La conjecture de Poincaré topologique en dimension 4

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
L AURENT S IEBENMANN
La conjecture de Poincaré topologique en dimension 4
Séminaire N. Bourbaki, 1981-1982, exp. no 588, p. 219-248
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Séminaire BOURBAKI
34e
année, 1981/82,
n°
588
Février 1982
POINCARÉ
LA CONJECTURE DE
[d’ après
TOPOLOGIQUE EN DIMENSION 4
M.H.
Freedman ]
par Laurent SIEBENMANN
A la fin de l’été
toute 4-variété lisse
sphère
S4 -
{x
est
d’exposer
ne
R5 | |x|
E
C°°)
classe
=
1},
sa
sait pas
preuve.
encore
S4 ~ M4 9t S4 ,
si
(Dans
M4
est
H. Freedman
et métrisable
qui
a
réussi à démontrer que
le
type d’ homotopie de la 4ce qui s’écrit
homéomorphe à
lisse et =
S4 . Mon but principal
a
S4 ,
est nécessairement
à l’aide de symboles :
succinctement
On
1981, à San Diego, Michael
(de
M4
S4 ,~
exposé, toute variété sera métrisable et
toujours difféomorphe (~) à S4 , i . e . si
cet
de dimension
M4 lisse et
contre, Freedman sait démontrer pour toute 4-variété topologique M4
(sans structure lisse donnée) que
S4 ~ M4 ~ S4 (voir plus loin) .
H. Poincaré [Poi] a surtout signalé la conjecture selon laquelle, pour toute Mn variété lisse,
Sn . Le premier cas non trivial, la dimension n 3 , reste, pour
autant que je sache, une conjecture encore ouverte aujourd’ hui, malgré des efforts incessants
~
Par
=
d’innombrables mathématiciens. Un détail amusant est que les contre-exemples de J . H . C
à sa propre preuve erronée de cette conjecture joueront un rôle capital dans
Whitehead
cet
[Wh~ ]
exposé (dès § 2).
J. Milnor
~ S~ ,
mais
a
découvert
fi S~
en
1956
des variétés lisses
(de telles "sphères exotiques"
Ainsi la conjecture de Poincaré ci-dessus
a
existent
en
~~ qui sont
=
S~
et même
dimension ? 7 selon
dû être révisée pour les dimensions n ~ 7 .
1959, S. Smale [Sm] a établi sa "théorie des anses" pour démontrer que, pour
Mn lisse, n~ > 6 ,
Son résultat technique, le théorème du h-cobordisme (voir plus loin) est plus précis ; en le combinant avec les
techniques de chirurgie de
Milnor, Kervaire et Milnor [KeM J ont établi pour n = 6 et 5 la version originale de la
conjecture de Poincaré. En 1965, M . H . A . Newman
a su adapter la méthode
"d’ engouffrement" de J. Stallings pour prouver la version purement topologique :
Mn variété topologique = Sn ~. i1~ ~ Sn (depuis 1969, les méthodes de Smale s’adaptent
En résumé, disons que la conjecture de Poincaré est résolue
aussi, cf.
pour les dimen.
sions ~ 5 , pas du tout résolue ( !t ? ) en dimension 3 , et dorénavant
partiellement résolue en
En
dimension 4 .
J’esquisse
maintenant la preuve de
que des 4-variétés
lisses, closes
et
Freedman ; elle comporte la classification topologisimplement connexes, et bien d’autres résultats de pre-
mière importance. Soient V et V’1 deux telles variétés (disjointes). On
suppose qu’il existe
un isomorphisme 8 :1
entre leurs groupes d’homologie en dimension 2
res-
H2V -~ H2V’
pecte les formes bilinéaires d’ intersection
qui
des
2-cycles (
219
V ~
S4
~
H2(V)
=
0).
L. SIEBENMANN
THEOREME
coniecture
1.
La théorie de la
de bord c)W
topie,
=
situation,
Qu’il l’est
par un
est réalisé par
V 11 V’
g. La triade compacte
V : V ~ V’
homéomorphisme
(on
V - V’
o.
équivalence d’homotopie g :
offre ensuite
W
V’
5-variété compacte W
une
sont des
équivalences
(quelconque) rétraction
d’une
(W; V, V’ )
une
par
1 [Br ])
telle que les inclusions V
r)
un
difféomorphisme) .
chirurgie (voir [Wa
et telle que la restriction
homotope à
8
Il n’est pas difficile de réaliser 6
Preuve.
[MiHl
Dans cette
encore
r :
d’ homo-
W
~
V’
est
est
appelée un h-cobordisme. La théorie
des anses de Smale essaie d’améliorer une fonction
générique (de Morse) f : (W; V, V’ ) -~ (I; 0,1),
1
[0, 1 ] , pour arriver à une situation où f n’a aucun point critique, i . e . f est une submersion lisse ; W est alors un fibré lisse sur 1
V x I .
