Mélange à 4 ondes

Mélange à 4 ondes
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1
• 
eˆ n
∂An ( z)
ω n pnl (ω n )
=i
expiΔk n z
∂z
2n(ω n ) c ε0
Pnl = ε0 χ (2 ) ⋅ E ⋅ E + ε0 χ ( 3) ⋅ E ⋅ E ⋅ E + ...
€
[
]
{[
] }
= ε0 χ (2 ) ⋅ E ⋅ E + ε0 χ ( 3) ⋅ E ⋅ E ⋅ E + ...
La polarisation non linéaire d’ordre 3 est le premier terme non
€linéaire dans les milieux centro-symétriques
Pi ( ) = ε0 χ ijkl ( ) E j E k El
3
3
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2
Potentiel anharmonique symétrique
1
1
U = mω02 x 2 + m b x 4
2
4
⇒
F = −mω02 x − m b x 3
Élongation définie par l’équation différentielle :
€
€
x˙˙ + 2Γx˙ + ω02 x + bx 3 = −
e
E (t )
m
Résolution approchée avec:
€
€
E (t ) = E1 exp− iω1t + E 2 exp− iω2t + E 3 exp− iω 3t + cc
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3
• 
x˙˙(1) + 2Γx˙ (1) + ω02 x (1) = −
e
E (t )
m
2
e Ei
N
e
1
1
x (ωi ) = −
⇒ χ ( ) (ωi ) =
m D(ωi )
ε0 m D(ωi )
(1)
€
• 
x˙˙( 2 ) + 2Γx˙ ( 2 ) + ω 2 x ( 2 ) = 0
€
0
• 
x (2 ) (ωi ) = 0 ⇒ χ (2 ) (ωi ) = 0
2
( 3)
(1) 3
x˙˙ + 2Γx˙ €+ ω x = −bx (t )
0
( 3)
€
€
( 3)
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4
3
[ x (t )] = ∑ x
(1)
(1) 3
(ωi ) expi3ωi t + cc
i
+ ∑ 3x
(1) 2
(ωi ) x (1) (ω j ) expi(2ωi + ω j )t + cc
i, j≠i
+ ∑ 3x
(1) 2
(ωi ) x
(1)*
(ω j ) expi(2ωi − ω j )t + cc
i, j≠i
2
(1)
+ ∑ 3 x (ωi ) x (1) (ω j ) expiω j t + cc
i, j≠i
+6x (1) (ω1 ) x (1) (ω2 ) x (1) (ω 3 ) expi(ω1 + ω2 + ω 3 )t + cc
+
∑6x
(1)
(1)
(1)*
(ωi ) x (ω j ) x (ω k ) expi(ωi + ω j − ω k )t + c
i, j≠i,k≠i, j
€
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5
Le triplement de fréquence
P ( 3ω1 ) = ε0 χ ( 3)E13
P ( 3ω2 ) = ε0 χ ( 3)E23
P ( 3ω 3 ) = ε0 χ ( 3)E 33
Condition d’accord de phase
Δk = 3k (ωi ) − k ( 3ωi )
€
€
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6
( 3)
( 3)
P (ω1 + ω2 + ω 3 ) = 6ε0 χ eff
E1 E2 E 3 P (ω1 + ω2 − ω 3 ) = 6ε0 χ eff
E1 E2 E*3
( 3)
( 3) *
P (ω1 − ω2 + ω 3 ) = 6ε0 χ eff
E1 E*2E 3 P (−ω1 + ω2 + ω 3 ) = 6ε0 χ eff
E1E2 E 3
€
€
( 3) 2
P (2ω1 + ω2 ) = 3ε0 χ eff
E1 E2
( 3) 2
P (2ω1 + ω 3 ) = 3ε0 χ eff
E1 E 3
( 3) 2
P (2ω2 + ω1 ) = 3ε0 χ eff
E2E1
( 3) 2
P (2ω2 + ω 3 ) = 3ε0 χ eff
