le nombre de chaînes de bits de longueur n et de poids k

MICHEL BOYER

On peut s’en convaincre assez facilement avec une représentation adéquate.
Notons a0 au lieu de a et a1 au lieu de b.
BINOME DE NEWTON ET PRINCIPE DU PIGEONNIER
MICHEL BOYER
(a0 + a1 )2 = (a0 + a1 )(a0 + a1 ) = a0 a0 + a0 a1 + a1 a0 + a1 a1
On a les produits avec indices , ,  et . De même
(a0 + a1 )3 = a0 a0 a0 + a0 a0 a1 + a0 a1 a0 + a0 a1 a1
R ÉSUMÉ . Cours  – durant la demo après l’intra.  heures. Les exemples sont
de Johnsonbaugh mais les preuves sont plutôt personnelles.
1. C OEFFICIENTS BINOMIAUX
Un résultat important: le nombre de chaînes de bits de longueur n et de poids
k (i.e. avec k bits égaux à ) est
à !
Ã
!
n
n!
n
C(n,k) =
=
=
= C(n,n − k)
k
k!(n − k)!
n−k
Clairement, il n’y a pas de chaîne de bit de longueur n avec poids k > n; il n’y
en a pas non plus pour k < 0. On prendra donc C(n,k) = 0 si k > n ou k < 0.
Ã
! Ã
!
n +k −1
n +k −1
Exemple ... Il y a
=
solutions dans N pour l’équation
k −1
n
x1 + . . . + x k = n
Preuve. C’est le nombre de façons de mettre n billes dans k tiroirs. Si n = 5 et
k = 3, 0 + 1 + 4 est une façon de découper  en trois, 1 + 1 + 3 en est une autre.
On peut représenter chaque façon par une chaîne de bits
++ 
++ 
++ 
Pensez aux 0 comme étant des billes et aux 1 comme étant des cloisons. Le
nombre de décompositions est le nombre de chaînes de n zeros
à et k − 1!uns,
n +k −1
i.e. le nombre de chaines de n + k −1 bits avec k −1 uns. Il y en a
k −1
.. Le théorème du binôme. On veut maitenant une expressions pour (a+b)n .
Le résultat est simple:
Théoreme ...
n
(a + b) =
n
X
k=0
C(n,k)a
n−k
à !
à !
n n
X
X n n−k k
n−k k
b =
a
b =
a
b
k=0 k
k k
k

+ a1 a0 a0 + a1 a0 a1 + a1 a1 a0 + a1 a1 a1
3
Il y a 2 termes dans la somme, un pour chaque binaire de 000 à 111. De plus
les binaires de poids  par exemple correspondent tous à a0 a12 : les trois chaînes
011, 101 et 110 correspondent à a0 a1 a1 , a1 a0 a1 et a1 a1 a0 il y a C(3,2) telles
chaînes. De façon générale le terme a0n−k a1k correspond aux façons de mettre
¡ ¢
n − k zéros et k uns: il y en a nk ; on en déduit donc:
à !
n n
X
n
(a0 + a1 ) =
a0n−k a1k
k=0 k
.. L’égalité du triangle. Pascal a remarqué qu’on pouvait obtenir les coefficients binomiaux en remplissant un triangle, appelé triangle de Pascal. En haut
il y a C(0,0) = 1. Sur la ligne suivante il y a C(1,0) = 1 et C(1,1) = 1. La ligne 
contient C(2,0) = 1, C(2,1) = 2, C(2,2) = 1.





















On remarque que chaque terme est la somme des deux immédiatement au dessus. Seuls les  en bordure semblent venir de nulle part; de fait, si on ajoute des
 à l’infini à gauche et à droite sur chaque ligne, même les  “en bordure” sont
la somme des deux entiers ( et ) juste au dessus et on génère tout à partir de
la première ligne; c’est cette règle de la somme que nous énonçons et prouvons
tout de suite.
Théoreme .. (Pascal). Pour tout n ≥ 0 et tout k ∈ Z on a
Ã
! Ã
! Ã !
n +1
n
n
=
+
k
k −1
k
Ã
!
n +1
Preuve.
est le nombre de chaînes de bits de longueur n + 1 et de poids
k
k; il y a celles qui commencent parÃun 1 !et qui sont terminées par les chaînes
n
de n bits et de poids k − 1; il y en a
; et il y a celles qui commencent par
k −1
BINOME DE NEWTON ET PRINCIPE DU PIGEONNIER

MICHEL BOYER
à !
n
0 et qui sont terminées par les chaînes de n bits de poids k; il y en a
. Il y a
k
Ã
! Ã !
n
n
donc au total
+
chaînes de n + 1 bits de poids k.
k −1
k
.. Preuve par induction du théorème du binôme.

