le nombre de chaînes de bits de longueur n et de poids k

BINOME DE NEWTON ET PRINCIPE DU PIGEONNIER
MICHEL BOYER
RÉSUMÉ. Cours  – durant la demo après l’intra. heures. Les exemples sont
de Johnsonbaugh mais les preuves sont plutôt personnelles.
1. COEFFICIENTS BINOMIAUX
Un résultat important: le nombre de chaînes de bits de longueur net de poids
k(i.e. avec kbits égaux à ) est
C(n,k)=Ãn
k!=n! k!(n−k)! =Ãn n−k!=C(n,n−k)
Clairement, il n’y a pas de chaîne de bit de longueur navec poids k>n; il n’y
en a pas non plus pour k<0. On prendra donc C(n,k)=0 si k>nou k<0.
Exemple ...Il y a Ãn+k−1
k−1!=Ãn+k−1 n!solutions dans Npour l’équation
x1+...+xk=n
Preuve. C’est le nombre de façons de mettre nbilles dans ktiroirs. Si n=5 et
k=3, 0 +1+4 est une façon de découper en trois, 1+1+3 en est une autre.
On peut représenter chaque façon par une chaîne de bits
++ 
++ 
++ 
Pensez aux 0 comme étant des billes et aux 1 comme étant des cloisons. Le
nombre de décompositions est le nombre de chaînes de nzeros et k−1 uns,
i.e. le nombre de chaines de n+k−1 bits avec k−1 uns. Il y en a Ãn+k−1
k−1!
..Le théorème du binôme. On veut maitenant une expressions pour (a+b)n.
Le résultat est simple:
Théoreme ...
(a+b)n=
n
X
k=0
C(n,k)an−kbk=
n
X
k=0Ãn
k!an−kbk=X
kÃn
k!an−kbk
MICHEL BOYER 
On peut s’en convaincre assez facilement avec une représentation adéquate.
Notons a0au lieu de aet a1au lieu de b.
(a0+a1)2=(a0+a1)(a0+a1)=a0a0+a0a1+a1a0+a1a1
On a les produits avec indices ,, et . De même
(a0+a1)3=a0a0a0+a0a0a1+a0a1a0+a0a1a1
+a1a0a0+a1a0a1+a1a1a0+a1a1a1
Il y a 23termes dans la somme, un pour chaque binaire de 000 à 111. De plus
les binaires de poids par exemple correspondent tous à a0a2
1: les trois chaînes
011, 101 et 110 correspondent à a0a1a1,a1a0a1et a1a1a0il y a C(3,2) telles
chaînes. De façon générale le terme an−k
0ak 1correspond aux façons de mettre
n−kzéros et kuns: il y en a ¡n
k¢; on en déduit donc:
(a0+a1)n=
n
X
k=0Ãn
k!an−k
0ak 1
..L’égalité du triangle. Pascal a remarqué qu’on pouvait obtenir les coeffi-
cients binomiaux en remplissant un triangle, appelé triangle de Pascal. En haut
il y a C(0,0) =1. Sur la ligne suivante il y a C(1,0) =1 et C(1,1) =1. La ligne 
contient C(2,0) =1, C(2,1) =2, C(2,2) =1.
On remarque que chaque terme est la somme des deux immédiatement au des-
sus. Seuls les en bordure semblent venir de nulle part; de fait, si on ajoute des
à l’infini à gauche et à droite sur chaque ligne, même les “en bordure” sont
la somme des deux entiers (et ) juste au dessus et on génère tout à partir de
la première ligne; c’est cette règle de la somme que nous énonçons et prouvons
tout de suite.
Théoreme ..(Pascal).Pour tout n ≥0et tout k ∈Zon a
Ãn+1
k!=Ãn k−1!+Ãn k!
Preuve. Ãn+1
k!est le nombre de chaînes de bits de longueur n+1 et de poids
k; il y a celles qui commencent par un 1 et qui sont terminées par les chaînes
de nbits et de poids k−1; il y en a Ãn
k−1!; et il y a celles qui commencent par

