Notes sur les variétés différentiables Fichier

Chapitre 2
Variétés Différentiables
2.1 Structure différentiable sur une variété topologique
Définition 2.1.1 Soit Mune variété de dimension net A={(Ui, φi)}i∈Iun atlas. Supposons
que Uij =Ui∩Uj6=∅et notons Vij =φi(Uij )et Vji =φj(Uij ). On a un homéomorphisme
φji =φj◦φ−1
i:Vij →Vji.
Cet homéomorphisme se nomme l’application de changement de cartes (ou application de
transition).
Définition 2.1.2 •Un altas est dit de classe Cksi tous les changements de cartes sont
des difféomorphismes de classe Ck.
•Deux atlas Aet A′sont dit Ck-compatibles si A ∪ A′est un atlas de classe Ck.
Remarque 2.1.3 C’est une relation d’équivalence.
Définition 2.1.4 Une structure différentiable de classe C∞sur Mest une classe d’équivalence
d’atlas Ck-compatibles.
Lemme 2.1.1 Pour toute structure différentiable sur M, il existe un unique atlas maximal
b
Apour la relation d’inclusion.
Preuve Soit A0un atlas Cksur M. Alors b A=∪A | A atlas Ckcompatible avec A0.
Remarque 2.1.5 a) 1≤k≤ ∞ est arbitraire. On prendra généralement k=∞.
b) Le cas k= 0 correspond simplement aux variétés topologiques : tout atlas d’une variété
topologique est de classe C0.
c) Un théorème dit que tout atlas de classe Ck(k≥1) est Ck-équivalent à un atlas de
classe C∞(voir le livre de M. Hirsch, Differential topology, GTM 33, Springer, 1976).
2.2 Fonctions différentiables
Définition 2.2.1 Soit (M, A)une variété différentiable. Une fonction f:M→Rest diffé-
rentiable (C∞)si f◦φ−1:φ(U)→Rest différentiable (C∞) pour tout carte (U, φ)∈ A. On
note C∞(M, R)l’ensemble des fonctions différentiables sur M.
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Lemme 2.2.1 C∞(M, R)est une algèbre (pour l’addition et la multiplication des fonctions).
De plus, si g:R→Rest différentiable et f∈C∞(M, R), alors g◦fest différentiable.
Lemme 2.2.2 Soit Mune variété différentiable C∞, et U⊂Mun ouvert. Si C⊂Uest
compact, alors il existe une fonction f∈C∞(M, R)telle que :
i.) f|C= 1.
ii.) supp(f)⊂U.
On rappelle que supp(f) = {x∈M|f(x)6= 0}est le support de f.
Définition 2.2.2 Une fonction vérifiant les propriétés du lemme se nomme une fonction
plateau.
Preuve du lemme :
1. La fonction h:R→Rdéfinie par
h(x) = (e−1
x2si x6= 0
0si x= 0
est de classe C∞: en effet, ∂m
∂xmh(0) = 0 pour tout ordre.
2. La fonction j:R→Rdéfinie par
j(x) = (e−1
(x+1)2e−1 (x−1)2si |x|<1
0si |x| ≥ 1
est C∞: en effet, f(x) = h(x+ 1)h(x−1). On a supp(f) = [−1,1]. (De même, on peut
construire pour tous a < b ∈Rune fonction jab ∈C∞telle que supp jab= [a, b])
3. La fonction g:Rn→Rdéfinie par g(x) = j(x1)···j(xn)est de classe C∞, et supp(g) =
[0,1]n. Notons gε(x) = g(x/ε). Alors gε:Rn→Rest C∞, et supp(gε) = [−ε, ε]n.
: Avec ces préliminaires, on peut prouver le lemme :
Soit p∈C⊂U, et φp:Up→Vp∈Rnune carte locale à Men ptelle que Up⊂U. On choisit
φpde telle sorte que φp(p) = 0 et que [−ε, ε]n⊂Vp, ce qui est évidemment toujours possible.
Soit fp:M→Rla fonction
fp(q) = gε(φp(q)) si q∈Up,
0si q /∈Up.