(remarque d’ Ehresmann), d’où
=
Nous allons trouver
gique
plutôt
(voir
1
sur
THEOREME
2.
è)W5 = V 11 V’
x
submersion
[Si],
Soit (W5;V, V’ )
(et V = W = V’
Pour n ~ 6 à la
W ~ V
une
§6 ]),
~0,1 ~ .
place
f
qui
assure
que W est
Alors,
un
fibré topolo-
on aura :
un h-cobordisme lisse compact et simplement
par inclusions .
W ~ V
5,
5 , ses méthodes s’appliquent
de
En dimension
topologique
d’où W ~ V x I . Ainsi,
connexe avec
(0,1 ~ .
x
le théorème du h-cobordisme de Smale affirme mieux :
mais
laissent,
pour prouver
le
PROBLEME RÉSIDUEL
LISSE
(non résolu).
Soient S
= JJL S. et S’ = ~ S’
~ ~ 2014
~ ~
i
1, ... ,k , deux familles de 2-sphères disjointes plongées dans une 4-variété simplement
connexe M (en fait f(point) ) de façon que les nombres d’ intersection
homologique S..S’j
sont 0 pour i 1= j et ±11 pour i = j. Peut-on réduire S n S’à k
points d’intersection
(lisse et transverse) par une isotopie lisse de S dans M4 ?
V x [0,1 ] , on constate (consulter l’expoSimilairement, pour assurer seulement
201420142014201420142014
=
[Mi2J
sition dans
et
qu’il
suffit de résoudre le
PROBLEME RÉSIDUEL TOPOLOGIQUE (résolu ici). Avec les données du problème lisse,
réduire S n S’à k points par une isotopie topologique de S dans M , qui est donnée par
une isotopie ambiante
1 ~ t ~ 1 , de id ) M fixant un voisinage de k points de SUS’.
Whitney
a
introduit
une
(R 2 ;A,A’ ) : (c’ est
dégager A
l’infini) ;
de A’
on
par
une
élimine ainsi
méthode naturelle pour résoudre
une
droite A
coupant
une
ces
parabole A’
isotopie lisse à support compact (i . e .
les 2 points d’intersection :
(R4;A ,A’) = (R2
modèle de Whitney stabilisé
topie à support compact qui dégage le plan
tersection transverse de A
et
+
A’+ .
A+
x
R2 ; A
du
plan
problèmes.
en
fixant
"~~~~* .
x
0
x
A’+
2
points),
un
on
peut
voisinage
On déduit que dans le
R 1, A’ R1 x 0) ,
x
en
Dans le modèle
il y
a une
iso-
supprimant les deux points d’in-
appelons procédé de Whitney lisse [ou topologique] un plongement lisse [ou toposomme disjointe d’exemplaires du modèle
dont l’image contient
SUS’- (k-points) . Un tel procédé donnerait visiblement l’ isotopie exigée pour résoudre le
Nous
logique]
(R4;A,A’)
d’une
problème résiduel
lisse
[respectivement topologique] .
CONJECTURE DE POINCARÉ
THÉORÉME
(A.
3
alable de S dans
(aioutant
première étape
lisse et compact dans la
de
AUA’.
~ H =+0B
cise).
x
On est
ce
ce
contexte, après
procédé topologique
(1973-76)
de la preuve
B xR2 ,
Dans
S’),
composante bornée
plongée (comme
2-anse ouverte
Dans
des points d’ intersection avec S’
à celle de Whitney, loin de S n
La
Freedman).
Casson et M .
M4
sous-variété
Casson
a
isotopie lisse pré-
de Whitney devient
est due à Andrew Casson.
R2 - (A U A’ ) .
de
une
par une démarche inverse
fermée)
dans
Soit B
produit
le modèle de Whitney,
2-disque
un
Le
est
et
une
disjointe
H = B x R2 - n
des ouverts curieux
construit
possible.
de bord
qu’on appelle des anses ouvertes de Casson (voir § 2 pour la définition préencore incapable de décider si toute H est N B x R2 ou si contrairement
R2 .
En remplaçant B x R2 par H c B x R2 dans le modèle de Whitney
(R4;A,A’ ) , on a
un ouvert (R4-03A9 ;
un modèle de Whitney-Casson. Par un processus
qu’on
appelle
A+,A +)
n’ est N
H
aucune
infini tout à fait
THÉORÈME
dans
M,
B
x
remarquable,
([CaG],
DE CASSON
on
de façon lisse,
A. Casson
(M
peut trouver dans
de sorte que
ces
cf.
a
démontré :
[Man]) . Après
isotopie lisse préalable de S
;S,S’) des modèles disjoints de Whitney-Casson plongés
une
modèles contiennent tous les points de S n S’ sauf k .