Donc
à !
à !
X
n
n
=
k
k pair
k impair k
X
i.e. le nombre de sous ensembles ayant un nombre pair d’éléments est égal au
nombre de sous-ensembles ayant un nombre impair d’éléments.
2. L E PRINCIPE DES TIROIRS OU DU PIGEONNIER
Preuve. On démontre maintenant par induction sur n que
à !
à !
n n
X
X n n−k k
n
n−k k
(..) (a + b) =
a
b =
a
b
k=0 k
k k
.. Le pigeonnier simple.
Base: On vérifie en effet le résultat pour n = 0. L’avantage de prendre C(n,k) = 0
si k > n et k < 0 est qu’on n’a même plus besoin décrire les bornes; on fait la
somme sur tous les k mais il y a seulement un nombre fini de termes non nuls
dans la somme; si on admet (..) pour n alors
Théoreme ... Si X et Y sont finis avec |Y| < |X| et si f : X → Y est une fonction,
alors il existe x1 et x2 tels que f (x1 ) = f (x2 ) et x1 6= x2 .
(a + b)
n+1
n
= (a + b) (a + b)
" Ã !
#
X n n−k k
=
a
b (a + b)
k k
à !
à !
X n n−k+1 k X n n−l l+1
=
a
b +
a
b
l
k k
l
à !
Ã
!
X n n−k+1 k X n
=
a
b +
a n−k+1 b k
k k
k k −1
Ã
!
X n + 1 n+1−k k
=
a
b
k
k
Exemple ... Si on a  processeurs qui sont interconnectés, au moins deux
sont interconnectés au même nombre de processeurs.
Preuve. Notons les processeurs  à  et soit N(i ) le nombre de processeurs auquel i est connecté; on a 0 ≤ N(i ) ≤ 19; par contre on ne peut pas avoir N(i ) = 0
et N( j ) = 19 car j serait connecté à tous les autres alors que i ne serait connecté
à personne, ce qui est contradictoire. Donc N prend au plus  valeurs et ainsi il
y a i et j tels que N(i ) = N( j ).
Exemple ... Si il y a  cours d’info numérotés de  à , il y a au moins deux
cours avec numéros consécutifs.
k = l +1
Preuve. Notons
par Pascal
c1 , . . . ,c151
Remarque: comme les sommes sont infinies (avec un nombre fini de termes
non nuls) on n’a pas à se préoccuper des bornes quand on fait le changement
de variable.
.. Applications. On a déjà vu que
à !
n n
X
= 2n
k
k=0
On le redémontre comme suit
à !
à !
n n
n n
X
X
n
n
n−1 k
2 = (1 + 1) =
1
1 =
k=0 k
k=0 k
On a aussi
à !
à !
à !
X n n−k
X n
X
n
k
0 = (1 + (−1)) =
1
(−1) =
−
k
k
k
k pair
k impair k
n
Théoreme ... Si n pigeons s’installent dans un pigeonnier avec k trous, k < n
alors il y a un trou avec au moins deux pigeons.
les numéros des  cours. Ces valeurs vont de  à . Les nombres
c1 + 1, . . . ,c151 + 1
vont de  à . Au total, les deux listes contiennent  nombres et donc contiennent
deux nombres égaux. Comme les nombres c1 , . . . ,c151 sont distincts de même
que les nombres c1 + 1, . . . ,c151 + 1, il faut qu’il y ait i et j tels que ci = c j + 1. .. Le pigeonnier général.
Théoreme ... Si f : X → Y, |X| = n et |Y| = m et k = dn/me alors il existe au
moins k éléments x1 , . . . ,xk de X tels que
f (x1 ) = f (x2 ) = . . . = f (xk )
Preuve. Soient y1 , . . . ,ym les éléments de Y et ni le nombre de x ∈ X d’image yi .
m
X
ni = n
i =1
Il faut qu’il existe un i tel que ni ≥ k car sinon on aurait ni ≤ dn/me − 1 < n/m
P
pour tout i et m
i =1 ni < n = m × n/m d’où contradiction.

BINOME DE NEWTON ET PRINCIPE DU PIGEONNIER
Exemple ... On a  images P1 à P6 . On juge qu’elles sont semblables si la différence de leur luminosité est inférieure à un certain seuil, sinon elles sont dissemblables. Montrez qu’il y a trois images mutuellements semblables ou trois
images mutuellement dissemblables.
Preuve. On pose v(Pi ,P j ) = 1 si les images sont semblables et v(Pi ,P j ) = 0 si
elles sont dissemblables. On a v(Pi ,P j ) = v(P j ,Pi ) pour tout i et j . Condidérons
maitenant les  paires
(P1 ,P2 ),(P1 ,P3 ),(P1 ,P4 ),(P1 ,P5 ),(P1 ,P6 )
Il y en a a moins d5/2e = 3 qui ont même valeur v(P1 ,Pi ). Notons b cette valeur
(0 ou 1).
v(P1 ,Pi ) = v(P1 ,P j ) = v(P1 ,Pk ) = b
Considérons maintenant
v(Pi ,P j ),v(P j ,Pk ),v(Pk ,Pi )
si l’une quelconque de ces trois valeurs, disons v(P j ,Pk ) est égale à b, alors on a
v(P1 ,P j ) = v(P j ,Pk ) = v(Pk ,P1 ) = b
et on a le résultat annoncé. Sinon
v(Pi ,P j ) = v(P j ,Pk ) = v(Pi ,Pk ) = b
et on a encore dans ce cas le résultat annoncé.