Notes sur les variétés différentiables Fichier

Chapitre 2
Variétés Différentiables
2.1
Structure différentiable sur une variété topologique
Définition 2.1.1 Soit M une variété de dimension n et A = {(Ui , φi )}i∈I un atlas. Supposons
que Uij = Ui ∩ Uj 6= ∅ et notons Vij = φi (Uij ) et Vji = φj (Uij ). On a un homéomorphisme
φji = φj ◦ φ−1
i : Vij → Vji .
Cet homéomorphisme se nomme l’application de changement de cartes (ou application de
transition).
Définition 2.1.2
• Un altas est dit de classe C k si tous les changements de cartes sont
des difféomorphismes de classe C k .
• Deux atlas A et A′ sont dit C k -compatibles si A ∪ A′ est un atlas de classe C k .
Remarque 2.1.3 C’est une relation d’équivalence.
Définition 2.1.4 Une structure différentiable de classe C ∞ sur M est une classe d’équivalence
d’atlas C k -compatibles.
Lemme 2.1.1 Pour toute structure différentiable sur M , il existe un unique atlas maximal
Ab pour la relation d’inclusion.
Preuve Soit A0 un atlas C k sur M . Alors Ab = ∪ A | A atlas C k compatible avec A0 .
Remarque 2.1.5
a) 1 ≤ k ≤ ∞ est arbitraire. On prendra généralement k = ∞.
b) Le cas k = 0 correspond simplement aux variétés topologiques : tout atlas d’une variété
topologique est de classe C 0 .
c) Un théorème dit que tout atlas de classe C k (k ≥ 1) est C k -équivalent à un atlas de
classe C ∞ (voir le livre de M. Hirsch, Differential topology, GTM 33, Springer, 1976).
2.2
Fonctions différentiables
Définition 2.2.1 Soit (M, A) une variété différentiable. Une fonction f : M → R est différentiable (C ∞ ) si f ◦ φ−1 : φ(U ) → R est différentiable (C ∞ ) pour tout carte (U, φ) ∈ A. On
note C ∞ (M, R) l’ensemble des fonctions différentiables sur M .
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Lemme 2.2.1 C ∞ (M, R) est une algèbre (pour l’addition et la multiplication des fonctions).
De plus, si g : R → R est différentiable et f ∈ C ∞ (M, R), alors g ◦ f est différentiable.
Lemme 2.2.2 Soit M une variété différentiable C ∞ , et U ⊂ M un ouvert. Si C ⊂ U est
compact, alors il existe une fonction f ∈ C ∞ (M, R) telle que :
i.) f |C = 1.
ii.) supp(f ) ⊂ U .
On rappelle que supp(f ) = {x ∈ M | f (x) 6= 0} est le support de f .
Définition 2.2.2 Une fonction vérifiant les propriétés du lemme se nomme une fonction
plateau.
Preuve du lemme :
1. La fonction h : R → R définie par
h(x) =
est de classe C ∞ : en effet,
∂m
∂xm h(0)
2. La fonction j : R → R définie par
(
j(x) =
1
e− x2 si x 6= 0
0 si x = 0
= 0 pour tout ordre.
−
e
(
1
(x+1)2
−
e
1
(x−1)2
si |x| < 1
0 si |x| ≥ 1
est C ∞ : en effet, f (x) = h(x + 1)h(x − 1). On a supp(f ) = [−1, 1]. (De même, on peut
construire pour tous a < b ∈ R une fonction jab ∈ C ∞ telle que supp ja b = [a, b])
3. La fonction g : Rn → R définie par g(x) = j(x1 ) · · · j(xn ) est de classe C ∞ , et supp(g) =
[0, 1]n . Notons gε (x) = g(x/ε). Alors gε : Rn → R est C ∞ , et supp(gε ) = [−ε, ε]n .
: Avec ces préliminaires, on peut prouver le lemme :
Soit p ∈ C ⊂ U , et φp : Up → Vp ∈ Rn une carte locale à M en p telle que Up ⊂ U . On choisit
φp de telle sorte que φp (p) = 0 et que [−ε, ε]n ⊂ Vp , ce qui est évidemment toujours possible.
Soit fp : M → R la fonction
gε (φp (q)) si q ∈ Up ,
fp (q) =
0 si q ∈
/ Up .
Alors par construction, fp ∈ C ∞ (M, R), supp(fp ) ⊂ Up et fp 6= 0 sur un voisinage Wp de p.
Puisque C est compact, on peut trouver p1 , · · · , pr ∈ C tels que C ⊂ ∪ri=1 Wpi .
P
Soit fˆ = ri=1 fpi . Alors fˆ(q) 6= 0 pour tout q ∈ ∪pi Wpi et supp fˆ ⊂ U .
Posons maintenant α = minC fˆ > 0. Alors α1 fˆ ≥ 1 sur C. On peut donc supposer que fˆ(q) ≥ 1
pour tout q ∈ C.
