L`invariance topologique des classes de pontrjagin

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
A NDRÉ G RAMAIN
L’invariance topologique des classes de Pontrjagin rationnelles
Séminaire N. Bourbaki, 1964-1966, exp. no 304, p. 391-406
<http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__391_0>
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Séminaire BOURBAKI
18e
année, 1965/66,
Février 1966
n° 304
L’INVARIANCE
TOPOLOGIQUE des CLASSES de PONTRJAGIN RATIONNELLES
(d’après
Siebenmann)
S. P. Novikov et L. C.
par André GRAMAIN
est de démontrer l’invariance
exposé
Le but de cet
topologique
Pontrjagin tangentes des variétés différentiables, c’est-à-dire le
THÉORÈME
0.- Soient
morphisme de
V
les classes de
Thom
V
Pontrjagin tangentes
(
d’autre part
sont pas
(voir
Nous exposons ici
résultat plus
Dans
sa
santes pour
Milnor
/"4~7 )
été démontré
a
une
un
h~ : H*(V’,Q) -> H*(V,Q)
celles de
ont
h4i(p.(V’))
V :
déjà démontré
des variétés
que les classes de
homéoenvoie
= p.(Y) .
l’invariance combi-
triangulées.
On sait
Pontrjagin à coefficients
général
thèse
(
en
que le
/"9_7 ),
qu’une variété
sur
premier lieu par S. P. Novikov
démonstration due à L. Siebenmann, qui
W
entiers
l’avantage
(ci-dessous Proposition
Théorème 0
(voir
3 et
/*6_7 ).
de donner
son
Corollaire).
nécessaires et suffi-
différentiable ouverte soit ltintérieur d’une variété
l’algèbre Z(G)
Pour démontrer le théorème
a
L. Siebenmann donne des conditions
dans le groupe de Grothendieck
type fini
sur
Pontrjagin rationnelles
différentiable compacte à bord. Plus
de
V’
h
et
topologiquement invariantes.
Le Théorème 0
un
de
RohIin-Svarc ( /"7_7 )
et
C°~,
deux variétés différentiables
V’
V’ ; l’application induite
sur
natoire des classes de
ne
et
des classes de
précisément,
K°(Z(G))
d’un
ci-dessus,
il trouve
une
obstruction à valeurs
des classes stables de modules
certain
nous
groupe
utiliserons
391
G
attaché à la
un cas
projectifs
variété
W .
particulier du résultat
de
Siebenmann, qu’on peut énoncer ainsi :
THEOREME 1.- Soit
au
W
une
M Rk , où
produit
variété différentiable de dimension
M
est
une
n +
variété topologique compacte
k ,y
homéomorphe
connexe sans
bord,y
rv
de dimension
%(W)
par
structure
sans
N
n.
k -1
n ~ 5 , et
que le
nombre de définitions
d’où
ce
(§ 1)
nous
=
0 ,
(où
G
est le
produit
la structure différentiable de
il existe
N
produit
La démonstration de
(§ 2),
Z)
exemplaires de
une
soit
W
variété différentiable N
difféomorphe à
W ,
B)
(Il
en
de
est
une
compacte
résulte que
M.)
même type d’homotopie que
Théorème1
K°(Z(G))
si
produit : autrement dit,y
bord, telle
a
Si
esquissée au §
certain
théorème
sera
qui
permettront d’énoncer des conséquences du
nous
déduirons
(§ 3)
l’invariance
4. Nous donnerons
topologique des
un
classes de
Pontrjagin.
§
1. Microfibrés topologiques.
propriétés (voir
1. Définition et
Un microfibré
ques
B
La
deux
applications
la "section nulle"
EXEMPLES.E =
1)
E>
"projection" j :
telles que leur
composée j
*
i :
0
i
i
la donnée de deux espaces
topologi-
continues :
B ,
B ~ E ,
soit
l’application identique de B .
Microfibré produit de fibre
Rn ,
~4"’ ).
topologique de base B , est
E,y et de
et
Milnor
Rn .
est effectivement la section nulle
et j
la
projection
sur
B .
