Résultats sur la théorie des corps de classe

Séminaire Delange-Pisot-Poitou.
Théorie des nombres
G ENEVIÈVE C AZES
Résultats sur la théorie des corps de classe
Séminaire Delange-Pisot-Poitou. Théorie des nombres, tome
exp. no G1, p. G1-G6
10, no 2 (1968-1969),
<http://www.numdam.org/item?id=SDPP_1968-1969__10_2_A8_0>
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Groupe d’Etudes
THÉORIE
G1-01
de
DES NOMBRES
n° 1,
1968/69,
Année
9 décembre 1968
6 p.
RÉSULTATS
THÉORIE
SUR LA
DES CORPS DE CLASSE
par Geneviève CAZES
Historiquement, cette théorie a d’abord essayé
particuliers, le problème suivant, dit " roblème
de
résoudre,
du
type
dans certains
cas
de corps de classe" :
k ~ trouver un isomorphisme entre des "objets" définis uniquement à partir de k y et des objets définis à partir de certaines exEtant donné
K
tensions
corps de base
un
de
k .
propriétés du corps k (local ou
global par exemple), et les "objets" utilisés (théorie algébrique classique
développée par TAKAGI, où les "objets" sont des idéaux ; théorie algébrique de CHEVALLEY, où ce sont des idèles ; théorie cohomologique, et des Lséries, faisant intervenir la cohomologie de groupes liés à k ).
Ces théories seront différentes suivant les
Exemples
-
(voir plus
de
Théorie locale. -
k . Il y
[
a
est
k
et
local,
entre
isomorphisme
est la fonction
K
de
norme
définitions) :
loin les
K
les extensions abéliennes de
parcourt
k)
et
G(K/k) .
dans
k ,
et
le groupe de Galois de
K~k . ~
-
Théorie globale. -
est
k
et
global,
K
les extensions abéliennes de
parcourt
k .
(a)
[Ifk
Théorie
idéaux : Il y
avec
désigne
désigne
le groupe des
(b)
Théorie
avec
désigne
(c)
et
normes
principaux
d’idéaux de
dit le conduc-
idéal f ,
(a
de
k ~ où
l(f) y
f.l
à
K y premiers
cy ==é
de
idèles : Il y
le groupe
si
k
isomorphisme
a
multiplicatif
Théorie cohomologique : Si
K~)
un
"corps de classe" : à certaines classes d’idéaux
c~or~s K, extensions abéliennes de k.
nom
sont associés des
premiers à
k
G(K/k) .
et
K/k ,
le groupe des idéaux
De là vient le
Ifk/(Pfk NIfK)
entre
isomorphisme
le groupe des idéaux de
teur de l’extension
pr
a
est
G =
local,
ou
J,/(k NJ-)
entre
entre
il y
a
k
G(K/k) .
et
k .~
des idèles de
G(K/k) ,
de
isomorphisme entre
~i q ( G , Z~
et
Hq(G , Z)
C~,,
"-
si
k
est
global,
le
q-ième
et
CK
étant toujours une extension abélienne de k ~
groupe de Tate, défini pour un groupe fini, G opérant
désigne
l’anneau A,
K
désignant
d’idèles de
le groupe de classes
sur
K.
1. Définitions.
(a) Corps
soit
une
sur
Nous
(P)
global. -
F
ne nous
fie
k
global
F(t) ,
extension finie de
où
soit
est,
F
est
un
occupons ici que du
du groupe
v
premier
k
global
transcendant
t
fini et
corps
de Q,
cas.
infinité de valuations
a une
k*
multiplicatif
v(k ~ ~
=
valuation induit
une
topologie
sur
e" ~~ .
(par
k
considère les classes de valuations pour la relation
duisent la même
topologie
sur
k
", qu’on
fier. Ces valuations sont de divers
1° Les valuations
non
(i.
dans le groupe additif des
0 , et que la fonction f(x)
l’inégalité triangulaire, et v(o) == 0 )o
Chaque
extension finie
une
.
Valuations. - Un corps
momorphisme
que
Un corps
notera
avec
la
"
X
e. un
ho-
réels
tel
positif petit, véri-
métrique f(x - y) ) ;
si
v~ ~ v 2
et
v1
on
in-
v2
toujours valuations pour simpli-
types :
archimédiennes
[telles
que la
métrique
associée est
ultramétrique. Dans chaque classe, il existe une valuation canonique
pe des valeurs 11, sous-groupe discret de R , est Z j.
2° Les valuations archimédi ennes, en nombre fini.
dont le
.
"grou--
premières sont en correspondance biunivoque avec les idéaux premiers entiers
de A y anneau des entiers de k sur Z ( A est la fermeture intégrale de Z
dans k, c’est un anneau de Dedekind, de corps des fractions k . Les idéaux fractionnaires de A ~ qui forment donc un groupe multiplicatif avec décomposition unique en facteurs premiers, sont dits idéaux du corps k ) o D’où un premier de k
désignera indifféremment un idéal premier de A ! ou la valuation canonique de la
Les
classe
(y)
dans
correspondante.