On prend finalement f = h ◦ fˆ où h : R → R est C ∞ et telle que
• 0 ≤ h(x) ≤ 1
• h(x) = 0 si x ≤ 0
• h(x) = 1 si x ≥ 1.
Corollaire 2.2.3 dimR (C ∞ (M, R)) = ∞ dès que dim(M ) ≥ 1.
11
2.3
Applications différentiables
Définition 2.3.1 Soit F : M → N une application entre deux variétés C ∞ . On dit que F
est de classe C ∞ ou lisse si
F ∗ (C ∞ (M )) ⊂ C ∞ (M ).
On rappelle que F ∗ h = h ◦ F pour h ∈ C ∞ (N ).
Proposition 2.3.1 L’application F : M → N est C ∞ si et seulement si pour toutes cartes
différentiable φ : U → V sur M et φ′ : U ′ → V ′ sur N telles que F (U ) ∩ U ′ 6= ∅, l’application
φ′ ◦ F ◦ φ−1 est C ∞ en tout point de φ(F −1 (U ′ ) ∩ U ).
Nous laissons la preuve en exercice. On peut exprimer cette proposition en disant que F est
differentiable si elle est différentiable au sens classique lorsqu’elle est “lue dans les cartes”.
Définition 2.3.2 F : M → N est un difféomorphisme si F est bijective, C ∞ , et F −1 est
aussi C ∞ .
Remarquons qu’en particulier, tout difféomorphisme est un homéomorphisme. Ainsi, deux
variétés diffómorphes sont toujours homéomorphes. On peut se demander si la réciproque est
vraie. C’est un problème difficile. La réponse est oui en dimensions 1, 2, 3, et non au delà (on
a des contre-exemples dûs à Milnor-Kervaire en 1963 pour la dimension 7, et en 1983 pour la
dimension 4 (Donaldson).
Il existe aussi des variétés topologiques qui n’admettent aucune structure différentiable (Kervaire a produit un exemple de dimension 10 en 1960 et les travaux de Donaldson ont permis
de construire des exemples en dimension 4 vers 1983).
12
2.4
Partitions de l’unité
Les partitions de l’unité sont un outil qui permet des recollements sur une variété d’objets
initialement construits dans Rn (dans une carte). Elles permetteront par exemple, de définir
l’intégrale d’une forme différentielle sur toute variété orientable.
Avant de les définir, faisons un peu de topologie. Soit donc M un espace topologique quelconque.
Définition 2.4.1 a.) Un recouvrement ouvert de M est une famille U = {Uα }α∈A d’ouverts
Uα de M dont la réunion recouvre M : ∪α Uα = M .
b.) Le recouvrement U = {Uα }α∈A est dit plus fin que le recouvrement V = {Vβ }β∈B si pour
tout β ∈ B, il existe α ∈ A avec Vβ ⊂ Uα . On dit aussi que V est plus grossier que U et
on note V ≺ U .
c.) Une collection F = {Fγ }γ∈C est localement finie si tout point p ∈ M admet un voisinage W qui intersecte un nombre fini d’éléments de F. En d’autres termes, l’ensemble
{γ ∈ C | Fγ ∩ W 6= ∅} est de cardinal fini.
Enonçons maintenant un théorème technique sur la topologie des variétés :
Théorème 2.4.1 Soit U = {Uα }α∈A un recouvrement quelconque d’une variété M . Alors il
existe deux suites dénombrables d’ouverts {Vi }, {Wi }, i ∈ N telles que :
(1.) Vi ⊂ Wi pour tout i.
S
(2.) ∞
i=1 Vi = M .
(3.) Wi est compact pour tout i.
(4.) Wi est contenue dans le domaine d’une carte d’un atlas donné à l’avance.
(5.) {Wi } est un raffinement de U .
(6.) {Wi } est localement fini.
Corollaire 2.4.2 De tout recouvrement ouvert de M , on peut extraire un recouvrement dénombrable (on dit que l’espace topologique M est paracompact ou encore de Lindelöf).
Remarque Ce corollaire est en fait une conséquence du fait que M est séparé et à base
dénombrable d’ouverts.
Théorème 2.4.3 Partitions de l’unité] Soit U = {Uα }α∈A un recouvrement quelconque de
M . Alors
I. Il existe une suite {ηi }i∈N de fonctions telles que
(a) ηi ∈ C ∞ (M, R)
(b) 0 ≤ ηi (x) ≤ 1 pour tout i ∈ N, x ∈ M .
(c) supp(ηi ) est compact
(d) {supp(ηi )}i∈N est une famille localement finie.
(e) Pour tout i, il existe α(i) ∈ A tel que supp(ηi ) ∈ Uα(i) .
P
(f )
i∈N ηi (x) = 1 pour tout x ∈ M .
II. Il existe aussi une collection {ξα }α∈A ⊂ C ∞ (M ) telle que
(a) 0 ≤ ξα (x) ≤ 1 pour tout α ∈ A, x ∈ M .
(b) supp(ξα ) ⊂ Uα pour tout α ∈ A.
13
(c)
P
α∈A ξα (x)
= 1 pour tout x ∈ M .
