Mélange à 4 ondes

Mélange à 4 ondes
1
JmJ –February 2006

•
2
JmJ –February 2006
€
P
nl =
ε
0
χ
2
( )
⋅E⋅E+ ε
0
χ
3
( )
⋅E⋅E⋅E+...
= ε
0
χ
2
( )
⋅E
[ ]
⋅E+ ε
0
χ
3
( )
⋅E
[ ]
⋅E
{ }
⋅E+...
€
P
i
3
( )
= ε
0
χ
ijkl
3
( )
EjEkEl
La polarisation non linéaire d’ordre 3 est le premier terme non
linéaire dans les milieux centro-symétriques
€
ˆ
e
n
∂Anz
( )
∂z=i
ω
n
2n ω
n
( )
c
pnl ω
n
( )
ε
0
expiΔknz

3
JmJ –February 2006
€
U=1
2
m ω
0
2x2+1
4
m b x 4
Potentiel anharmonique symétrique
Élongation définie par l’équation différentielle :
Résolution approchée avec:
€
⇒F=−m ω
0
2x−m b x 3
€
˙ ˙ x +2Γ˙ x + ω
0
2x+bx 3=−e
m
E t
( )
€
E t
( )
=E1exp−i ω
1t+E2exp−i
ω
2t+E3exp−i
ω
3t+cc

•
•
•
4
JmJ –February 2006
€
˙ ˙ x 1
( )
+2Γ˙ x 1
( )
+ ω
0
2x1
( )
=−e
m
E t
( )
€
x1
( )
ω
i
( )
=−e
m
Ei
D ω
i
( )
⇒ χ
1
( )
ω
i
( )
=N
ε
0
e2
m
1
D ω
i
( )
€
˙ ˙ x 2
( )
+2Γ˙ x 2
( )
+ ω
0
2x2
( )
=0
€
˙ ˙ x 3
( )
+2Γ˙ x 3
( )
+ ω
0
2x3
( )
=−bx 1
( )
3t
( )
€
x2
( )
ω
i
( )
=0⇒ χ
2
( )
ω
i
( )
=0

5
JmJ –February 2006
€
x1
( )
t
( )
[ ]
3=x1
( )
3
ω
i
( )
expi3 ω
it+cc
i
∑
+3x1
( )
2
ω
i
( )
x1
( )
ω
j
( )
expi2 ω
i+
ω
j
( )
t+cc
i,j≠i
∑
+3x1
( )
2
ω
i
( )
x1
( )
*
ω
j
( )
expi2 ω
i−
ω
j
( )
t+cc
i,j≠i
∑
+3x1
( )
ω
i
( )
2x1
( )
ω
j
( )
expi ω
jt+cc
i,j≠i
∑
+6x1
( )
ω
1
( )
x1
( )
ω
2
( )
x1
( )
ω
3
( )
expi ω
1+
ω
2+
ω
3
( )
t+cc
+6x1
( )
ω
i
( )
x1
( )
ω
j
( )
x1
( )
*
ω
k
( )
expi ω
i+
ω
j−
ω
k
( )
t+c
i,j≠i,k≠i,j
∑