgue : soit Xmétrique compact, Ui,i∈I, un
recouvrement de X; montrer qu’il existe δ > 0, tel que pour tout x∈Xil existe i∈Itel que
B(x, δ)⊂Ui.
Exercice 13. Soit l’espace R∞des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. On y définit
une topologie comme suit. D’abord on observe que cet ensemble est réunion sur ndes sous-
ensembles des suites nulles à partir du n-ième terme, ce sous-espace est isomorphe à Rnque l’on
munit de sa topologie usuelle, R∞est réunion des Rn. Puis on dit qu’un ensemble est ouvert
dans R∞si et seulement si son intersection avec Rnest ouverte pour tout n.
Soit Kun sous-ensemble compact Kde R∞, montrer qu’il existe ntel que K⊂Rn.
On pourra commencer à montrer que si on a une suite (dans R∞!) (un)telle que un∈
Rn\Rn−1, alors tout sous-ensemble de {un|n∈N}est fermé et ouvert.
Puis on considérera des suites dans Ken raisonnant par l’absurde : on supposera que Kn’est
pas contenu dans Rnpour tout n, et on produira une suite du type ci dessus (quite à réindexer).
On conclura en observant qu’un compact discret est fini.
L’espace R∞est il métrisable?
On refera l’exercice précédent en prenant un espace Xqui est réunion d’une suite croissante
de sous-espaces Xn(Xn⊂Xn+1). Chacun des Xnest un espace topologique séparé et l’inclusion
Xn⊂Xn+1 est un moméméomorphisme sur l’image. Enfin la topologie de Xest définie par la
condition qu’un sous-ensemble est ouvert si son intersection avec chaque Xnl’est.
On montrera que tout compact Kdonné est contenu dans Xndès que nest assez grand.
Exercice 14. Soit f:X→Yune application entre deux espace topologiques, où Yest compact.
Montrer que fest continue si et seulement si le graphe de f
Γf={x×f(x) : x∈X}
est fermé dans X×Y.
Exercice 15. Soient Xet Ydes espaces métriques. On dira que f:X→Yest propre si l’image
inverse de tout compact de Yest compacte. Montrer que cette condition est équivalente à la
suivante: pour tout espace Zl’application f×Id:X×Z→Y×Zest fermée.
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