Feuille de TD 1

Univers des Nombres
Feuille d’exercice 1
Universit´e Blaise Pascal - D´epartement de Math´ematiques
Ann´ee 2009 - 2010
1 Sommes
1. Montrer que pour tout n∈N, on a
n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2,
n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6,
n
X
k=1
k3=n(n+ 1)
22
2. Montrer que le cube d’un entier peut toujours s’´ecrire comme diff´erence de deux carr´es d’entiers.
2 Calculs
1. Montrer que 1259 et 4001 sont des nombres premiers.
2. D´ecomposer 6733683 en facteurs premiers.
3. Calculer le pgcd de 854 et 37.
4. Trouver un couple d’entiers (u0, v0)∈Z2tels que 854u0+ 37v0= 1
5. Trouver tous les couples d’entiers (u, v)∈Z2tels que 854u+ 37v= 1
3 Congruences
Soit d∈N\ {0}un entier strictement positif. Pour a1, a2∈Zdes entiers relatifs. On dit que a1et a2
sont congrus modulo dsi la diff´erence a1−a2est un multiple de d. On ´ecrit alors
a1≡a2mod d
1. Soient a, b, c ∈Zdes entiers relatifs. Montrer que
(a) On a a≡amod d
(b) Si a≡bmod dalors b≡amod d
(c) si a≡bmod det b≡cmod d, alors a≡cmod d
2. Soit a∈Zun entier relatif. Montrer que ddivise a, si est seulement a≡0 mod d.
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3. Soient a1, a2, b1, b2∈Zdes entiers relatifs. On suppose que a1≡b1mod det a2≡b2mod d.
(a) Montrer que
a1+a2≡b1+b2mod det a1a2≡b1b2mod d
(b) Montrer que pour tout n≥0
an
1≡bn 1mod d
4. Soit a∈Zun entier relatif. Montrer qu’il existe un unique entier 0 ≤r < d tel que a≡rmod d.
5. Soit a∈Zun entier relatif, montrer que aest premier avec dsi et seulement si il existe a0∈Ztel que
a a0≡1 mod d.
Ces propri´et´es font de la congruence une notion tr`es pratique pour ´etudier les probl`emes de divisibilit´e.
On cr´edite Gauss (1777 - 1855) pour l’invention de cette formulation (cf. Disquisitiones arithmeticae). On
n’h´esitera pas `a s’en servir par la suite.
4 Crit`ere de divisibilit´e par 9
Cet exercice fait appel aux r´esultats de l’exercice 3.
1. Soit n∈N\{0}un entier strictement positif. On note sla somme des chiffres de son ´ecriture (en base
10). Montrer que n≡smod 9.
2. En d´eduire un moyen simple de calculer le reste d’un entier dans la division euclidienne par 9. Retrouver
le crit`ere connu de divisibilit´e par 9.
5 Divisibilit´e, etc
1. Quelque soit l’entier n≥1, montrer que l’entier n4+ 2n3+ 2n2+ 2n+ 1 n’est pas le carr´e d’un entier.
2. Est-il vrai que l’entier n2+ 1 n’est divisible par 3 pour aucun entier n?
3. D´emontrer que si pet 8p−1 sont premiers alors 8p+ 1 n’est pas premier.
4. Soit a, b des entiers dont l’un au moins est non nul. Soit mun entier. Montrer que
gcd(a, b +am) = gcd(a, b).
5. Montrer que le produit de quatre entiers cons´ecutifs est toujours divisible par 24.
6. Par combien de 0 se termine l’´ecriture du nombre 1000! ?
6 Tiroirs
Cet exercice fait appel aux r´esultats de l’exercice 3.
1. Montrer que dans tout ensemble de 51 entiers, on peut trouver deux entiers dont la diff´erence est
divisible par 50.
2. Soit n∈N\{0}un entier strictement positif, et a∈Zun entier. On suppose que net asont premiers
entre eux. Montrer qu’il existe un entier 0 < k ≤n−1 tel que
ak≡1 mod n
L’exercice suivant am´eliore le r´esultat de la question 2 dans le cas o`u nest un nombre premier.
