Université Paris 13 Département de Mathématiques Master 1

Université Paris 13
Département de Mathématiques
Master 1 Topologie, 2012/2013
Feuille n◦ 2
Topologie générale
I. Connexité et compacté
Exercice 1. Soit X un espace topologique.
(i) Soit {Aα } est une famille de sous-espaces connexes de X telle que ∩Aα 6= ∅. Montrer
que ∪Aα est connexe.
(ii) Soit {An } une suite dénombrable de sous-espaces connexes de X telle que An ∩An+1 6= ∅
pour tout n. Montrer que ∪n An est connexe.
Exercice 2.
(i) Montrer que X est connexe si et seulement si les seules applications continues de X vers
{0, 1} sont les fonctions constantes.
(ii) En déduire de (i) que si une partie A de X est connexe alors Ā est connexe.
(iii) Donner une autre preuve de (ii) qui ne repose pas sur la caractérisation (i).
Exercice 3.
(i) Montrer que l’image d’un espace connexe par une fonction continue est connexe.
(ii) Montrer que les connexes de R sont les intervalles. En déduire que si f : R → R est
continue et I ⊂ R est un intevalle, alors f (I) est un intervalle.
(iii) Montrer que l’image d’un espace connexe par arcs par une fonction continue est connexe
par arcs.
Exercice 4.
(i) Montrer que, pour n ≥ 2, Rn privé d’un nombre fini de points est connexe par arcs.
(ii) Montrer que pour n ≥ 2 la sphère Sn−1 dans Rn est connexe. (Astuce: utiliser soit
la projection stéréographique avec 2.(ii) et 3.(i), soit la projection Rn − {0} → Sn−1 avec
3.(iii) et 4.(i).)
Exercice 5. (Connexité locale) On dit qu’un espace est localement connexe si tout point admet
un système fondamental de voisinages connexes.
(i) Montrer qu’un espace X est localement connexe si et seulement si toute composante
connexe d’un ouvert de X est ouverte dans X.
(ii) Soit U ouvert dans un espace localement connexe, V une composante connexe de de U .
Montrer que la frontière de V est contenue dans celle de U .
1
Exercice 6. Soit Mn (K), où K = C ou R, les matrices carrées de taille n et à coefficients dans
K. On munit Mn (K) de la topologie usuelle (provenant d’une norme quelconque). Considérons
les sous-espaces GLn (C) et Un (C) de Mn (C) et les sous-espaces GLn (R) et On (R) de Mn (R).
(i) Montrer que GLn (R) et On (R) ne sont pas connexes.
(ii) Montrer que GLn (C) est connexe par arcs.
(iii) Montrer que Un (C) est connexe par arcs.
(iv) Lesquels de ces espaces sont compacts?
Exercice 7. Soit
S = {(x, sin(1/x)) : 0 < x ≤ 1} ⊂ R2 .
(i) Montrer que S est connexe.
(ii) Calculer S̄. Est-ce que S̄ est connexe?
(iii) Montrer que S̄ n’est pas connexe par arcs.
Exercice 8.
(i) Un produit d’espaces topologique connexes est-il toujours connexe?
(ii) Un produit d’espaces topologique connexes par arcs est-il toujours connexe par arcs?
(iii) Soit X un espace topologique et A ⊂ X un sous-espace connexe par arcs. Est-ce que
Ā est toujours connexe par arcs?
(iv) Montrer qu’un ouvert connexe de Rn est connexe par arcs.
Exercice 9.
(i) Soient X et Y deux espaces topologiques, avec Y compact. Soit U un ouvert du produit
X × Y qui contient une tranche x0 × Y . Montrer que U contient un ouvert de la forme
V × Y , où V est un ouvert de X contenant x0 .
(ii) Trouver un exemple avec Y non compact où l’énoncé ci-dessus n’est plus valable.
(iii) Montrer que le produit de deux compacts est compact.
Exercice 10.
(i) Montrer que si Y est compact alors la projection X × Y → X est une application fermée
(l’image d’un fermé est un fermé).
(ii) Montrer que la projection π1 : R × R → R est une application ouverte, mais pas une
application fermée.
Exercice 11. Montrer qu’une application continue bijective d’un espace compact K vers un
espace L est un homéomorphisme. Donner un contre exemple si K n’est pas compact.
2
Exercice 12. Démontrer le lemme de Lebesgue : soit X métrique compact, Ui , i ∈ I, un
recouvrement de X; montrer qu’il existe δ > 0, tel que pour tout x ∈ X il existe i ∈ I tel que
B(x, δ) ⊂ Ui .
Exercice 13. Soit l’espace R∞ des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. On y définit
une topologie comme suit. D’abord on observe que cet ensemble est réunion sur n des sousensembles des suites nulles à partir du n-ième terme, ce sous-espace est isomorphe à Rn que l’on
munit de sa topologie usuelle, R∞ est réunion des Rn . Puis on dit qu’un ensemble est ouvert
dans R∞ si et seulement si son intersection avec Rn est ouverte pour tout n.
Soit K un sous-ensemble compact K de R∞ , montrer qu’il existe n tel que K ⊂ Rn .
On pourra commencer à montrer que si on a une suite (dans R∞ !) (un ) telle que un ∈
Rn \ Rn−1 , alors tout sous-ensemble de {un |n ∈ N} est fermé et ouvert.
Puis on considérera des suites dans Ken raisonnant par l’absurde : on supposera que K n’est
pas contenu dans Rn pour tout n, et on produira une suite du type ci dessus (quite à réindexer).
On conclura en observant qu’un compact discret est fini.
L’espace R∞ est il métrisable?
On refera l’exercice précédent en prenant un espace X qui est réunion d’une suite croissante
de sous-espaces Xn (Xn ⊂ Xn+1 ). Chacun des Xn est un espace topologique séparé et l’inclusion
Xn ⊂ Xn+1 est un moméméomorphisme sur l’image. Enfin la topologie de X est définie par la
condition qu’un sous-ensemble est ouvert si son intersection avec chaque Xn l’est.
On montrera que tout compact K donné est contenu dans Xn dès que n est assez grand.
Exercice 14. Soit f : X → Y une application entre deux espace topologiques, où Y est compact.
Montrer que f est continue si et seulement si le graphe de f
Γf = {x × f (x) : x ∈ X}
est fermé dans X × Y .
Exercice 15. Soient X et Y des espaces métriques. On dira que f : X → Y est propre si l’image
inverse de tout compact de Y est compacte. Montrer que cette condition est équivalente à la
suivante: pour tout espace Z l’application f × Id : X × Z → Y × Z est fermée.
3