Définition 2.4.2 {ηi } et {ξα } sont des partitions de l’unité de M . On dit que {ηi } est à
support compact et est subordonnée à U , et que {ξα } est associée à U .
Preuve du théorème : Soit {Vi } , {Wi } , i ∈ N comme dans le théorème technique. Donnons nous
de plus pour tout i une fonction plateau gi ∈ C ∞ (M ) telle que gi |Vi = 1 et supp(gi ) ⊂ Wi .
Alors {gi } vérifie les conditions 1 à 5 de la partie I du théorème, mais pas 6.
Posons
gi (x)
.
ηi = P
i∈N gi (x)
Cette fonction est bien définie, et vérifie 1 à 6.
Prouvons maintenant la partie II. Pour tout i ∈ N, on choisit α(i) ∈ A tel que supp(ηi ) ⊂
Uα(i) , et on pose
X
ξα =
ηi .
i∈N|α(i)=α
On a alors
X
ξα =
α∈A
X
X
ηi =
α∈A i∈N|α(i)=α
X
ηi = 1.
i∈N
Ainsi, {ξα } satistait les conditions de II.
Corollaire 2.4.4 (Urysohn C ∞ ) Soit F1 , F2 deux fermés disjoints sur une variété différentiable M . Alors il existe f ∈ C ∞ (M ) telle que f |F1 = 1, f |F2 = 0 et 0 ≤ f ≤ 1.
2.5
Le Lemme de Hadamard
Proposition 2.5.1 (Lemme de Hadamard) Soit M une variété C ∞ de dimension n, p ∈
M , φ : U → V une carte locale en p, et η ∈ C ∞ (M ) une fonction plateau telle que supp(η) ⊂ U
et η = 1 au voisinage de p.
Soit x1 , · · · , xn les coordonnées dans V ⊂ Rn et posons ui = η · (xi ◦ φ) ∈ C ∞ (M, R). On
prolonge η par 0 sur M \U .
Soit f ∈ C ∞ (M ). Alors il existe n constantes ai ∈ R et n2 fonctions ηij ∈ C ∞ (M ) telles que
pour tout q dans un voisinage de p,
f (q) = f (p) +
n
X
ai ui (q) +
n
X
ui (1)uj (q)hij (q) + ρ,
(2.5.1)
i,j=1
i=1
où ρ ∈ C ∞ (M, R) est une fonction C ∞ qui vaut identiquement 1 lorsque η est nulle.
La formule (2.5.1) s’appelle un développement de Hadamard-Taylor de f au voisinage de p.
Preuve On peut supposer V étoilé autour de 0, et φ(p) = 0. Posons g(x) = f ◦ φ−1 (x), g ∈
C ∞ (V, R). Fixons x ∈ V et considérons l’identité
d
dt
n
X
∂2g
d
d
(tx)xi xj .
(1 − t) g(tx) = − g(tx) + (1 − t)
dt
dt
∂xi ∂xj
i,j=1
14
On intègre de t = 0 à t = 1 :
Z 1
n
n
X
X
∂g
∂2g
i j
i
x
x
−
(1
−
t)
(0)x
=
(g(0)
−
g(x))
+
(tx)dt.
∂xi
∂xi ∂xj
0
i=1
Ainsi, on obtient
i,j=1
n
n
X
X
∂g
i
xi xj hf
g(x) = g(0) +
(0)x +
ij (x)
∂xi
i=1
où hf
ij (x) =
R1
0
i,j=1
2g
∞ , et h
f
f
(1 − t) ∂x∂i ∂x
ij (0) =
j (tx)dt. On a hij ∈ C
1 ∂2g
2 ∂xi ∂xj (0).
Corollaire 2.5.2 On note
Mp = {f ∈ C ∞ (M ) | f (p) = 0}




X
M2p = f =
gi hi | gi , hi ∈ Mp .


finie
et
Alors dim(Mp /M2p ) = n = dim(M ).
Remarque 2.5.1
a) Mp est l’idéal (maximal) des fonctions s’annulant en p.
2
b) Mp ⊂ Mp est l’idéal des fonctions s’annulant à l’ordre 2 en p.
Preuve du corollaire : Soit u1 , · · · , un comme dans le lemme de Hadamard. Puisque ui (p) = 0
on a ui ∈ Mp . On peut alors écrire tout f ∈ Mp sous la forme
f=
n
X
ai ui +
i=1
On a
P
ui uj hij , ρ ∈ M2p . Ainsi f =
Pn
i
i=1 ai u
X
ui uj hij + ρ.
modulo M2p . Les ui engendrent donc Mp /M2p .
Exercice : Finir la preuve : montrer que les ui sont linéairement indépendants, et que ρ
appartient bien à M2p .
2.6
L’espace cotangent
Définition 2.6.1 Mp /M2p se note Tp∗ M et s’appelle l’espace cotangent à M en p. Un élément
θ ∈ Tp∗ M est un covecteur tangent en p et l’application dp : C ∞ (M ) → Tp∗ M définie par
dp f = [f − f (p)] est linéaire, surjective, et se nomme la différentielle de f en p. On note aussi
dp f = dfp .