2) Microfibré tangent à
La base est
l’application diagonale
3)
Microfibré
E
et
V ,
variété topologique V.
une
V
de
V
est
sous-jacent 9.
dans
un
V ; j
x
est la
prêtre projection,
et
i
est
V X V .
fibre vectoriel localement trivial,
La définition est évidente.
Un
prémorphisme
au-dessus d’une
du
microfibré
application
de la section nulle de
E
f : B
dans
dans le
.-~ 8’ , est
une
E’ , compatible
application
avec
(B’ ,E’ ,i’ ,j’)
microfibré
g
d’un
voisinage ~
f, c’est-à-dire qui rende
commutatif le diagramme :s
Deux
prémorphismes
dans
un
au-dessus de
f
définissent le m8me morphisme, s’ils coïncident
voisinage de la section nulle, contenu dans l’intersection de leurs
nages de définition.
La
composition
On voit sans peine
table par
un
de celle de
des
morphismes,
le
qu’un isomorphisme,
morphisme identique sont des notions évidentes~
(morphisme
qui admet
un
inverse)
homéomorphisme
d’un
voisinage de la section nulle de E
E’ , au-dessus
d’un
homéomorphisme
entre deux microfibrés de même base
B,
est
tion identique de .B. De même que pour les
un
de
B
sur
B’ . Un
est
représen-
sur un
voisinage
B-isomorphisme
isomorphisme au-dessus de l’applica-
fibres,
peut définir les notions de
microfibl:é image réciproque et de microfibré induit. Un microfibré trivial de rang
est
un
microfibré isomorphe
lement trivial de rang
au
microfibré produit de fibre
n, est
voisinage au-dessus duquel
un
Un
microfibré
loca-
microfibré tel, que tout point de la base ait
le microfibré induit soit trivial de rang
Nous
n.
n
un
ne nous
intéresserons qu’aux microfibrés localement triviaux. Les exemples donnés ci-dessus
sont des microfibrés localement triviaux. Comm~ pour les
somme
de
de deux
Whitney
microfibrés ;
d’un microfibré par deux applications
tion de microfibré
tangent à
microfibré sous-jacent
isomorphe
au
au
une
démontre
on
fibrés,
aussi que les
on
sait
la
images réciproques
homo topes sont isomorphes. Enfin,
variété topologique est
définir
justifiée
dénominar-
la
par le fait que le
fibre tangent d’une variété différentiable paracompacte est
microfibré tangent à cette variété.
2. "Classification" des microfibrés.
Nous donnerons sans démonstration les
résultats, suivants, qui utilisent
la
classique théorie simpliciale (voir
Soit
Top(n)
le groupe
simplicial dont
du microfibré trivial de rang
n,y de base le
les
p-simplexes sont les automorphismes
microfibré de rang n , ayant pour base la réalisation
simplicial B,y
on
peut associer
Top(n). Inversement,
pour base
un
un
topologique de
rang
géométrique ( H.~1
fibre principal simplicial de base
à tout fibre simplicial principal de groupe
ensemble simplicial localement fini
n , de base
bijection entre l’ensemble des
1Bf,
B,
A tout
topologique
simplexe
on
de telle sorte
d’un ensemble
B ~
de groupe
Top(n) ,
peut associer
un
ayant
microfibré
qu’on établisse ainsi
classes de microfibrés de rang
n, de base
une
~H) ,
et
Top(n) ,
l’ensemble des classes de fibres principaux de groupe
ble
fini).
localement
simplicial
On sait alors que
sont
en
bijection
dans
un
certain ensemble simplicial
avec
les classes
ces
de base
classes de fibres
n
groupe
simplicial 0(n)
variables). 0(n)
lité de W ,
W(Top(n))
W(Top(n)) (défini
des classes
dans
un
s’identifie à
avec
au
espaces
de dimension
q)
0(n) ,
W(0)
et
Top et 0,
0
Top(n) , d’où,
par fonctoria-
~(1
q
(W(Top(n)))
dans
s’identifie à l’ensemble
de l’ensemble
W(Top(n)) .