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7 Coefficients binomiaux et petit th´eor`eme de Fermat
Soit pun nombre premier.
1. montrer que pour 1 ≤k≤p−1 on a
p|p
k
2. Soit pun nombre premier que l’on fixe dans la suite.
(a) Montrer par r´ecurrence que pour tout a≥0, pdivise ap−a.
(b) Montrer de plus que si an’est pas multiple de p, alors pdivise mˆeme ap−1−1 (c’est le petit
th´eor`eme de Fermat). On suppose dans la suite que areste fix´e et n’est pas multiple de p
(c) Soit k0le plus petit entier strictement positif tel que pdivise ak0−1. Montrer que k0divise p−1
(on pourra utiliser les r´esultats de l’exercice 3).
(d) Soit kun entier tel que pdivise ak−1. Montrer que k0divise k.
8 Nombres de Mersenne
Soient a, n ∈N\ {0}des entiers strictement positifs. On suppose que an−1 est un nombre premier.
1. Montrer que pour tout x∈Rr´eel, on a
xn−1=(x−1)
n−1
X
k=0
xk
2. Montrer que a= 2.
3. Montrer que nest premier.
4. Pour ppremier, on pose Mp= 2p−1 (on dit que Mpest un nombre de Mersenne). V´erifier que M2, M3
et M7sont premiers, mais pas M11 .
Le plus grand nombre premier connu `a ce jour est M42 643 801 = 242 643 801 −1. Il y a de l’argent `a se faire
pour ceux qui pourront trouver plus grand ! Voir http ://www.mersenne.org/
9 Minoration de π(x)
1. Utiliser la d´emonstration d’Euclide de l’infinitude du nombre de nombres premiers pour montrer que
pour tout r≥1, le renombre premier prv´erifie
pr≤22r−1.
2. Soit x≥3, montrer qu’il existe un entier rtel que
eer−1< x ≤eer .
3. D´eduire des questions pr´ec´edentes que π(x)≥log log(x) pour tout x≥3.
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10 (*) Le Postulat de Bertrand
Le postulat de Bertrand est aussi connu sous le nom de conjecture de Bertrand (mais ce n’en est plus une
depuis 1850). Il stipule que pour n≥1, il existe toujours un nombre premier entre net 2n(nexclu). Nous
proposons ici une d´emonstration due `a Paul Erd¨os datant de 1932.
On note Pl’ensemble des nombres premiers. Pour deux r´eels a≤b, on note Pb
a=P∩]a, b], l’ensemble
des nombres premiers contenus entre aet b(aexclu), et Pb=Pb
1. Le but de cet exercice est de montrer que
pour tout n∈N∗, l’ensemble P2n
nest non vide.
1. En consid´erant la suite de nombres premiers 2, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 83, 163, 317, 631, 1259, 2503, 4001,
v´erifier que le postulat est vrai pour n < 4000.
2. Soit m∈N∗Montrer que
Y
p∈P2m+1
m+1
p≤m+ 1
2m+ 1≤4m
3. En d´eduire que pour x∈Ravec x≥2, on a
Y
p∈Px
p≤4x−1
4. Soit n∈N∗. Montrer que la valuation p-adique de n! (l’exposant de pdans la d´ecomposition de n! en
facteur premiers) vaut
νp(n!) = X
k∈N∗n
pk
o`u bacd´esigne la partie enti`ere (inf´erieure) de a.
En d´eduire que la valuation p-adique de n
2nv´erifie νp(n 2n)≤max{r, pr≤2n}.
5. En d´eduire que la plus grande puissance de pqui divise n
2nest inf´erieure ou ´egale `a 2n. Montrer que
si p > √2n, alors il apparaˆıt au plus une fois dans la d´ecomposition de n
2n.
6. Si 2n
3< p ≤n, montrer que pn’apparaˆıt pas dans la d´ecomposition de n 2n.
7. Soit n∈N∗. On suppose que P2n
nest vide. Montrer que
4n
2n≤n 2n≤(2n)√2n42n
3
8. Conclure.
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