Alors par construction, fp∈C∞(M, R),supp(fp)⊂Upet fp6= 0 sur un voisinage Wpde p.
Puisque Cest compact, on peut trouver p1,···, pr∈Ctels que C⊂ ∪r
i=1Wpi.
Soit ˆ f=Pr
i=1 fpi. Alors ˆ
f(q)6= 0 pour tout q∈ ∪piWpiet supp ˆ f⊂U.
Posons maintenant α= minCˆ
f > 0. Alors 1
αˆ
f≥1sur C. On peut donc supposer que ˆ f(q)≥1
pour tout q∈C.
On prend finalement f=h◦ˆ foù h:R→Rest C∞et telle que
•0≤h(x)≤1
•h(x) = 0 si x≤0
•h(x) = 1 si x≥1.
Corollaire 2.2.3 dimR(C∞(M, R)) = ∞dès que dim(M)≥1.
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2.3 Applications différentiables
Définition 2.3.1 Soit F:M→Nune application entre deux variétés C∞. On dit que F
est de classe C∞ou lisse si
F∗(C∞(M)) ⊂C∞(M).
On rappelle que F∗h=h◦Fpour h∈C∞(N).
Proposition 2.3.1 L’application F:M→Nest C∞si et seulement si pour toutes cartes
différentiable φ:U→Vsur Met φ′:U′→V′sur Ntelles que F(U)∩U′6=∅, l’application
φ′◦F◦φ−1est C∞en tout point de φ(F−1(U′)∩U).
Nous laissons la preuve en exercice. On peut exprimer cette proposition en disant que Fest
differentiable si elle est différentiable au sens classique lorsqu’elle est “lue dans les cartes”.
Définition 2.3.2 F:M→Nest un difféomorphisme si Fest bijective, C∞, et F−1est
aussi C∞.
Remarquons qu’en particulier, tout difféomorphisme est un homéomorphisme. Ainsi, deux
variétés diffómorphes sont toujours homéomorphes. On peut se demander si la réciproque est
vraie. C’est un problème difficile. La réponse est oui en dimensions 1,2,3, et non au delà (on
a des contre-exemples dûs à Milnor-Kervaire en 1963 pour la dimension 7, et en 1983 pour la
dimension 4(Donaldson).
Il existe aussi des variétés topologiques qui n’admettent aucune structure différentiable (Ker-
vaire a produit un exemple de dimension 10 en 1960 et les travaux de Donaldson ont permis
de construire des exemples en dimension 4 vers 1983).
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2.4 Partitions de l’unité
Les partitions de l’unité sont un outil qui permet des recollements sur une variété d’objets
initialement construits dans Rn(dans une carte). Elles permetteront par exemple, de définir
l’intégrale d’une forme différentielle sur toute variété orientable.
Avant de les définir, faisons un peu de topologie. Soit donc Mun espace topologique quel-
conque.
Définition 2.4.1 a.) Un recouvrement ouvert de Mest une famille U={Uα}α∈Ad’ouverts
Uαde Mdont la réunion recouvre M:∪αUα=M.
b.) Le recouvrement U={Uα}α∈Aest dit plus fin que le recouvrement V={Vβ}β∈Bsi pour
tout β∈B, il existe α∈Aavec Vβ⊂Uα. On dit aussi que Vest plus grossier que Uet
on note V ≺ U.
c.) Une collection F={Fγ}γ∈Cest localement finie si tout point p∈Madmet un voisi-
nage Wqui intersecte un nombre fini d’éléments de F. En d’autres termes, l’ensemble
{γ∈C|Fγ∩W6=∅} est de cardinal fini.
Enonçons maintenant un théorème technique sur la topologie des variétés :
Théorème 2.4.1 Soit U={Uα}α∈Aun recouvrement quelconque d’une variété M. Alors il
existe deux suites dénombrables d’ouverts {Vi},{Wi},i∈Ntelles que :
(1.) Vi⊂Wipour tout i.
(2.) S∞
i=1 Vi=M.
(3.) Wiest compact pour tout i.
(4.) Wiest contenue dans le domaine d’une carte d’un atlas donné à l’avance.