Donc,
9T
Q
simplicial
(W(Top(n)))
et
~0394q+1
est
On
en
a
l’application naturelle
est
un
les limites inductives par
sous-groupe de
suspension de
Top. Nous noterons HO
et
Top(n)
BTOP
et
les
W(Top) .
caractéristiques.
Tout microfibré
de base
donne
foncteur "microfibré sous-jacent".
Le groupe
3. Classes
nous
l’ensemble des classes de microfibrés de rang n, de base
Nous noterons
0(n) .
sous-groupe de
d’homotopie d’applications (simpliciales)
raisonnement analogue pour
correspond
un
triviaux,
complexe singulier du groupe orthogonal de
complexe de Kan, donc
un
(sphère simpliciale
bijection
est le
B
application
une
est
(qui
simpliciaux
d’homotopie d’applications simpliciales de
La même construction pour les fibres vectoriels localement
un
(ensem-
B
Î
topologique de base B, définit
(réalisation géométrique
du
un
microfibré
complexe singulier de
(image réciproque)
B,),
donc
une
classe
d’applications simpliciales
d’où
un
homomorphisme
Les éléments de
Dans le
l’image de
~p~’(n) ,
Lorsqu’il s’agit
nômes
en
fibres
surjective ;
que du
ne
de
que du
microfibré sous-jacent.
H*(BO,Q)
cohomologie rationnelle,
appelées
de la
Proposition
est
une
classes rationnelles de
3),
que
de
poly-
Pontrjagin.
c~~ :
Pontrjagin d’un fibre
les classes rationnelles de
algèbre
ne
dépendent
donc
microfibré sous-jacent.
directement
qui, dans
mod.
des classes de
le
cas
2 ,
le résultat est
Stiefel-Whitney
tions de
Steenrod, et l’isomorphisme
pour les
w.
microfibrés.) (Voir
une
plus précis :
~ Hi(B,Z2)
où le microfibré provient d’un
fibré. La construction est donnée par
effet,
caractéristiques qui proviennent
toutes les classes
dépendent
p. i ~
(Corollaire
Pour la cohomologie
ce
y
des classes
Nous démontrerons
est
se
H*(W(O(n))) :
Il est clair que, pour les
de
du microfibré.
caractéristiques
sont les classes
où le microfibré provient d’un fibré vectoriel, cette application
cas
factorise par
f*
de
l’image
fibré,
/"10_7 )-
(Le
sait construire
pour tout
formule
de Thom.
on
microfibré,
sont les classes de S.-W. de
classique utilisant
les
opéra-
théorème de Thom-Gysin vaut,
en
§
Une
2. Structures différentiables
conséquence
Sn .
fibres de base
sur
du Théorème 1 est la
PROPOSITION 1,- Pour toute structure différentiable
sur
Sn
x
n ~5,
y
le fibré
tangent est stablement trivial.
Démonstration.
D’après
un
(voir
résultat d’Adams,
/"3_7 )
tangent stablement trivial. Mais, d’après
tiable
8k
sur
tangent à ,~,
parce que
abélien libre
=
0 , et
X If
que
sphère d’homotopie
a un
fibré
Théorème 1, toute structure différen-
le
structure produit
une
et le fibré
d’homotopie ;
s’applique
est
toute
E
x
,
X
où
est
une
n-sphère
est stablement trivial. Le Théorème 1
K°(z(G))
est nul si
G
est
un
groupe
(voir _ r12~ ).
PROPOSITION 2.- Tout fibre de base
Sn (quel
que soit
n ),
dont le microfibré
sous-
jacent est stablement trivial, est lui-même stablement trivial.
Démonstration.