BINOME DE NEWTON ET PRINCIPE DU PIGEONNIER
0 et qui sont terminées par les chaînes de nbits de poids k; il y en a Ãn
k!. Il y a
donc au total Ãn
k−1!+Ãn k!chaînes de n+1 bits de poids k.
..Preuve par induction du théorème du binôme.
Preuve. On démontre maintenant par induction sur nque
(..) (a+b)n=
n
X
k=0Ãn
k!an−kbk=X
kÃn
k!an−kbk
Base: On vérifie en effet le résultat pour n=0. L’avantage de prendre C(n,k)=0
si k>net k<0 est qu’on n’a même plus besoin décrire les bornes; on fait la
somme sur tous les kmais il y a seulement un nombre fini de termes non nuls
dans la somme; si on admet (..) pour nalors
(a+b)n+1=(a+b)n(a+b)
="X
kÃn
k!an−kbk#(a+b)
=X
kÃn
k!an−k+1bk+X
lÃn
l!an−lbl+1
=X
kÃn
k!an−k+1bk+X
kÃn
k−1!an−k+1bkk=l+1
=X
kÃn+1
k!an+1−kbkpar Pascal
Remarque: comme les sommes sont infinies (avec un nombre fini de termes
non nuls) on n’a pas à se préoccuper des bornes quand on fait le changement
de variable.
..Applications. On a déjà vu que
n
X
k=0Ãn
k!=2n
On le redémontre comme suit
2n=(1+1)n=
n
X
k=0Ãn
k!1n−11k=
n
X
k=0Ãn
k!
On a aussi
0=(1+(−1))n=X
kÃn
k!1n−k(−1)k=X
kpairÃn
k!−X
kimpairÃn
k!
MICHEL BOYER 
Donc
X
kpairÃn
k!=X
kimpairÃn
k!
i.e. le nombre de sous ensembles ayant un nombre pair d’éléments est égal au
nombre de sous-ensembles ayant un nombre impair d’éléments.
2. LE PRINCIPE DES TIROIRS OU DU PIGEONNIER
..Le pigeonnier simple.
Théoreme ...Si n pigeons s’installent dans un pigeonnier avec k trous, k <n
alors il y a un trou avec au moins deux pigeons.
Théoreme ...Si Xet Ysont finis avec |Y| < |X|et si f : X →Yest une fonction,
alors il existe x1et x2tels que f (x1)=f(x2)et x16= x2.
Exemple ...Si on a  processeurs qui sont interconnectés, au moins deux
sont interconnectés au même nombre de processeurs.
Preuve. Notons les processeurs à et soit N(i) le nombre de processeurs au-
quel iest connecté; on a 0 ≤N(i)≤19; par contre on ne peut pas avoir N(i)=0
et N(j)=19 car jserait connecté à tous les autres alors que ine serait connecté
à personne, ce qui est contradictoire. Donc N prend au plus  valeurs et ainsi il
y a iet jtels que N(i)=N(j). 
Exemple ...Si il y a  cours d’info numérotés de à, il y a au moins deux
cours avec numéros consécutifs.
Preuve. Notons
c1,...,c151
les numéros des  cours. Ces valeurs vont de à. Les nombres
c1+1,...,c151 +1
vont de à. Au total, les deux listes contiennent  nombres et donc contiennent
deux nombres égaux. Comme les nombres c1,...,c151 sont distincts de même
que les nombres c1+1,...,c151 +1, il faut qu’il y ait iet jtels que ci=cj+1. 
..Le pigeonnier général.
Théoreme ...Si f : X →Y,|X| = n et |Y| = m et k = dn/mealors il existe au
moins k éléments x1,...,xkde Xtels que
f(x1)=f(x2)=... =f(xk)
Preuve. Soient y1,...,ymles éléments de Y et nile nombre de x∈X d’image yi.
m
X
i=1
ni=n
Il faut qu’il existe un itel que ni≥kcar sinon on aurait ni≤ dn/me − 1<n/m
pour tout iet Pm
i=1ni<n=m×n/md’où contradiction. 

BINOME DE NEWTON ET PRINCIPE DU PIGEONNIER
Exemple ...On a images P1à P6. On juge qu’elles sont semblables si la dif-
férence de leur luminosité est inférieure à un certain seuil, sinon elles sont dis-
semblables. Montrez qu’il y a trois images mutuellements semblables ou trois
images mutuellement dissemblables.
Preuve. On pose v(Pi,Pj)=1 si les images sont semblables et v(Pi,Pj)=0 si
elles sont dissemblables. On a v(Pi,Pj)=v(Pj,Pi) pour tout iet j. Condidérons
maitenant les paires
(P1,P2),(P1,P3),(P1,P4),(P1,P5),(P1,P6)
Il y en a a moins d5/2e = 3 qui ont même valeur v(P1,Pi). Notons bcette valeur
(0 ou 1).
v(P1,Pi)=v(P1,Pj)=v(P1,Pk)=b
Considérons maintenant
v(Pi,Pj),v(Pj,Pk),v(Pk,Pi)
si l’une quelconque de ces trois valeurs, disons v(Pj,Pk) est égale à b, alors on a
v(P1,Pj)=v(Pj,Pk)=v(Pk,P1)=b
et on a le résultat annoncé. Sinon
v(Pi,Pj)=v(Pj,Pk)=v(Pi,Pk)=b
et on a encore dans ce cas le résultat annoncé. 