Corps
lequel
local. - Pour
v
d’une valuation
restes,
se
chaque valuation v
prolonge de manière uni que c
unique, complet
que l’on
va
définir,
pour la
soit
fini :
de
k
k ,
complété
a un
Un corps local est
topologie associée’ tel
un
que
A
le corps des restes est
k
local,
v
corps, muni
corps de
son
-:2014 .
où
A
v
dé-
v
signe l’anneau de
c’est
un
anneau
la valuation
(i.
local dont l’idéal
e.
lens emble des
maximal
x
de
tels que
k
est formé des
x
de
k
v(x~ ~ 0 ~ n
tels que
v(x)
>
0 . Les éléments inversibles de
c est~à-~dire
maximal,
tés de
contenus dans l’idéal
ceux non
nulle, ils forment
de valuation
ceux
sont
v
le groupe
Uv
des uni-
ou
complexe) y
k .
v
Un corps
soit
A
une
ou Q (pour
soit R
est,
extension finie de
&
(pour
non
v
archimédienne
v
réelle,
archimédienne).
Il est localement
compact.
(s)
Idèles. - Notations ?
k :
groupe
U : si
est
multiplicatif
est
v
des éléments
archimédienne,
non
non
nuls de
k ;
est le groupe des unités de
U
k , U
compact,
si
v
est archimédienne
U
complexe,v
si
v
est archimédienne
réelle.
groupe Fi / ,
v
v
Dans le
J== (a) = ( ... ,
muni de la
sauf pour
v,
localement
v
k .
auquel
sauf pour
U
E
a
0
suivante : Un ouvert
nombre fini de
séparé,
U =
=
le sous-groupe
...) ,
a ,
topologie
un
est
Jk
soit
~-
cas
de
0
Jk
est
un
nombre fini de
s’écrit 03A0 Ov , avec 0 U
v~
ouvert de
=
v
k" .
un
c’est le groupe des idèles de
compact :
v ,
k .
2. Théorie globale.
Le but de
ce
groupe des idoles de
K
lienne
de
est d ~ établir
paragraplxe
la
siennes de groupe de Galois
chap.
générale. -
viendrons
entre
G(K/k)
de
un
groupe
chaque
quotient
du
extension abé-
définition des extensions
abélien’
et la
abéliennes, extensions galoidécomposition des premiers, voir [2],
VI].
V et
Idée
isomorphisme
et le groupe de Galois
k,
[pour
k
un
Voici
un
ultérieurement.
aperçu de la démonstration donnée
en [l]y
l’ensemble des valuations de
Soient
nous
k, et
re-
y
S
un
ensemble fini de valuations contenant les valuations archimédiennes. On définit
d’abord
une
l’ensemble
tions
non
miers de
fonction de
IS
S
mk -
des idéaux de
archimédiennes de
S ).
les
v-composantes,
momorphisme de
J
Si
JK
dans
puis
on
la
prolonge par linéarité à
engendré par les valuaidéaux engendré par les pre-
premiers à l’idéal f
k
S
G(K/k) ,
(i.
e.
désigne le
ES, sont
pour
v
dans
G(K/k) .
En
le groupe des
sous-groupe de
formé des éléments dont
,mités, on va pouvoir
effet, on a l ’application
des
en
CD :
déduire
un
ho-
J, ~ IS ,
(où
désigne l’idéal premier de k associé à la
l’homomorphisme de 1 dans G(K/k) , elle définit
G(K/k)
=
dans
fi
G . Or
voit aisément que
on
(définie
(x y
~
x
par
J
fi k"
=
un
et que
x
l’image
avec
J
de
homomorphisme
...) )
x , x ,
v )~ composée
valuation
v
dans
k’
de
(théorème
est dense
de fai-
chap. II, § 6, lemme). Si on munit G de la topologie discrète, pour définir un homomorphisme continu de J. dans G , qui prolonge celui
de
dans G y il suffit donc de le définir sur l’imege de k~ . On démontre en
effet ([l~ chap. VII, § 4, proposition 4.1) qu’il existe un tel homomorphisme,
prenant la valeur 1 sur l’image de k* dans Jk’ donc pouvant être défini de
ble
0
approximation,
G(K/k) .
dans
=
de classes d’idèles de
k.
Fonction de k - S
dans
application (voir
K.
S
revenons sur
K
la construction de cette
extension
une
galoisienne
de
k ,
de
premier
au-dessus de
K
G(K/k)
le sous-groupe de
e.
v , et
le groupe de
D03C9
formé des
G(K/k) ,
ce ~
avec
(jj ) .
G(K/k) .
dans
v
un
w
Ci.
de w
On sait que tous les
(D
chap.
S ,
v
décomposition
=
G(K/k) . - Nous
6~ § 3). Soient
est le groupe
C
est fini.