(5.) {Wi}est un raffinement de U.
(6.) {Wi}est localement fini.
Corollaire 2.4.2 De tout recouvrement ouvert de M, on peut extraire un recouvrement dé-
nombrable (on dit que l’espace topologique Mest paracompact ou encore de Lindelöf).
Remarque Ce corollaire est en fait une conséquence du fait que Mest séparé et à base
dénombrable d’ouverts.
Théorème 2.4.3 Partitions de l’unité] Soit U={Uα}α∈Aun recouvrement quelconque de
M. Alors
I. Il existe une suite {ηi}i∈Nde fonctions telles que
(a) ηi∈C∞(M, R)
(b) 0≤ηi(x)≤1pour tout i∈N, x ∈M.
(c) supp(ηi)est compact
(d) {supp(ηi)}i∈Nest une famille localement finie.
(e) Pour tout i, il existe α(i)∈Atel que supp(ηi)∈Uα(i).
(f) Pi∈Nηi(x) = 1 pour tout x∈M.
II. Il existe aussi une collection {ξα}α∈A⊂C∞(M)telle que
(a) 0≤ξα(x)≤1pour tout α∈A, x ∈M.
(b) supp(ξα)⊂Uαpour tout α∈A.
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(c) Pα∈Aξα(x) = 1 pour tout x∈M.
Définition 2.4.2 {ηi}et {ξα}sont des partitions de l’unité de M. On dit que {ηi}est à
support compact et est subordonnée àU, et que {ξα}est associée àU.
Preuve du théorème : Soit {Vi},{Wi}, i ∈Ncomme dans le théorème technique. Donnons nous
de plus pour tout iune fonction plateau gi∈C∞(M)telle que gi|Vi= 1 et supp(gi)⊂Wi.
Alors {gi}vérifie les conditions 1à5de la partie Idu théorème, mais pas 6.
Posons
ηi=gi(x)
Pi∈Ngi(x).
Cette fonction est bien définie, et vérifie 1à6.
Prouvons maintenant la partie II. Pour tout i∈N, on choisit α(i)∈Atel que supp(ηi)⊂
Uα(i), et on pose
ξα=X
i∈N|α(i)=α
ηi.
On a alors X
α∈A
ξα=X
α∈AX
i∈N|α(i)=α
ηi=X
i∈N
ηi= 1.
Ainsi, {ξα}satistait les conditions de II.
Corollaire 2.4.4 (Urysohn C∞)Soit F1, F2deux fermés disjoints sur une variété différen-
tiable M. Alors il existe f∈C∞(M)telle que f|F1= 1, f |F2= 0 et 0≤f≤1.
2.5 Le Lemme de Hadamard
Proposition 2.5.1 (Lemme de Hadamard) Soit Mune variété C∞de dimension n,p∈
M,φ:U→Vune carte locale en p, et η∈C∞(M)une fonction plateau telle que supp(η)⊂U
et η= 1 au voisinage de p.
Soit x1,···, xnles coordonnées dans V⊂Rnet posons ui=η·(xi◦φ)∈C∞(M, R). On
prolonge ηpar 0sur M\U.
Soit f∈C∞(M). Alors il existe nconstantes ai∈Ret n2fonctions ηij ∈C∞(M)telles que
pour tout qdans un voisinage de p,
f(q) = f(p) +
n
X
i=1
aiui(q) +
n
X
i,j=1
ui(1)uj(q)hij (q) + ρ, (2.5.1)
où ρ∈C∞(M, R)est une fonction C∞qui vaut identiquement 1lorsque ηest nulle.
La formule (2.5.1) s’appelle un développement de Hadamard-Taylor de fau voisinage de p.
Preuve On peut supposer Vétoilé autour de 0, et φ(p) = 0. Posons g(x) = f◦φ−1(x), g ∈
C∞(V, R). Fixons x∈Vet considérons l’identité
d
dt (1 −t)d dtg(tx)=−d dtg(tx) + (1 −t)
n
X
i,j=1
∂2g
∂xi∂xj(tx)xixj.
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