Remarque 2.6.2 1.) C ∞ (M ) ≃ R ⊕ Tp∗ M ⊕ M2p . C’est immédiat avec les théorèmes d’isomorphisme. Cet isomorphisme est donné par f 7→ (f (p), dfp , h).
∂f
2.) du1p , · · · , dunp est une base de Tp∗ M . On note ∂u
i les coefficients de dfp dans cette base.
On a donc
∂f i
du .
dfp =
∂ui p
15
2.7
L’espace tangent
Définition 2.7.1 L’espace tangent à M en p est le dual de Tp∗ M :
Tp M = HomR (Tp∗ M, R).
On note typique,emz X, Y, Z des éléments de l’espace tangent.
Concrètement : X ∈ Tp M est une application X : Mp → R telle que
a) X est R-linéaire,
b) X(h) = 0 pour tout h ∈ M2p .
On peut étendre X à C ∞ (M ). On a donc X : C ∞ (M ) → R telle que
a) X est R-linéaire,
b) X(h) = 0 pour tout h ∈ M2p ,
c) X(1) = 0.
Lemme 2.7.1 Tout X ∈ Tp M est un opérateur local : si f = g au voisinage de p, alors
X(f ) = X(g).
Preuve Soit U un voisinage de p tel que (f − g) |U = 0, et soit η une fonction plateau telle
que supp(η) ⊂ U et η = 1 dans un ouvert V tel que p ∈ V ⊂ U .
Alors (f − g) = (f − g)(1 − η) et donc (f − g) ∈ M2p . Ainsi, X(f − g) = 0.
Lemme 2.7.2 X : C ∞ (M ) → R est dans Tp M si, et seulement si X est une dérivation
(ponctuelle) en p, c’est-à-dire
1.) X est R-linéaire,
2.) X(f g) = f (p)X(g) + g(p)X(f ) (règle de Leibniz).
Preuve Tout d’abord, soit X une dérivation. Alors X est R-linéaire par définition, et de
plus, X(1) = 0 car X(1) = X(1 · 1) = 2X(1). Il reste à voir que X(h) = 0 P
si h ∈ M2p .
Si f (p) = g(p) = 0, alors X(f g) = f (p)X(g) + g(p)X(f ) = 0. Ainsi, si h =
fi gi avec
fi (p) = gi (p) = 0, alors X(h) = 0.
Réciproquement, soit X ∈ Tp M . Il faut voir que X vérifie la règle de Leibniz. Soit f, g ∈
C ∞ (M ) quelconques. Alors h = (f − f (p))(g − g(p)) ∈ M2p . Ainsi X(h) = 0. En développant,
on obtient bien X(f g) = f (p)X(g) + g(p)X(h).
Remarque 2.7.2
1. Si X ∈ Tp M et θ ∈ Tp∗ M , on note hX, θi >= θ(X). Si θ = dfp , on
note aussi dfp (X) = X(f ).
2. Si u1 , u2 , . . . , un sont des coordonnées au voisinage de p, alors
Tp M . Ils forment la base duale duj car
h
∂uj
∂
j
,
du
i
=
= δij .
∂ui
∂ui
16
∂
∂ui
sont des éléments de
2.8
Approche cinématique :
Définition 2.8.1 Une courbe C ∞ sur la variété M est une application γ : (a, b) → M telle
que f ◦ γ est C ∞ pour toute fonction f ∈ C ∞ (M ).
Soit γ : (a, b) → M une courbe C∞ , t0 ∈ (a, b), et p = γ(t0 ) ∈ M . On définit une application
d
X : C ∞ (M ) → R par X(f ) = dt
f ◦ γ.
t0
Lemme 2.8.1 X ∈ Tp M .
On note X = γ̇(t0 ).
Preuve du lemme : C’est trivial car
d
dt
est linéaire et vérifie la règle de Leibniz.
Remarque 2.8.2 Notons Pp M l’ensemble des courbes γ : (−ε, ε) → M qui sont C ∞ et telles
que γ(0) = p. On a donc défini une application ∂ : Pp M → Tp M , γ 7→ γ̇(0).
Proposition 2.8.2
i) ∂ est surjective
ii) ∂(α) = ∂(β) si, et seulement si
pour toute fonction f ∈ C ∞ (M ).
d d f ◦α= f ◦β
dt 0
dt 0
∂
Preuve (ii) est trivial. Voyons (i). Soit X ∈ Tp M quelconque. On peut écrire X = ai ∂x
i . Soit
P
∂f
d
i
1
n
∞
γ(t) = (ta , · · · , ta ). Alors on vérifie que pour tout f ∈ C (M ), dt 0 f ◦ α = i a ∂xi (p) et
donc γ̇ = X.