Soient
JUI
l ’homomorphisme j d ’Artin,
l’ensemble des valuations archimédiennes et des valuations ramifiées dans
S
et
~2~
C~est
K y
on
premiers au-dessus
(qui
sait que
est
fg
y
On montre facilement que
est
non
v
désigne
f
de Frobenius. Ces éléments
de
v ; plus
abélienne,
alors
ne
précisément,
o,1 tU
== o- . et
avec
décompose
~...u)
degré de ramification de
se
k(v)
et
K(w) sont les corps
(voir [2], chap. VI,
respectivement, qui sont finis. Donc
est cyclique, avec un générateur canonique
au-dessus de
l’extension est
le
jD y
des notations évidentes. Comme
avec
où
et 03C9
§ 1, ex. 3) ,
appelé substitution
u)
G(K (:’ Ik) v
=
w
où
ramifiée,
de restes de
férents
D
sont de la fonne
v
ramifiée, rappelons-le)
non
[G(K/k)] ,
=
de
e
a
W
G(K/k)y
sont pas les mêmes pour les dif-
on a
on
o’’"
o, OE’
aura défini
=
a
1J
une
a’ . Mais si
application
dans
On montre que cette
application
est
est
surjective. De plus, si cest d’ordre f ; or f est le degré de ramifica-
d’ordre
f
tion de
v , et le nombre de premiers
dans
G,
alors
D
w
=
g , intervenant dans la
décomposition
de
v ,
.
Si il désigne le noyau de
égal à
(i. e. les idéaux v pour lesquels f = Z ~ g [G] , donc qui sont totalement décomposés) , les idéaux qui appartiennent à la même classe suivant N se décomposent dans K de la même manière,
car la valeur de
est la même. Ceci est un résultat important de la théoest
=
rie. Si
K
est
F /extension
(v)
tel que les
sous-groupe
(voir [1],
Enoncé des résultats
J~/(k~
et
G(K/k) [ou
Pour
tension abélienne
N ==
( l~
NK/k C k
(c)
Il y
a un
K/k
unique
la même classe suivant
k ],
de
k ~
il y
un
N
se
Y(NK/k CK)
et
G(K/k) ,
désigne l’idèle
JK
G(K/k)
telle que
isomorphisme entre
a un
ouvert d’indice fini de
"groupe
est le
K
entre
N
chaque sous-groupe
n’a pas pu trouver
on
5).
chap.
le groupe des classes d’idèles de
(b)
abélienne,
K .
chaque extension abélienne
Pour
non
premiers appartenant à
de la même manière dans
décomposent
(a)
galoisienne
une
C- ~
si
de
désigne
C~
k .
il existe
une ex-
avec
isomorphe à
nonnes" attaché au "corps de classe" K ).
des
soit
sont des extensions abélien~-
diagramme commutatif, si k ~ K , K’
nes :
qui permet
nes
de passer à la limite inverse
finies de
k :
d’indice fini de
On trouve
en
Ck/N ~ G(Kab/k) ,
lim
C y
et où
est
K~)
k /(~/~
définit~
on
de
J-
i~.(x)
On
dans
a
==
(l y
donc
un
au
où
N
parcourt les extensions abélienparcourt les sous-groupes ouverts
l’extension abélienne maximale de
D
est la
composante
connexe
k .
de l’élé-
C .
3. Théorie locale. Lien
k
désigne
G(K~ /k) ~ C~/D ~
fait
ment neutre dans
Si
où
K
K
quand
corps
avec
local,
la théorie
a
on
k y
... ~
des résult ats analogues à
C).
lieu de
de manière
globale.
évidente, ’
des
est
globale
homomorphismes "
iv
de
(a) y (b)~ (c)y
avec
pour
kv
dans
J, k ~ .
et
"v 1
par
1~ x y 1~
1 y
... y
...)
j~(... y
et
’
;
x
y
...)
=
x
.
v
G1-06
où
#
dans
G’
K
de
est l
en
pour
momorphisme
’homomorphisme
réalité de
d ’Artin. Alors
dans
k
v
-
v
v
(elles
le
corps
K
local d’Artin de
k
dans
de
k ,
non
de classe de
Hilbert
nombre de classes d’idéaux de
cipaux, qui forment
un
groupe
de
aax
homomorphisme
est l’une des
isomorphes).
k
de
v
complétions
Ce
03C8v
K
w
est l’ho-
v
exercice
premiers
k . Son
(1.
fini).
k
un
v
G(Ô/k ) .
v
ramifiée
est
1
sont toutes
Résultat particulier intéressant (voir [ 1 ],
maximale
03C80
G(Ô/k v) , où Kv
au-dessus de
w
..’i
e,
degré
les
non
sur
3) . -
L ’ extension abélienne
archimédiens de
k
idéaux de
est
k
k , s’appelle
fini, et
est
égal
modulo les idéaux
au
prin-
BIBLIOGRAPHIE
number theory. Edited by CASSELS (J. W. S.) and FRÖHLICH (A.). Book Company, 1967.
London, Academic Press ; Washington, Thompson
1967
SAMUEL (Pierre). - Théorie algébrique des nombres. - Paris, Hermann,
[1] Algebraic
[2]
(Collection
"Méthodes".
Mathématiques).
(Texte
Mlle Geneviève CAZES
Ass. Fac. Sc. Paris
12 rue du
75-PARIS 14
remis le 22
juillet 1969)