E2E 3
( 3) 2
P (2ω 3 + ω1 ) = 3ε0 χ eff
E 3E1
( 3) 2
P (2ω 3 + ω2 ) = 3ε0 χ eff
E 3E2
( 3) 2 *
P (2ω1 − ω2 ) = 3ε0 χ eff
E1 E2
( 3) 2 *
P (2ω1 − ω 3 ) = 3ε0 χ eff
E1 E 3
( 3) 2 *
P (2ω2 − ω1 ) = 3ε0 χ eff
E2E1
( 3) 2 *
P (2ω2 − ω 3 ) = 3ε0 χ eff
E2E 3
( 3) 2 *
P (2ω 3 − ω1 ) = 3ε0 χ eff
E 3E1
( 3) 2 3
P (2ω 3 − ω2 ) = 3ε0 χ eff
E 3E2
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•  Effet Kerr optique
*
*
*
( 3)
P (ω1 ) = ε0 χ eff
E
E
+
E
E
+
E
E
( 1 1 2 2 3 3 ) E1
( 3)
P (ω2 ) = ε0 χ eff
(E1 E1* + E2 E*2 + E3 E*3 ) E2
*
*
*
( 3)
P (ω 3 ) = ε0 χ eff
E
E
+
E
E
+
E
E
( 1 1 2 2 3 3 ) E3
I = 2n(ω) c ε0 A.A*
€
La condition d’accord de phase est toujours vérifiée
€
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Applications
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9
P (ω1 ) = ε0 χ eff (E1 E
( 3)
avec
€
*
1
)
1
( 3)
E1 =
χ eff
I1 A1 expik1r
2n(ω1 )c
I = 2n(ω1 ) c ε0 A.A*
⎛
⎞
1
(1)
( 3)
⇒ D(ω1 ) = ε0 ⎜1+ χ +
χ eff I1 ⎟ E (ω1 )
2n(ω1 )c
⎝
⎠
€
⎛ 2
⎞
1
( 3)
n = ⎜ n0 +
χ eff I1 ⎟
2n0 (ω1 )c
⎝
⎠
2
€
€
1
n2 = 2
χ ( 3)
4n0 (ω1 )c
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10
x
Différence de chemin optique
par traversée en O et O’
I(x)
0’
F
⎛ 1 ⎞
= n2 IO ⎜1− ⎟ L ≈ 0,5n2 IO L
⎝ 2 ⎠
0
n = n0 + n2 I1
L
Définition du foyer :
n0 (FO'−FO) ≈ Δ
€ 2
ω
ω0
2
FO'−FO = FO +
− F0 ≈
4
8FO
€
2
0
€
€
Δ ≈ n2 ( IO − IO' ) L
n0 ω02
FO ≈
4.n2 I0 L
€
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11
Divergence par diffraction :
θ diff ≈
Convergence par l’autofocalisation :
=
•  Compensation :
€
λ
π n0 ω0
ω0
n2 I0
θ nl ≈
≈2
FO
n0
θ diff ≈ θ nl
€
création d’un filament lumineux (soliton)
•  De waist €
•  De puissance
λ
1
ω0 ≈
2π n0 n2 I0
2
⎛
⎞
λ
1
2
Pfil ≈ I0ω0 ≈ ⎜ ⎟
⎝ 2π ⎠ n0 n2
€
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12
P (ω1 ) = ε0 χ ( 3) (E2E*2 )E1 =
avec
1
χ ( 3) I2 A1 expik1r
4n(ω2 )c
I = 2n(ω) c ε0 A.A*
€
Modification de la propagation d’une onde par une autre
€
Exemple :
Ondes à différentes fréquences dans un réseau fibré WDM
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14
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• 
Faisceau optique :
 


