Resolution par la methode de superposition et

LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN
RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION
ET THEVENIN
1 - Méthode de superposition
1.1 - Principe de superposition
Soit le circuit électrique ci-contre, on se propose de déterminer le courant I qui circule.
• D' après la loi d' ohm généralisé :
I
I=
R1
R2
E1 - E2
R1 + R 2
• Qu' on peut écrire :
E1
E2
I=
E1
E2
−
R1 + R 2 R1 + R 2
On peut alors imaginer deux circuits indépendants tel que :
ƒ I1 correspond au courant qui circule dans un circuit (1),
ƒ I2 correspond au courant qui circule dans un circuit (2),
I1
R1
I2
R2
+
R1
E1
I
R2
R1
=
R2
E1
E2
E2
A .N :
• G (E 1 = 12V ; R 1 = 1,5 Ω )
• G (E 2 = 8V ; R 2 = 0,5 Ω )
⇒
E - E2
12 - 8
⎧
=
=2A
I= 1
⎪⎪ R 1 + R 2 1,5 + 0,5
⎨
⎪I = I1 - I2 = 12 - 8 = 2 A
2 2
⎩⎪
1.2 - Théorème de superposition
Dans un circuit électrique linéaire comprenant plusieurs sources indépendantes, l'intensité de courant
électrique dans une branche est égale à la somme algébrique des intensités produites dans cette
branche par chacune des sources considérées isolement, les autres sources étant court-circuités.
1.3 - Application
Soit le circuit suivant, on se propose de déterminer
les intensités des courants dans les trois branches par
la méthode de superposition.
I2
R1
Avec :
R1 = 2 Ω ; R2 = 5 Ω ; R3 = 10 Ω
E1 = 20 V ; E2 = 70 V
I3
I1
E1
R2
R3
E2
Solution :
D’après le théorème de superposition, l'état initial est équivalent à la superposition des états distincts
(1) et (2),
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
12
LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN
I3
I1
I2
R1
R3
=
R1
I"2
R3
R2
+
E1
E2
I"3
I"1
I'2
R2
E1
I'3
I'1
R1
R2
R3
E2
Les courants réels I1 ; I2 et I3 sont données par :
⎧I = I' - I"
⎪1 1 1
"
'
⎪
⎨I2 = I2 - I2
⎪
'
"
⎪I3 = I3 + I3
⎩
⇒
'
'
'
" "
"
Il faut donc calculer : I1 ; I2 ;I3 et I1;I2 ;I3
a) Calcul de I'1 ; I'2 et I'3 dans le premier cas :
E1
20
⎧'
=
= 3,75 A
⎪I1 =
R .R
5 × 10
⎪
2+
R1 + 2 3
15
R2 + R3
⎪
⎪'
R3
10
'
. I1 = 3,75 .
= 2,5 A
⎨I2 =
R1 + R 2
15
⎪
R2
5
'
⎪'
⎪I3 = R + R . I1 = 3,75 . 15 = 1,25 A
2
3
⎪
⎩
b) Calcul de I"1 ; I"2 et I"3 dans le deuxième état :
E2
70
⎧"
=
= 10,5 A
⎪I2 =
R1.R 3
2 × 10
⎪
5+
R2 +
12
R1 + R 3
⎪
⎪"
R3
10
'
. I2 = 10,5 .
= 8,75 A
⎨I1 =
R1 + R 2
12
⎪
R1
2
"
⎪"
⎪I3 = R + R . I2 = 10,5 . 12 = 1,75 A
1
3
⎪
⎩
c) Calcul de I1 ; I2 et I3 dans l'état réel
⎧I = I' - I" = 3,75 - 8,75 = - 5 A
⎪1 1 1
"
'
⎪
⎨I2 = I2 - I2 = 10,5 - 2,5 = 8 A
⎪
'
"
⎪I3 = I3 + I3 = 1,25 + 1,75 = 3 A
⎩
Remarque :
I1 est négatif, donc son vrai sens est l'inverse du sens choisi,
2 – Methode thevenin
2.1 – Introduction
ƒ
ƒ
Les deux méthodes précédentes permettent de calculer tous les courants dans le réseau alors que
ceci n'est pas toujours indispensable,
Souvent on est appelé à connaître le courant dans une seule branche, pour cette raison on se
propose de chercher une méthode pratique,
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
13
LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN
ƒ
ƒ
Considérons un circuit complexe qui comporte des générateurs ou des récepteurs réels. Le
problème consiste à remplacer ce circuit complexe (dipôle actif), vues de ces deux bornes A et B
par un générateur équivalent dit générateur de Thevenin,
Ce générateur possède une source de Thevenin (ETh) en série avec une résistance (RTh),
RTh
A
A
I
I
Circuit
=
Ru
ETh
Ru
Électrique
B
I=
ETh
R Th + Ru
B
2.2 - Principe
Le théorème de Thevenin permet de transformer un circuit complexe en un générateur de Thevenin
dont :
ƒ La valeur de la source de Thevenin ETh (UAB) est donnée par la mesure ou le calcul de la tension de
sortie à vide (la charge étant débranchée),
