I. Notions de base :
A. Premières définitions :
Définition :
On peut dire qu’une expérience est aléatoire lorsqu’on ne peut prédire la valeur de sortie.
Chaque possibilité de sortie de l’expérience s’appelle un événement élémentaire.
L’ensemble des valeurs de sorties de l’expérience aléatoire s’appelle l’univers des issues ; on le note .
Toute partie de l’univers s’appelle un événement.
B. Lien entre langage ensembliste et probabiliste :
Langage Ensembliste Langage Probabiliste Notation
xest un élément de xest un évément élémentaire x
Aest une partie de Aest un événement A
Cest la réunion de Aet de B C est l’événement (Aou B)C=AB
Cest l’intersection de Aet de BC est l’événement (Aet C)C=AB
Best la partie complémentaire de Adans Best l’événement contraire de A B =A
Aet Bsont disjoints Les événements Aet Bsont incompatibles AB=
II. Loi de probabilité :
A. Définition et propriétés :
Définition :
Soit un espace probabilisé de cardinal fini.
On appelle loi de probabilité sur toute fonction Ptelle que :
P:P7−0 ; 1
vérifiant les propriétés suivantes :
P= 0
P= 1
w
P{ω}= 1
Soit Aun événement de , on a :
P(A) =
wA
P{ω}= 1
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B. Equiprobabilité :
Définition :
On dit qu’un espace probabilisé Ω ; Preprésente une situation d’équiprobabilité si tous les événements
élémentaires on les mêmes probabilités.
Propriété :
On a pour conséquence :
Pw1=Pw2=· · · =Pwn=1
card
Soit Aun événement de :
PA=card A
card
C. Calcul avec les probabilités :
Propriété :
Soit Ω ; Pun espace probabilisé. Soit Aet Bdeux événements de ,ona:
Si AB=, alors PAB=PA+PB
Cette propriété se traduit par :
Si Aet Bsont deux événement incompatible, la propbabilié de l’événement (Aou B)est la somme des
probabilités de Aet de B.
Pour tout événement A, on a :
PA= 1 − PA;PA= 1 − PA
Quels que soient les événements Aet B, on a :
PAB=PA+PB− PAB
Cette dernière formule se comprend car lorsqu’on observe la somme :
PA+PB
on a compté deux fois la parties AB:
Définition :
Dans le cas où est une partie de R, on définit :
On appelle l’espérance de la variable aléatoire X, la valeur :
µ=
ω
ω·Pω.
On appelle la variance de la variable aléatoire X, la valeur définie par :
σ2=
ωωµ2· Pω(notée σ2).
On appelle l’écart-type de la variable aléatoire X, la valeur définie par :
σX=σ2
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III. Variables aléatoires numérique :
A. Introduction :
Dans un espace probabilisé Ω ; Pde cardinal fini, on associe à chaque événement élémentaire une valeur ;
on peut facilement illustrer cela par le gain obtenu par chaque face d’un dé lors d’un jeu.
Cette association s’appelle une variable aléatoire ; on a le schéma ci-dessous :
w0
p0
x0
w1p1
x1
w2p2
x2
w3
p3
x3
w4p4
w5p5
P(ωi)0; 1
Loi de
Probabilit´e
X(ωi)R
Variable
Al´eatoire
Ev´enements
El´ementaires
La variable aléatoire Xdéfinie un nouvel espace probabilisé X;Poù la loi Pest définie par :
xX ,Px=PX=x
où l’ensemble X=xest l’ensemble des événements élémentaires de dont l’image par Xvaut x:
X=x=ω
Xω=x
B. Définitions :
Définition :
On appelle variable aléatoire toute fonction numérique notée Xdéfinie sur :
X: Ω R
On appelle l’espérance de la variable aléatoire X, la valeur :
E(X) =
ω
Xω·Pω(notée µ).
On appelle la variance de la variable aléatoire X, la valeur définie par :
V(X) =
ω
XωEX2
· Pω(notée σ2).
On appelle l’écart-type de la variable aléatoire X, la valeur définie par :
σ=V(X)
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