Il suffit de démontrer la
fibré a dans
sa
classe
un
proposition
pour
un
fibré
différent.iable, puisque
tout
fibre différentiable. On peut aussi supposer que le microfi-
bré sous-jacent est trivial.
n ~ 5 . Soit 1
=
(E,Snfp)
microfibré sous-jacent à ~
voisinage
ouvert
un
fibré différentiable de rang k .
sur
le microfibré trivial est
W C E de la section nulle de 03BE
tion et la section nulle :
sur
un
L’isomorphisme
homéomorphisme
h
du
d’un
respectant la fibra-
Le fibre
T(W)
tangent
est stablement trivial
part calculer T(W) ; c’est la
d’autre
T(W)
de
somme
la
Whitney
Proposition
(p~(~)
à la section nulle de ~
est donc
isomorphe à la
~, On sait
®
de
k. La :restrictior
et du fibre trivial de rang
l’image réciproque de ~ par
de
d’âpres
de Whitney de
somme
et d’un fibre trivial. Ceci prouve que ~ est stablement trivial.
n ,=
(ou 2) .
1
Il y
a
deux classes stables de fibres de base
deux classes sont caractérisées par leur classe de
Si le microfibré sous-jacent à 03BE
est
S1 (resp. SZ ) ~
Stiefel-Whitney w
(resp.
cee
w2),
trivial, cette classe est nulle, et 03BE est
stablement trivial.
est nul, il
n ~ 3 . Comme
S3
et tout fibre de base
n=4.
°
=
par la classe de Pontrjagin
Soit 1
un
un
montrons que
=
P2(C)
de
son
‘ÏÎ (Q)
voisinage ouvert de
p. (~)
=
fibre tangent
est
S~ ,
Z ;
canonique de
S4 ,
dont le
la section nulle
0 . Comme pour
1
les fibrés de base
a4
sont
classifiés
p~1 6.
l’espace projectif complexe
Chern du fibre
=
fibre différentiable de base
trivial,, et W
y
qu’une classe stable de fibres de base
a
est stablement trivial.
03C04(BO)
On sait que
n’y
n à 5,
de dimension
nous
microfibré sous-jacent
de 03BE , homéomorphe .à
utilisons le
Théorème 1. Soit
2 ; la classe totale de Pontrjagin
3x~ , où x E !f(P2(C),Z) est la
bas e P2(C). Le produit W X
P2(C)
+
est
première
a
classe de
même cohomologie
P 2 (C) ~
que
car
il
n’y
a
D’après
N
est
une
T(W
et la classe totale de Pontrjagin de
P 2 (C))
x
est :
pas de torsion.
le Théorème
Wx
1~
P 2 (C)
difféomorphe à
est
variété compacte de dimension 8 qui
L’index de la variété
conclure que :
7p -
Une forme
produit
=
équivalente
15y.i
0 , soit
même cohomologie que
de la
0 , donc
=
Proposition 2,y est
où
N x
est nul, et le théorème de l’index d’Hirzebruch
N
p~ 2
a
un
y
=
permet de
0 .
la :
PROPOSITION 2’.- L’application naturelle :
est
injective pour
En
en
n ~
correspondance biunivoque
r =
/"4_7 que
est infini
(22p-1 - 1).num.(
l’injectivité
2)
avec
Dans le même
de
(resp.
de
microfilmés)
(resp. ~T (BTOP)
(BO)
n’est pas
surjective pour
n
générateur
de
d’un
p.
où
B
est le
Bp p écrit
sous
prouve
article, Milnor construit
de base
S~ ~
sont
),
=
cyclique, est divisible dans
Bp p) ,
tp.
Tt
l’image par
le numérateur de
et
.
1 ) L’application 03C6n
démontré dans
rème de Bot )
1
les classes stables de fibres
effet,
REMARQUES.a
tout
4p.
En
effet, Milnor
qui
par l’entier
nombre de
forme irréductible. Pour
p 2, r > 1 ,
n’est pas
un
CW-complexe X ~
pour lequel l’analo-
gue de la
Proposition
de dimension
l’entier
r
4p
par
2 est fausse. On l’obtient
une
(cf. Remarque 1)). Compte
de démontrer que, pour cet espace
fibré,
base
de
application
X ,
est stablement trivial ; il y
a
degré
en
q,y où
q
tenu de la Remarque
q
une
diviseur
cellule
de
est
un
1),
il n’est pas difficile
tout microfibré de base
cependant
S4~’~
attachant à
premier
X,y sous-jacent à
un
classes stables de fibrés de
X.