Corollaire 2.8.3 L’espace tangent Tp s’identifie canoniquement avec
le quotient
Pp (M )/ ∼
d
d
f
◦
α
=
où deux courbes α, β ∈ Pp (M ) sont équivalente si et seulement si dt
dt 0 f ◦ β pour
0
tout sf ∈ C ∞ (M ).
Remarque 2.8.3 Si γ(t) = x1 (t), · · · , xn (t) en coordonnées locales, alors
γ̇(t0 ) =
n
X
dxi
i=1
dt
(t0 )
∂
.
∂xi
(Il suffit d’appliquer la dérivation en chaîne).
2.9
Différentielle d’une application
A tout point p ∈ M , on associe l’application dFp : Tp M → TF (p) N définie par
dFp (X)(h) = X(h ◦ F ) = X(F ∗ h)
où X ∈ Tp M, h ∈ C k (N ).
17
Propriétés 2.9.1 1) dFp est linéaire ;
F
G
2) Si M → N → W , alors d(G ◦ F ) = dGF (p) ◦ dFp ;
3) Si X = γ ′ (0), alors dFp (γ ′ (0)) = (γ ◦ F )′ (0) ;
Preuve Exercice (ce sont des vérifications).
Voyons l’expression en coordonnées. Supposons que x1 , · · · , xm sont des coordonnées en p, et
y 1 , · · · , y n sont des coordonnées en q. Notons F j = y j ◦ F . Alors l’application linéaire dFp
admet pour matrice la matrice jacobienne
dFp =
∂F j
(p).
∂xi
Pour voir cela, il suffit de le vérifier sur les vecteurs de base, c’est-à-dire de calculer
∂
∂F j ∂
∂y j ∂
dFp
=
.
=
∂xi
∂xi ∂y j
∂xi ∂y i
Définition 2.9.1 (Rang d’une application) On note rang(F, p) = rang(dFp ) = dim(Im(dFp )).
La corresponsance p 7→ rang(F, p) est donc une fonction sur M à valeurs dans {0, · · · , l} où
l = min(dim(M ), dim(N )).
Le théorème suivant est un résultat fondamental du calcul différentiel. Il dit que toute application de classe C 1 dont le rang est constant au voisinage d’un point peut se linéariser dans
un voisinage de ce point :
Théorème 2.9.2 (Théorème du rang constant) Soit F : M → N une application de
classe C k , k ≥ 1. Supposons que F est de rang constant r = rang(F, p0 ) au voisinage U de
p0 ∈ M . Alors il existe des cartes φ0 : U0 → V0 ⊂ Rn et φ′0 : U0′ → V0′ ⊂ Rn telles que
1) p0 ∈ U0 ⊂ U ⊂ M et F (p) ∈ U0′ ⊂ N ;
′
2) L’application Fe = φ′0 ◦ F ◦ φ−1
0 : V0 → V0 est donnée par
Fe(x1 , · · · , xm ) = x1 , · · · , xr , 0 · · · , 0 .
De façon équivalente, Fe est donnée par
j
x si 1 ≤ j ≤ r
yj =
0 si (r + 1) ≤ j ≤ n
C’est équivalent à dire que F̃ est linéaire de matrice
Idr 0
.
0 0
On se contente d’une esquisse de la preuve. Tout d’abord, si M = N = Rn et r = n, alors c’est
le théorème d’inversion locale. Si r = dim(M ) = dim(N ), on se ramène au cas précédent par
des cartes locales. Dans le cas général, on se ramène aussi au premier cas par une modification
adéquate de l’application F (voir Spivak).
18
2x
et donc
Exemple 2.9.2 a) Soit F : R →
donnée par F (x) =
On a dFx =
3x2
le rang de F vaut 0 en 0 et 1 ailleurs. On en déduit que F est linéarisable pour tout x 6= 0.
2x1 1
3
2
2
2
. Ainsi, le
b) Soit G : R → R donnée par G(x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 ). Alors dG =
3x21 0
rang de G vaut 1 en x1 = 0 et 2 ailleurs.
R2
2.10
(x2 , x3 ).
Sous-variétés
Soit N une variété sans bord de dimension n.
Définition 2.10.1 Un sous-ensemble M ⊂ N est une sous-variété si pour tout point p ∈ M ,
il existe une carte φ : U → V ⊂ Rn telle que p ∈ U et φ(U ∩ M ) = Rm ∩ V . De façon
équivalente, si p ∈ U , alors p ∈ M si et seulement si φj (p) = 0 pour j = m + 1, m + 2, · · · , n,
où les φj sont les coordonnées de φ dans Rn .
Remarques 2.10.2 1) φm+1 (p) = · · · = φn (p) = 0 sont des équations locales pour M ⊂ N .
2) Une sous variété est elle-même une variété, dont la dimension vaut m.
3) k = n − m est la codimension de M dans N .
4) On peut parler de sous-variété d’une variété à bord N , avec quelques précautions si M ∩
∂N 6= ∅.
5) Si k = n − m = 1, on dit que M est une hypersurface.
6) On considère que ∂N est une hypersurface (donc une hypersurface est une sous-variété de
codimension 1).