ƒ La valeur de la résistance interne RTh est mesurée ou calculée vues des bornes de sorties A et B,
avec les conditions suivantes ;
- La résistance de la charge est débranchée,
- Court-circuiter les générateurs de tension, en gardant les résistances internes,
- Débrancher les sources de courants,
2.3 – Applications
2.3.1 - Exercice 1
A
I
On considère le circuit électrique donné par la figure suivante :
ƒ On donne : E = 8 V ; R1 = 4 Ω ; R2 = 12 Ω ; R3 = 9 Ω
ƒ Calculer le courant I qui traverse la résistance R3 en
appliquant le théorème de Thevenin,
R1
R2
R3
E1
B
Solution :
1) Calcul de ETh
On débranche la résistance R3, la configuration sera donc :
A
R2
R1
R2
ETH = UAB
=
E1
A
R2
E1
ETH = UAB
B
B
R2
12
E Th =
E=
=6V
R1 + R 2
4 + 12
2) Calcul de RTh
R3 étant toujours débranchée, on court-circuite E, la configuration sera donc :
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
14
LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN
A
R1
R Th =
R2
R1.R 2
4 × 12
=
=3Ω
R1 + R 2 4 + 12
B
3) Calcul de I
RTh
A
I=
R3
ETh
E Th
6
=
= 0,5 A
R Th + R 3 3 + 9
B
2.3.2 - Exercice 2
Appliquons le théorème de Thevenin pour calculer le courant I du circuit suivant :
On donne : E1 = 20 V ; E2 = 70 V ; R1 = 2 Ω ; R2 = 10 Ω ; R3 = 5 Ω
A
I
R1
R3
R2
E1
ETH
E2
B
Solution :
ƒ Supprimons la résistance dont nous voulons déterminer le courant, soit R3,
ƒ Calculons les grandeurs caractéristiques du générateur équivalent de Thevenin,
1) Déterminons ETh :
I0
R1
E1
A
A
I0
RTh
R2
ETH
=
ETH = UAB
ETh
E2
B
B
20
5
E1
⎧
⎪⎪I0 = R + R = 10 + 2 = 3 A
1
2
⎨
⎪ETh = R3 .I0 - E2 = 10. 5 - 70 = - 160 V
⎪⎩
3
3
2) Déterminons RTh
Supprimons les f.e.m E1 et E2 et calculons la résistance RTh
A
R2
CHAPITRER11 : ELECTROCINETIQUE
B
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LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN
R Th =
R1.R 2
2 × 10 5
=
= Ω
R1 + R 2
12
3
3) calcul de I
RTh
A
160
−
ETh
3 =-8 A
I=
=
5
R Th + R3
+5
3
R3
ETh
B
Remarque :
Le signe (-) veut die que le courant dans la branche 3 circule dans le sens inverse,
2.3.3 - Exercice 3
On considère le circuit électrique donné par la figure suivante :
A
I
R1
R2
R3
E1
R4
E2
ƒ On donne : E1 = 10 v ; E2 = 5 v ; R1 = R3 = R4 = 100 Ω ; R2 =
50 Ω
ƒ Calculer le courant I en appliquant le théorème de Thevenin
B
Solution :
1) Calcul de ETh
On débranche la résistance R4, la configuration sera donc :
A
R1
A
R2
R3
ETh1
E1
R1
E1
R2
R3
ETh
B
=
+
E2
A
B
R1
R2
R3
ETh2
E2
B
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
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LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN
R 2 .R 3
⎧
⎪
R2 + R3
⎪E Th1 =
E1 = 2,5 V
R
⎪
2 .R 3
R
+
1
⎪
R2 + R3
⎪⎪
⎨
⎪
R1.R 2
⎪
⎪
R1 + R 2
E 2 = 1,25 V
⎪E Th2 = R .R
1 2
⎪
+ R3
⎪⎩
R1 + R 2
⇒
E Th = E Th1 + E Th2 = 3,75 V
2) Calcul de RTh
A
R1
R2
R Th =
R3
1
= 25 Ω
1
1
1
+
+
R1 R 2 R 3
B
3) calcul de I3
RTh
A
I=
R4
ETh
E Th
= 0,03 A
R Th + R 4
B
2.3.4 - Exercice 4
On considère le circuit électrique donné par la figure suivante :
A
R3
R1
E2
R2
E1
D
B
ƒ On donne : E1 = 10 v ; E2 = 5 v ; R1 = R3 = R4 = 100 Ω ; R2 =
50 Ω
ƒ Calculer le courant I en appliquant le théorème de Thevenin
R5
R4
C
Solution :
1) Calcul de ETh
A
E1
A
R3
R1
ETh
B
R1
D
=
E1
B
UAB
ETh
C
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
UAD
D
R5
R4
R5
R4
R3
C
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LECON 3 : RESOLUTION PAR LA METHODE DE SUPERPOSITION ET THEVENIN
⎧
⎪E = U - U
AD
AB
⎪ Th
R1
⎪
E1 = 3 V
⎨U AB =
R1 + R 4
⎪
R3
⎪
⎪U AD = R + R E1 = 6,85 V
3
5
⎩
⇒
E Th = U AD - U AB = 3,85 V
2) Calcul de RTh
A
B
R3
R1
R1
D
B
=
A
C
C
D
R Th =
R5
R4
R5
R4
R3
C
R1.R 4
R .R
+ 3 5 = 96,42 Ω
R1 + R 4 R3 + R5
3) calcul de I3
RTh
B
R4
I3 =
ETh
ETh + E2
= 17,4 mA
R Th + R 2
E2
D
CHAPITRE 1 : ELECTROCINETIQUE
18