§
3. Invariance topologique des classes rationnelles de Pontrjagin.
PROPOSITION 3.- Pour tout
est
induite
nr
l’application
injective.
COROLLAIRE.- Pour tout
n,
l’application
induite par ,y est surjective.
Le Corollaire est
nous avons
fibré
ne
dit
au § 1
p
tes d’une variété
de la
il entraîne que les classes de
que du
dépendent
conséquence immédiate
une
Proposition 3. D’après
ce
que
Pontrjagin rationnelles d’un
microfibré sous-jacent. En particulier, les classes tangen-
différentiable,
que de la structure de variété
ne
dépendant
que du microfibré
tangent,
ne
dépendent
topologique.
Démonstration de la Proposition 3.
Soit
Rn
G(n)
sur
l’un des groupes
R2n
au
couple
simpliciaux
(y,Y) ,
Top(n)
ou
0(n) .
(xi)1~i~n
L’isomorphisme de
, y =
1~i n ,
associe
z
avec
=
homomorphisme
déduit
permet
une
1)
+
x
G(n)
simpliciaux
G(n) --y G(n
suspensions
on en
de groupes
=
z2p-11
sur
et
BO
X
W(G(n))
BTOP, par
,
permet de définir
G(n)---~ G(2n) , compatible
G(2n) ~ G(2n
et
application simpliciale
de définir
=
z2p y ,
,
2) .
+
les
avec
Par fonctorialité de
W(G(2n)) .
X
passage à la
un
limite, deux
W ~
Ceci
lois de compo-
sition, respectées par l’application cp : B0 ~ BTOP . Les réalisations géométriques
de
BO
dans
BTOP
et
un sens un
rement
sont donc munies de lois de
large :
peu
composition
continues ; mais leurs restrictions
Comme
BO
et
BTOP
quence de la
faible
sont des
aux
Proposition
précédent,
complexes de Kan,
2’ et du Lemme suivant
mais que, pour
sont,
ne
La
leur
nous
font des
H-espaces
effet, pas nécessai-
en
homologie
Proposition 3
(valable
simplifier,
en
(voir
sont continues
compacts
réalisations géométriques.
sont celles de leurs
sens
lois de
ces
composition qui
et leur
est donc
pour les
homotopie
une
H-espaces
énoncerons pour le
cas
consé-
dans le
de
H-espaces) :
LEMME.- Soient
continue
est
alors
Y
avec
deux
H-espaces connexes,
les lois de
H-espaces.
Si
et
f : X ---j Y
une
application
l’application induite
l’application
injective.
Le Lemme
g : T
et
compatible
injective,
est aussi
X
---~ Y ,
se
démontre
en
construisant
de telle sorte que
nie à l’aide de la loi de
un
espace auxiliaire
l’application composée
H-espace
de
Y , induise
un
X
x
T ,
et
T ~--~ Y
isomorphisme
x
une
sur
application
Y 2014~. Y
défi-
les groupes
T
d’homotopie rationnels. On prend pour espace
de dimension
impaire, et d’espaces
des lacets de
S.On utilise
!l2n
H-espaces,
on
peut
produit
S
sphères
infini de
qui ont le type d’homotopie de l’espace
ensuite le théorème de J. H. C. Whitehead modulo
(voir
la classe des groupes abéliens de torsion
des
un
se ramener aux
Serre
hypothèses
du
X
Comme
sont
Y
et
théorème de Whitehead concernant
les groupes fondamentaux.
REMARQUE. - On peut montrer que les
associatives. On aurait donc pu démontrer la
Milnor et Moore
page
§
Le Théorème
|BO|I et|BTOP|1
H-lois de
sont
homotopiquement
Proposition 3 à l’aide d’un théorème de
263).