7) Une carte telle que φ(M ∩U ) = Rm ∩V se nomme une carte redressante pour la sous-variété.
Théorème 2.10.1 Soit M et N deux variétés différentiables, et F : M → N une application
C ∞ . Alors
1. Si rang(M ) = k au voisinage de p ∈ M , alors il existe un voisinage U de p tel que f (U )
est une sous-variété de N , de dimension k.
2. Si rang(F ) = k dans un voisinage de S = F −1 (q), q ∈ N , alors S est une sous-variété
de codimension k de M .
Des exemples pour le cas 2 :
1) Si F : Rm → R est une fonction C ∞ telle que dFp 6= 0 quel que soit p, alors F −1 (q) est
une hypersurface de Rm .
2) Sn−1 est une hypersurface
3) Si F, G : Rm → R vérifient dFp et dGp sont linéairement indépendants quel que soit p,
alors F −1 (q1 ) ∩ G−1 (q2 ) est une sous-variété de codimension 2.
Preuve du théorème : Il faut construire des cartes redressantes. Mais ces cartes sont données
par le théorème du rang constant.
Des exemples pour le cas 3 :
1) Si F : Rm → R est une fonction C ∞ telle que dFp 6= 0 quel que soit p, alors F −1 (q) est
une hypersurface de Rm .
19
2) Sn−1 est une hypersurface
3) Si F, G : Rm → R vérifient dFp et dGp sont linéairement indépendants quel que soit p,
alors F −1 (q1 ) ∩ G−1 (q2 ) est une sous-variété de codimension 2.
Preuve du théorème : Il faut construire des cartes redressantes. Mais ces cartes sont données
par le théorème du rang constant.
Définition 2.10.3 (i) Soit F : M m → N n une application différentiable. Le rang de F au
point p est défíni par rang(F, p) = rang(dFp : Tp M → TF (p) N ) = dim(Im(dFp ).
(ii) F est une submersion si rang(F, p) = n pour tout point p ∈ M , c’est-à-dire si dFp est
surjective en tout point. On a alors nécessairement m ≥ n.
(iii) F est une immersion si rang(F, p) = m pour tout point p ∈ M , c’est-à-dire si dFp est
injective en tout point. On a alors nécessairement m ≤ n.
(iv) F est un plongement si F est une immersion et que F est un homéomorphisme sur son
image.
Théorème 2.10.2 1) Si F est une submersion, alors F −1 (q) est une sous-variété de codimension n pour tout q ∈ N 1 .
2) Si F est une immersion, alors “F (M ) est localement une sous-variété”, i.e. pour tout point
dans M , il existe un voisinage U de p tel que F (U ) ⊂ N est une sous-variété.
3) Si F est une immersion et que F est injective et propre, alors F (M ) est une sous-variété,
et F : M → N est un difféomorphisme.
Preuve Se déduit du théorème précédent (avec un peu de topologie pour le point (3)). On
peut aussi déduire la preuve directement du théorème du rang constant.
2.11
Le Lemme de Sard
Lemme 2.11.1 (de théorie de la mesure) Soit F : U → V une application différentiable
C 1 oú U, V sont des ouverts de Rn , et soit A ⊂ U un ensemble de mesure de Lebesgue nulle.
Alors F (A) est de mesure nulle.
Attention : ce n’est pas vrai en général si F est continue (et même si F est un homéomorphisme).
Preuve Puisque F est de classe C 1 , alors F est localement Lipschitz. Puisque la propriété
d’être de mesure nulle est une propriété locale, on peut supposer que F est globalement Lipschitz : kF (x) − F (y)k ≤ L kx − yk. Soit Q un cube dans U , de côté ε. Alors F (Q) est contenu
√
dans un cube de côté nLε. La preuve se déroule facilement.
Définition 2.11.1 Soit M une variété différentiable. Alors un ensemble A ⊂ M est de mesure
nulle si φ(A) est de mesure nulle pour tout carte de l’atlas différentiable.
1. Pour tout q dans F (M ) si on ne considère pas l’ensemble vide comme une variété de dimension quelconque.
20
Proposition 2.11.2 Soit F : M → N est un difféomorphisme C 1 , alors A ⊂ M est de
mesure nulle si, et seulement si, F (A) est de mesure nulle.
Preuve : Découle immédiatement du lemme.
Remarque 2.11.2 1) On n’a pas besoin de mesure pour définir la notion d’ensemble de
“mesure nulle”.
2) Si {Ai }i est une collection dénombrable de sous-ensembles A ⊂ M de mesure nulle pour
tout i, alors ∪i Ai est de mesure nulle.
3) Si A est de mesure nulle, alors M \A est dense (attention, la réciproque est fausse).
Définition 2.11.3 Soit F : M m → N n une application C 1 . On dit que p est un point critique
de f si rang(F, p) < n = dim(N ).
Exemple 2.11.4 Si m ≤ n, alors tout p ∈ M est critique.
Définition 2.11.5 q ∈ M est une valeur critique s’il existe un point critique dans la préimage
de q.
