I. Notions de base : II. Loi de probabilité

I. Notions de base :
A. Premières définitions :
Définition :
On peut dire qu’une expérience est aléatoire lorsqu’on ne peut prédire la valeur de sortie.
Chaque possibilité de sortie de l’expérience s’appelle un événement élémentaire.
L’ensemble des valeurs de sorties de l’expérience aléatoire s’appelle l’univers des issues ; on le note Ω.
Toute partie de l’univers Ω s’appelle un événement.
B. Lien entre langage ensembliste et probabiliste :
Langage Ensembliste
Langage Probabiliste
N otation
x est un élément de Ω
x est un évément élémentaire
x∈Ω
A est une partie de Ω
A est un événement
A⊂Ω
C est la réunion de A et de B
C est l’événement (A ou B)
C = A∪B
C est l’intersection de A et de B
C est l’événement (A et C)
C = A∩B
B est la partie complémentaire de A dans Ω B est l’événement contraire de A
B =A
Les événements A et B sont incompatibles A∩B = ∅
A et B sont disjoints
II. Loi de probabilité :
A. Définition et propriétés :
Définition :
Soit Ω un espace probabilisé de cardinal fini.
On appelle loi de probabilité sur Ω toute fonction P telle que :
( )
[
]
P : P Ω 7−→ 0 ; 1
vérifiant
( )les propriétés suivantes :
P ∅ =0
( )
P Ω =1
∑ (
)
P {ω} = 1
w∈Ω
Soit A un événement
∑ ( de) Ω, on a :
P(A) =
P {ω} = 1
w∈A
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B. Equiprobabilité :
Définition :
(
)
On dit qu’un espace probabilisé Ω ; P représente une situation d’équiprobabilité si tous les événements
élémentaires on les mêmes probabilités.
Propriété :
On a pour conséquence :
( )
( )
( )
P w1 = P w2 = · · · = P wn =
1
card Ω
Soit A un événement de Ω :
( ) card A
P A =
card Ω
C. Calcul avec les probabilités :
Propriété :
(
)
Soit Ω ; P un espace probabilisé.
Soit
(
)
( ) A et
( B) deux événements de Ω, on a :
Si A∩B = ∅, alors P A∪B = P A +P B
Cette propriété se traduit par :
Si A et B sont deux événement incompatible, la propbabilié de l’événement (A ou B) est la somme des
probabilités de A et de B.
Pour( tout
) événement
( ) A, on a( : )
( )
P A =1−P A ; P A =1−P A
Quels
( que soient
)
(les)événements
( ) A( et B, )on a :
P A∪B = P A + P B − P A∩B
Cette
( ) dernière
( ) formule se comprend car lorsqu’on observe la somme :
P A +P B
on a compté deux fois la parties A ∪ B :
Définition :
Dans le cas où Ω est une partie de R, on définit :
On appelle
de la variable aléatoire X , la valeur :
∑ l’espérance
( )
µ=
ω·P ω .
ω∈Ω
On appelle
de la variable aléatoire X , la valeur définie par :
∑ (la variance
)2
( )
2
ω−µ ·P ω
(notée σ 2 ).
σ =
ω∈Ω
On (appelle
l’écart-type de la variable aléatoire X , la valeur définie par :
) √
σ X = σ2
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III. Variables aléatoires numérique :
A. Introduction :
(
)
Dans un espace probabilisé Ω ; P de cardinal fini, on associe à chaque événement élémentaire une valeur ;
on peut facilement illustrer cela par le gain obtenu par chaque face d’un dé lors d’un jeu.
Cette association s’appelle une variable aléatoire ; on a le schéma ci-dessous :
Variable
Aléatoire
Evénements
Elémentaires
Ω
Loi de
Probabilité
p0
x0
w0
x1
p1
w1
p3
x3
w5
w3
x2
p5
w2
p2
w4
p4
X (ωi )∈R
P(ωi )∈ 0; 1
( ( )
)
La variable aléatoire X définie un nouvel espace probabilisé X Ω ; P ′ où la loi P ′ est définie par :
([
( )
( )
])
∀x ∈ X Ω , P ′ x = P X = x
[
]
où l’ensemble X =x est l’ensemble des événements élémentaires de Ω dont l’image par X vaut x :
( )
}
[
] {
X =x = ω ∈Ω X ω =x
B. Définitions :
Définition :
On appelle variable aléatoire toute fonction numérique notée X définie sur Ω :
X : Ω −→ R
On appelle∑
l’espérance de la variable aléatoire X , la valeur :
( ) ( )
E(X ) =
X ω ·P ω (notée µ).
ω∈Ω
On appelle la variance
de la variable
aléatoire X , la valeur définie par :
∑[ ( )
( )]2
( )
V (X ) =
X ω −E X
· P ω (notée σ 2 ).
ω∈Ω
On appelle
√ l’écart-type de la variable aléatoire X , la valeur définie par :
σ = V (X )
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