4. Démonstration du Théorème 1.
se
démontre par récurrence
sur
k. Pour
k
1
=
la démonstration
,
n’est autre que celle du théorème principal de la thèse de L. C. Siebenmann
cinq chapitres de
Elle occupe
seulement
bV
qu’on construit,
connexe,
->
Hi(,b)
qui contienne
par
un
(V)
03C01 (v) ~ 03C01
et
0 ,
=
sa
bV
thèse,
et
chirurgie,
nous ne
une
M x ~ a,oo [
isomorphismes, et
à
est
difféomorphe
un cas un
LEMME.- Soit
peu
de groupe
Z
W
C
W ,
telle que
que, pour tout
sont les revêtements universels de
est ensuite facile à voir, à l’aide du Théorème.du
W
Signalons
ici.
sous-variété connexe V de V , à bord
ouvert de la forme
soient des
l’exposer
pouvons pas
(/~9~/).
s-cobordiame
V
et
i
2 ,
bV).
Il
(voir ,(2-%),
que
à bV X R . Signalons aussi que la même démonstration s’applique
plus général, et permet de démontrer le
une
variété différentiable
d’une variété
connexe sans
topologique compacte
bord, qui est le
connexe sans
bord. Si
revêtement
est nul, alors
Ce Lemme
manière
W
est
difféomorphe
servira
nous
différente,
au cours
un
produit N
R .
x
de la récurrence. Il
a
aussi été
démontré,
d’une
par S. P. Novikov.
Remarquons tout
de suite que,
des groupes dans celle des groupes
entraîne
à
est
comme
un
foncteur de la
catégorie
abéliens, l’hypothèse
(par rétraction)
Récurrence.
Supposons
thèses
Rk ,
le Théorème établi
théorème. Soient S
du
et
le
homéomorphe à
S X
phisme de
Rk
M
le cercle unité du
complémentaire
Si
sur
produit Vx
W ,
V’
un
revêtement
soit V
1)
C’est
=
celle de
x S x
V’ -> W’
W’
plan
est l’ouvert de
=
par
( $3 = z 4
W
= ... =
(g 1 = ~ ) = 0).
W , image
i 1 (W) X Z,
de
W
vérifiant les hypo-
0)
=
de
L’es pace Test
M x T
est
xk
par l’homéomor-
difféomorphe
à
un
récurrence.
de
8k.-1
par
M X R
, On munit
V’
p. Notons
V
X~1,
correspond par homéo-
de la structure
la sous-variété
différentiable
V X 0
de
W’ ,
p(V) .
Il existe
une
p :
k - 1 . Soit
l’hyperplan
d’après l’hypothèse
image réciproque de
et
de
comme
Au revêtement évident de M
morphisme
jusqu’à l’ordre
une
variété différentiable
conséquence immédiate
de la
N
telle que
définition de
V,
V
soit
difféomorphe à
et du Lemme
précédent.
N x R .
2) W
x
est
difféomorphe à V
id) : V
(V
(où
1
correspond
W
est
W
LEMME.est
une
difféomorphe à
une
.
est
=
Admettons
variété différentiable homéomorphe à
L’espace
8k
un
bord,
connexe sans
s’identifie à
B x M
suite,
ces
deux
W)
B
et soit
M
un k-disque
(muni
ouvert de W ; celui-ci
un
est
M X , k ~ 2 , où
de
difféomorphe à W ,y si
*
B
lemme ; soit
ce
W. Soit
Bw
difféomorphisme
de
B
X M
est
difféomorphe à
La variété
B X M
dans le revêtement
k-disque relèvement de B
BxM
sur
T .
k-disque contenu dans
un
un
T . Pour la même raison
de
Par
o .
difféomorphe à
est
p :
W’ .
la structure différentiable induite par
1 (W))
W~ -~ W’ ).
difféomorphe à V X
revêtement
au
variété topologique compacte
ouvert de
le revêtement
effet,
composition :
W’
revêtements sont isomorphes, et
en
W’ . Il correspond à l’homomorphisme
=
obtenu par la
-> Z
Considérons,
.