Exemple 2.11.6 Si q ∈
/ F (M ), alors q n’est pas critique. Parfois, on trouve comme terminologie valeur régulière pour les points de N qui ne sont pas des valeurs critiques. La notation
est ambigüe car une valeur régulière n’est pas nécessairement une valeur.
Théorème 2.11.3 (Lemme de Sard) L’ensemble des valeurs critiques d’une application
C 1 F : M → N est de mesure nulle.
Corollaire 2.11.4 Si f : M → N est de classe C 1 , et que dim(M ) < dim(N ), alors f (M )
est de mesure nulle dans N . En particulier, N \f (M ) est dense (et f n’est pas surjective).
C’est un corollaire direct du lemme de Sard. Mais on a une preuve directe :
Preuve . Il suffit de le voir pour f : U ⊂ Rm → Rn , avec m < n. Complétons en une
application F : U × Rn−m → Rn donnée par F (x, t) = f (x). Alors U × {0} est de mesure
nulle dans Rn et F est C 1 , donc f (U ) = F (U × {0}) est de mesure nulle.
2.12
Théorème de plongement de Whitney
Théorème 2.12.1 Soit M une variété différentiable de dimension m. Alors il existe un plongement C ∞
f : M → R2m+1
Il existe une version de ce théorème qui donne une immersion dans R2m , mais alors l’immersion
n’est pas nécessairement un plongement.
Preuve On fait la preuve dans le cas compact, mais les arguments ne changent pas en
substance (dans le cas général, il faut employer un atlas localement fini au lieu d’un atlas
fini). Donnons nous un atlas fini A = {(Ui , φi )}i=1,··· ,k , et soit {ηi } une partition de l’unité
associée.
Etape 1 : On plonge M ⊂ RN avec N = k(m + 1). On pose
f0 (x) = (η1 (x)φ1 (x), η2 (x)φ2 (x), · · · , ηk (x)φk (x), η1 (x), · · · , ηk (x))
21
Alors l’application ainsi définie f0 : M → Rk(m+1) est bien définie, et C ∞ (c’est clair !). De
plus, f est injective. En effet, supposons que f0 (x) = f0 (y). Alors en particulier, ηj (x) =
ηj (y) pour tout j = 1, · · · , k. Or, il existe j0 tel que ηj0 (x) 6= 0. Ainsi, ηj0 (y) 6= 0, et donc
x, y ∈ Uj0 . Mais alors, φj0 (x) = φj0 (y) aussi, puisque φj0 (x)ηj0 (x) = φj0 (y)ηj0 (y) et que
ηj0 (x) = ηj0 (y) 6= 0, Puisque φj0 est un homéomorphisme, on a x = y.
De plus, f0 est une immersion. En effet, chaque φj : Uj → Rn est une immersion.
Ainsi, f0 : M → Rk(m+1) est une immersion injective, et donc c’est un plongement puisque
qu’elle est propre par compacité de M .
Etape 2 : Notons ∆ = {(x, x) ∈ M × M }. On considère l’application auxiliaire
donnée par
g : M × M \∆ → RPN = S N (±id)
g(x, y) =
f0 (x) − f0 (y)
±
kf0 (x) − f0 (y)k
Par le corollaire du Lemme de Sard, on voit que g n’est pas injective si (N −1) > dim(M ×M ),
ce qui est équivalent à N > 2m + 1.
(x)−f0 (y)
6= ±w et
Soit ±w ∈ RPN −1 un point qui n’est pas dans l’image de g. Ainsi, ± kff00 (x)−f
0 (y)k
donc f0 (x) − f0 (y) ∈
/ Rw quels que soit x, y ∈ M, x 6= y.
Soit H = w⊥ ⊂ RN −1 et posons f1 : M → H définie par f1 (x) = projH (f0 (x)). Alors f1 est
injective, et c’est encore une immersion (pourquoi ?).
Finalement, pour tout plongement f0 : M → RN tel que N > 2m + 1, on associe un nouveau
plongement f1 ; M → N = RN −1 . Par itérations, cela s’arrête à N = 2m + 1.
22
2.13
Fibrés Vectoriels (C ∞ ) :
Définition 2.13.1 Un fibré vectoriel de rang r (différentiable) est un triple ξ = (E, π, M ) où
E et M sont des variétés différentiables, et π : E → M est une application différentiable (π
sera une submersion surjective) vérifiant la propriété suivantes :
Il existe un recouvrement ouvert (Uα )α∈A de M tel que
∼
(i) Il existe un difféomorphisme Φα : E|Uα = π −1 (Uα ) −→ Uα × Rr ;
(ii) Pour tout Uβα = Uα ∩ Uβ 6= ∅, il existe gβα : Uβα → GLr (R) = Aut(Rr ) différentiable
et tel que le diagramme suivant commute :
E|Uβα
Φβ
Φα
Uαβ × Rr
Φβα
Uβα × Rr
Avec Φβα = Φβ ◦ Φ−1
α de la forme (x, v) 7→ (x, gβα (x) · v).
