I. Notions de base : II. Loi de probabilité

I. Notions de base :
A. Premières définitions :
Définition :
On peut dire qu’une expérience est aléatoire lorsqu’on ne peut prédire la valeur de sortie.
Chaque possibilité de sortie de l’expérience s’appelle un événement élémentaire.
L’ensemble des valeurs de sorties de l’expérience aléatoire s’appelle l’univers des issues ; on le note Ω.
Toute partie de l’univers Ωs’appelle un événement.
B. Lien entre langage ensembliste et probabiliste :
Langage Ensembliste Langage Probabiliste Notation
xest un élément de Ωxest un évément élémentaire x∈Ω
Aest une partie de ΩAest un événement A⊂Ω
Cest la réunion de Aet de B C est l’événement (Aou B)C=A∪B
Cest l’intersection de Aet de BC est l’événement (Aet C)C=A∩B
Best la partie complémentaire de Adans ΩBest l’événement contraire de A B =A
Aet Bsont disjoints Les événements Aet Bsont incompatibles A∩B=∅
II. Loi de probabilité :
A. Définition et propriétés :
Définition :
Soit Ωun espace probabilisé de cardinal fini.
On appelle loi de probabilité sur Ωtoute fonction Ptelle que :
P:PΩ7−→ 0 ; 1
vérifiant les propriétés suivantes :
P∅= 0
PΩ= 1
w∈Ω
P{ω}= 1
Soit Aun événement de Ω, on a :
P(A) = 
w∈A
P{ω}= 1
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B. Equiprobabilité :
Définition :
On dit qu’un espace probabilisé Ω ; Preprésente une situation d’équiprobabilité si tous les événements
élémentaires on les mêmes probabilités.
Propriété :
On a pour conséquence :
Pw1=Pw2=· · · =Pwn=1
card Ω
Soit Aun événement de Ω:
PA=card A
card Ω
C. Calcul avec les probabilités :
Propriété :
Soit Ω ; Pun espace probabilisé. Soit Aet Bdeux événements de Ω,ona:
Si A∩B=∅, alors PA∪B=PA+PB
Cette propriété se traduit par :
Si Aet Bsont deux événement incompatible, la propbabilié de l’événement (Aou B)est la somme des
probabilités de Aet de B.
Pour tout événement A, on a :
PA= 1 − PA;PA= 1 − PA
Quels que soient les événements Aet B, on a :
PA∪B=PA+PB− PA∩B
Cette dernière formule se comprend car lorsqu’on observe la somme :
PA+PB
on a compté deux fois la parties A∪B:
Définition :
Dans le cas où Ωest une partie de R, on définit :
On appelle l’espérance de la variable aléatoire X, la valeur :
µ=
ω∈Ω
ω·Pω.
On appelle la variance de la variable aléatoire X, la valeur définie par :
σ2=
ω∈Ωω−µ2· Pω(notée σ2).
On appelle l’écart-type de la variable aléatoire X, la valeur définie par :
σX=σ2
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III. Variables aléatoires numérique :
A. Introduction :
Dans un espace probabilisé Ω ; Pde cardinal fini, on associe à chaque événement élémentaire une valeur ;
on peut facilement illustrer cela par le gain obtenu par chaque face d’un dé lors d’un jeu.
Cette association s’appelle une variable aléatoire ; on a le schéma ci-dessous :
Ω
w0
p0
x0
w1p1
x1
w2p2
x2
w3
p3
x3
w4p4
w5p5
P(ωi)∈0; 1
Loi de
Probabilit´e
X(ωi)∈R
Variable
Al´eatoire
Ev´enements
El´ementaires
La variable aléatoire Xdéfinie un nouvel espace probabilisé XΩ;P′où la loi P′est définie par :
∀x∈X Ω,P′x=PX=x
où l’ensemble X=xest l’ensemble des événements élémentaires de Ωdont l’image par Xvaut x:
X=x=ω∈Ω
Xω=x
B. Définitions :
Définition :
On appelle variable aléatoire toute fonction numérique notée Xdéfinie sur Ω:
X: Ω −→ R
On appelle l’espérance de la variable aléatoire X, la valeur :
E(X) = 
ω∈Ω
Xω·Pω(notée µ).
On appelle la variance de la variable aléatoire X, la valeur définie par :
V(X) = 
ω∈Ω
Xω−EX2
· Pω(notée σ2).
On appelle l’écart-type de la variable aléatoire X, la valeur définie par :
σ=V(X)
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