2014r> V
x
la dernière flèche
3)
~ 1
x
W’ . w
Enfin,
p
induit
B X M . Ceci achève la démonstration.du Théorème 1.
Démonstration du Lemme.
W -
(B
X
M)
est
différentiable F
il
en
est de même pour
sous-variété de
Il
X R
n’y
a
W
Sk-1
homéomorphe à
(identifions
(B -
y
et
pas de difficulté à rétracter
(F
et
F
~P ~ ) X M ,
bordée par F
X M X
qui
F’ ,
U
x
est
U
sur
R , et possède
0)
C W
).
Si
donc
P
difféomorphe à
est
F
un
ou
une
structure
point
de
B,
F’ X R . Soit
U
la
est
un
h-cQbordisme entre
F’ . Soit
A
=
(B
x
F
M) -
et
F’ .
U ;
c’est l’intérieur d’une variété de bord
A
est
difféomorphe à
B K M :
il suffit alors
F’ X
F’ .
(B
X
M) -
A
est
effet
en
difféomorphe à
le théorème d’unicité des
d’appliquer
voisinages
tubulaires,
A U
A
(U - F)
(U - F)
est
est
difféomorphe à
est
h-cobordismes
A
difféomorphe à
(voir
pour la même raison.
difféomorphe à W ,
lJ(U - F) :
encore
X [0,1 [
F’
pour la même
d’après
un
raison, et parce
théorème classique
sur
que
les
/"2_7).
BIBLIOGRAPHIE
[1]
[2]
H. CARTAN -
Séminaire, 9e année (1956/57). Exposés
M. KERVAIRE - Le théorème de
1963/64,
[3]
Barden-Mazur-Stallings. Séminaire
(1963),
Groups of homotopy-spheres
504-537.
[4]
J. MILNOR - Microbundles.
[5]
J. MILNOR et J. MOORE - On the structure of
Vol. 81
[6]
(1965),
V. ROHLIN et A.
Dokl, Akad.
[8]
Topology, Vol. 3 supp.
1
(Part 1),
(juillet 64),
Hopf algebras. Ann.
Ann. of Math.
53-80.
of Math.
211-264.
S. P. NOVIKOV - Topological invariance of rational Pontrjagin classes. Dokl.
Akad. Nauk
[7]
G. de Rham
Lausanne.
M. KERVAIRE et J. MILNOR -
Vol. 77
1 et 4.
URSS, 163
0160VAR010C -
(1965),
Combinatorial invariance of the
Nauk URSS, 114
J.-P. SERRE - Groupes
Math. Vol. 58
298-300.
(1957),
d’homotopie
(1953),
et
258-294.
Pontrjagin classes.
490-493.
classes
de groupes abéliens. Ann. of
[9]
L. SIEBENMANN - The obstruction to
of dimension
finding
a
boundary for
(multigraphié).
greater than five. Thèse Princeton
[10]
R. THOM -
[11]
R. THOM - Les classes
open manifold
an
Espaces fibrés en sphères et carrés de Steenrod. Ann. Sci.
Norm. Sup. Vol. 69 (1952), 109-182.
Symp, Intern.
[12]
caractéristiques
de
Top. alg.
de
Pontrjagin des variétés triangulées.
(Mexico 1956),
C. T. C. WALL - Finiteness conditions for
81
(1965),
Ecole
54-67.
CW-complexes. Ann.
of Math. Vol.
56-69.
ERRATA
2 et 3
Page 304-06 - Lignes
de
Whitney...et
du
p*(~ ® T(Sn))/W
âpres
fibré
de la
le
diagramme, remplacer "c’est
trivial de rang k."
somme
de
Whitney
de §
la
somme
par "c’est l’image réciproque
et du
fibré tangent à Sn."
Ligne 5, remplacer "et d’un fibré trivial." par "et d’un fibre’
stablement trivial."
Pages 304-12
et
304-14 -
Dans les
lemmes, ajouter l’hypothèse Idim(W)6."
406