Terminologie :
1) Le triplet ξ = (E, π, M ) est un fibré vectoriel de rang r ;
2) E est l’espace total du fibré ;
3) M est la base du fibré ; Si x ∈ M , on note Ex = π −1 (x) ⊂ E, c’est la fibre de ξ au dessus
de x ;
4) Rr est la fibre type ;
5) Φα : E|α :→ Uα ×Rr est une trivialisation locale (on dit que Uα est un ouvert trivialisant) ;
6) Φβα : Φβ ◦ Φ−1
α est une transition (d’une trivialisation locale à une autre) ;
7) {gβα } est le cocycle ;
8) π : E → M est la projection.
Exemple 2.13.2 Le fibré trivial est τ = (E = M × Rr , π, M ) où π est la projection évidente.
Remarquons qu’un fibré est toujours localement trivial.
23
Propriétés du cocycle :
(i) gαα = id ;
−1
(ii) gαβ = gβα
;
(iii) gαβ ◦ gβγ = gαγ .
Preuve Evident à partir de la définition de gβα .
Remarque 2.13.3 La propriété (2) est une conséquence de (1) et de la propriété (3).
Définition 2.13.4 Soit G ⊂ GLn (R) un sous-groupe. On dit que le fibré ξ admet G comme
groupe de structure si on peut ramener le cocycle à gαβ (x) ∈ G.
Théorème 2.13.1 On peut reconstruire le fibré à partir du (d’un) cocycle. Plus précisément,
étant donné un recouvrement {Uα } et un cocycle {gαβ : Uαβ → GLn (R)} vérifiant les propriétés (1), (2), (3), il existe un fibré ξ = (E, π, M ) de cocycle (gαβ ).
f = ` Uα et E
e = M
f × Rr = ` Uα × Rr et on définit une relation
Preuve On pose M
α
α
d’équivalence ∼ sur E par (x, v) ∈ Uα × Rr est équivalent à (x′ , v ′ ) ∈ Uβ × Rr si et seulement
si
(
x = x′
(dansM )
′
v = gβα (x)v
e ∼ et π : E → M est définie par π([(x, v)]) = x . Comme exercice, on
On pose alors E = E/
peut vérifier que (E, π, M ) est bien un fibré de cocycles gαβ .
Exemples 2.13.5 1) Si gαβ (x) = id pour tout x, alors le fibré obtenu est trivial : E =
M × Rr .
2) Le ruban de Möbius peut être vu comme un fibré (non trivial) sur S 1 de rang 1 : on recouvre
S 1 par deux ouverts U1 , U2 dont l’intersection possède deux composantes connexes V, V ′
(par exemple les domaines de deux projections stéréographiques opposées). On définit
comme cocycle
g12 = g21
(
1
=
−1
sur V
sur V ′
`
π
3) Le fibré tangent T M = x∈M Tx M est l’espace total d’un fibré (T M → M ) dont le
cocycle est gαβ = dφαβ , où {(Uα , φα )} est un atlas et où les φαβ sont les changements
o
n
`
φα
de cartes. Concrètement, si Uα → Vα est un atlas de M , alors T M = x∈M Tx M =
`
r
r
n
α (Uα × R ) / ∼ avec (x, v) ∈ Uα × R est équivalent à (x, gβα (x)v) ∈ Uβ × R avec
gβα(x) = dφβα (x).
Remarque 2.13.6 Si (E, π, M ) est un fibré vectoriel de rang r et de cocycle ({Uα } , gβα ),
et si φ : GLn (R) → GL(F ) = Aut(F ) où F est un espace vectoriel de dimension finie sur R,
alors on obtient un nouveau fibré de fibre type F en prenant le cocycle associé
ρ ◦ gαβ : Uαβ :→ Aut(F ).
24
`
Exemples 2.13.7 a) Le fibré cotangent T ∗ M = x∈M (Tx M )∗ s’obtient à partir du cocycle
contragédient du cocycle de T M :
t
∗
gβα
= dφ−1
= (dφαβ )t .
βα
b) Le fibré des kℓ -tenseurs s’obtient en prenant F = Tensℓk (Rn ) et ρ : GLn (R) :→ Aut(Tensℓk )
la représentation naturelle. Son espace total est
a
Tensℓk (T M ) =
Tensℓk (Tx M ).
x∈M
c) Le fibré des keme puissance extérieure s’obtient en prenant F = Λk (Rn )∗ et ρ : GLn (R) :→
Aut(Λk (Rn )∗ ) la représentation naturelle, son espace total est
a
Λk (T M ∗ ) =
(Λk (Tx M ∗ ).
x∈M
Définition 2.13.8 Une section d’un fibré ξ = (E, π, M ) est une application lisse σ : M → E
telle que π ◦ σ = idM .
On note Γ(ξ) = Γ(E) l’ensemble des sections du fibré ξ = (E, π, M ).
Exercice Montrer que Γ(ξ) = Γ(E) a une structure naturelle de C ∞ (M )-module.
2.14
Dérivation globale et champs de vecteurs
25