E1 (r ,t ) = Re{φ (r ) expik1 ⋅ r exp− iωt}
: Information transportée, diffraction , distorsions
• 
€ : Vecteur d’onde ( direction de propagation)
Faisceau optique conjugué :
 *


E (r ,t ) = Re (φ (r ) expik1 ⋅ r ) exp− iωt
 

= Re{φ (r ) expik1 ⋅ r exp+ iωt}
c
1
{
}
: Information transportée, diffraction , distorsions
: Vecteur d’onde ( direction de propagation)
€
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16
Si
 


E1 (r ,t ) = Re{φ (r ) expik1 ⋅ r exp− iωt}
est solution de l’équation de propagation :
€
ΔT φ1 − 2ik1
∂φ1
2
+ [ω 2ε(r )η0 − k1 ]φ1 = 0
∂z
Alors, la solution de l’équation conjuguée :
€
*
∂
φ
2
ΔT φ1* + 2ik1 1 + [ω 2ε(r )η0 − k1 ]φ1* = 0
∂z
 

* 
est l’onde : E2 (r ,t ) = Re{φ1 (r ) exp− ik1 ⋅ r exp− iωt }
 *

€
= Re (φ1 (r ) expik1 ⋅ r ) exp− iωt
{
€
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}
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Milieu aberrant
Conjugateur
de phase
Onde plane
Onde distordue
Onde plane conjuguée
Onde distordue conjuguée
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Soit la polarisation non linéaire :
Pi (ω2 + ω 3 − ω 4 ) = 6 χ ijkl (ω2 + ω 3 − ω 4 ;ω2 ,ω 3 ,−ω 4 ) E j (ω2 ) E k (ω 3 ) El* (ω 4 )
Il s’agit de mélange à 4 ondes
€
ω1 = ω2 + ω 3 − ω 4
Δk = (k2 + k 3 − k 4 ) − k1
Si toutes les fréquences sont égales,
ω1 = ω1 + ω1 − ω1
€
€
Δk = (k2 + k 3 − k 4 ) − k1
on parle de mélange dégénéré
€
(D.F.W.M.)
€
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Dans le cas du mélange à 4 ondes dégénéré :
Pi (ω) = 6 χ ijkl (ω ;ω,ω,−ω) E1 j (ω) E2k (ω) E 3l* (ω)
si les ondes 1 et 2 sont contre-propageantes :
k2 = −k1
€
Alors :
Δk = (k1 + k2 − k 3 ) − k 4 = −(k 3 + k 4 )
€
€
Accord de phase pour k 4 = −k 3
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Z=L
Z=0
z
E (r,t ) = E1 expik1r + E2 expik2 r + E 3 expik 3r + E 4 expik 4 r + cc
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•  Termes nécessitant une condition
d’accord de phase
–  Termes à
–  Termes à
de la forme
( 3) 2 *
P (ω) = ε0 χ eff
Ei E j
( 3)
P (ω) = 2ε0 χ eff
E1 E*2E k
•  Accord de phase automatiquement réalisé
P (ω) = 2ε0 χ (eff3)E€1 E2E*3 exp− i(ωt − k 3r )
€
Terme source pour l’onde conjuguée
€
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• 
2
⎡ 2
⎤
∂An ( z) n 2 (ω n ) ω n
∀n : ⎢−k n An ( z) + 2ik n
+
An ( z)⎥ expik n z
2
∂z
c
⎣
⎦
ωn2
( p)
= − 2 ∑ χ eff
A1 ( z)...A p ( z) expiΚz
c 1,p
€
∂An ( z)
ωn2
( p)
2ik n
expik n z = − 2 ∑ χ eff
A1 ( z)...A p ( z) expiΚz
∂z
c 1,p
=−
€
ωn
( p)
c k n ∑ χ eff
A1 ( z)...A p ( z) expiΚz
n(ω)
1,p
∂An ( z) k n,z ω n
pnl (ω n )
=i
expiΔk n z
∂z
k n,z 2n(ω n ) c ε0
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∂An ( z) k n,z ω n
pnl (ω n )
=i
expiΔk n z
∂z
k n,z 2n(ω n ) c ε0
• 
⎧∂A1 ( z)
ω
(3)
*
=
i
2
χ
A
z
A
z
A
(
)
(
)
eff 3
4
2 ( z)
⎪⎪ ∂z
2n c
ondes pompes ⎨
⎪∂A2 ( z) = −i ω 2 χ (3) A ( z) A ( z) A* ( z)
eff 3
4
1
⎪⎩ ∂z
2n c
€
z
€
⎧∂A3 ( z)
ω
( 3)
onde signal ⎨
=i
2 χ eff
A1 ( z) A2 ( z) A4* ( z)
2n c
⎩ ∂z
onde conjuguée
€
⎧∂A4 ( z)
ω
( 3)
= −i
2 χ eff
A1 ( z) A2 ( z) A3* ( z)
⎨
2n c
⎩ ∂z
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•  Equations
€
∂A3 ( z)
= iκA4* ( z)
∂z
∂2 A3 ( z)
2
+
κ
A3 ( z) = 0
2
∂z
∂A4 ( z)
= −iκA3* ( z)
∂z
∂2 A4 ( z)
2
+
κ
A4 ( z) = 0
2
∂z
€
•  Conditions initiales :
€
⎡∂A4 ( z)⎤
*
A3 (0) ⇒ ⎢
=
−i
κ
A
3 ( 0)
⎥
⎣ ∂z ⎦z=0
€
€
⎡∂A3 ( L)⎤
*
A4 ( L) ⇒ ⎢
=
i
κ
A
4 ( L)
⎥
⎣ ∂z ⎦z=0
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A3 (0)
κ A4* ( L)
A3 ( z) =
cos κ ( L − z) + i
sin κ z
cos κ L
κ cos κ L
• 
€
cos κ z
κ A3* (0)
A4 ( z) = A4 ( L)
+i
sin κ ( L − z)
cos κ L κ cos κ L
A4 ( L) = 0
€
Z=0
A3 ( z) = A3 (0)
Z=L
€
cos κ ( L − z)
cos κ L
z
€
κ * sin κ ( L − z)
A4 ( z) = i A3 (0)
κ
cos κ L
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•  Coefficient de réflexion
RMCP =
A4 (0)
2
A3 (0)
2
Z=0
= tan 2 κ L
Z=L
z
•  Réalisation :
€
•  Coefficient de transmission
BaTiO3
€
TMCP
A3 ( L)
RMCP ≈ 1000
2
1
2
=
=
=
1+
tan
κL
2
2
cos κ L
A3 (0)
TMCP − RMCP = 1
€
I 3out − I 3in = I 4out
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Lame
aberrante
z
MCP
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• 
P (ω) = {ε0 [ χ ( 3) ( E2 E*3
+{ε0 [ χ ( 3) ( E1
)]E1 exp− i(ωt − k 3r)}
E*3 )]E2 exp− i(ωt − k 3r )}
(franges)
[réseau induit]
{diffraction de E i sur le réseau induit}
€
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•  Une cavité comportant un MCP est stable pour
toute fréquence et toute structure transverse
L
z
•  Sa fréquence de résonance est celle des pompes
•  Il est stable quelque soit le rayon de courbure du
second miroir
•  Le milieu amplificateur peut être le MCP lui-même.
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