MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013

MAT3632 : théorie des nombres, automne 2013
Exercices, III (Congruences 2, fonctions multiplicatives)
Problème 1. Pour quels entiers positifs nl’expression 3n+ 1 est-elle un multiple de 10 ?
Problème 2. Résolvez les suivants systèmes de congruences :
(a)
x≡4 (mod 7)
3x≡2 (mod 11)
7x≡1 (mod 13).
(b)
{x≡2 (mod 28)
3x≡8 (mod 10).
(c)
{2x≡4 (mod 10)
3x≡8 (mod 7).
Problème 3. Soit f(x)un polynôme dont les coefficients sont nombres entiers.
(a) Prouvez que si x≡y(mod n), alors f(x)≡f(y) (mod n).
(b) Soit ρf(n)=#{1≤x≤n:f(x)≡0 (mod n)}. Prouvez que ρfest une fonction
multiplicative.
(c) Calculez ρfquand f(x) = 2x+ 1.
Problème 4. Soient a∈Net pun nombre premier.
(a) Si (a, p) = 1, montrez que soit ap−1
2≡1 (mod p)soit ap−1 2≡ −1 (mod p).
(b) Montrez que ap≡a(mod p).
(c) Montrez que n5
5+n3 3+7n 15 est un nombre entier pour chaque n∈N.
Problème 5.
(a) Montrez que si nest impair, alors n2≡1 (mod 8).
(b) Est-ce qu’il y a de solutions à l’équation pα+ 1 = 2β, où pest premier et α, β ≥2?
[Indication : Montrez que αdoit être impair et factorisez pα+ 1.]
Problème 6. Montrez que pour tout entier positif n, le nombre 1n+ 2n+ 3n+ 4n+ 5n+ 6n
est divisible par 7 si et seulement si nn’est pas un multiple de 6.
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