Le théorème de Casson et Freedman découle maintenant du théorème que je vais exposer.
THEOREME
THÉORÈME 2* .
Soit
simplement connexe qui
Alors W ~ V x
avec
Il
Whitney,
closes et simplement
esquissée
vue
(cf.
Elles
x
Il
en
1-système
V4 - (point)
[Si1] ,
dans
tout
en
imite la preuve du théorème
évitant de faire successivement deux
x
E
admettent
(est-ce inévitable ?)
une
structure lisse
classifient par la forme d’intersection
Kirby-Siebenmann
Z/2 ,
[KiS ~ ;
, sauf pour les formes paires,où
V4 = S4
est dans cette
sur
le
jointe à
toute forme unimodulaire sur Z
classe,
car
s’immerge donc dans R4 (cf. [KiS, V ~ ) .
découle aussi (voir
J ) que toute variété lisse
[Fr1] [Si4
est le bord d’une 4-variété topologique contractile
et
H~ (V3) H* (S3)
=
Un
de
qui
se
variété topologique
(point)
un h-cobordisme lisse propre et
trivial à chaque bout.
[ Fr 1 ~ [Si4 J)
est réalisée ainsi que tout
=
V 11 V’
la perte de différentiabilité occasionnée par le théorème 3 .
la classification topologique des variétés topologiques
connexes
complément d’un point.
l’obstruction au lissage
Toute
=
ouverte de Casson est homéomorphe
(difficile) proposée par Freedman (octobre 1981)
découle
en
c)W
anse
[0,1] .
La preuve
de
Toute
nombre fini de bouts et
a un
du s-cobordisme propre
procédés
(1981).
DE FREEDMAN 4
sur
x
=
H2
signature/8 E Z/2 .
V~ - (point)
est
V3 telle que
W4 .
Reportage: Mike Freedman a annoncé sa preuve de la conjecture de Poincaré topologique
août 1981 à une conférence de l’ A . M . S . à l’Université de Californie à San Diego, où
D. Sullivan faisait une série de conférences sur le théorème
d’ hyperbolisation de W. Thurston.
Son argument était éblouissant, mais pas encore totalement étanche. Un peloton
de connaisseurs a alors formulé quelques objections qui ont fait
surgir l’énoncé du théorème
d’approximation 5 .1. Or, Freedman avait déjà dans l’oeuf son astuce de réplication
en
L. SIEBENMANN
et, en quelques jours, il en a fait naître une preuve formelle
imposante. Entretemps, R.D. Edwards avait trouvé une faille dans les arguments de rétrécissement (§ 4) et, en grand expert de cette méthode, a réparé cette faille avant même de l’avoir
signalée (je crois qu’il a introduit en particulier les arguments de rétrécissement relatif) .
A la fin du mois d’octobre 1981, Freedman a exposé les détails de sa preuve, avec
charme et patience, à une conférence spéciale à l’Université de Texas à Austin (l’école de
R.L. Moore) devant un auditoire de spécialistes dont, à la place d’honneur, A. Casson et
R.H. Bing, créateurs de deux théories essentielles à la preuve .
Cet exposé relate la preuve donnée au Texas ,
avec les améliorations de détail
racontées en coulisse. Déjà en septembre 1981, R. Ancel.
avait clarifié et amélioré
les complexités administratives du théorème d’approximation 5 .1. En particulier, il a pu
alléger une hypothèse de Freedman exigeant que les préimages des points singuliers constituent une décomposition évanescente (= "null") , en signalant (voir 5.7) que S(f) dénombrable ou de "demension" 0
suffit. J. Walsh a contribué à quelques simplifications
des arguments de rétrécissement (fin du § 4). W. Eaton m’ a suggéré les 4-boules
qui aident à comprendre les rétrécissements relatifs (4.8, 4.10). J’ai proposé la co-ordinatisation globale de l’anse ouverte de Casson (il s’agissait initialement d’y plonger une peau
[Ed1 ]
d’ anse).’
Ma
rédaction (janvier 1982) ne semble rien changer d’essentiel à mes souvenirs
du Texas. Seule ma construction des 2-disques correctifs (les
de § 3 . 9) en dévie,
probablement pour des raisons de goût. Je dois à Alexis Marin des critiques perspicaces
et fraternelles .
§
1. - TERMINOLOGIE
(adoptée
sauf indications
contraires).
métrique, notée génériquement d . Les applications
sont toutes continues. Le support d’une application f : X -~ X est l’adhérence de
{x E Xf(x) ~ x } ; le support d’une homotopie, ou isotopie ft : X -~ X , 0 ~ t ~ 1 , est
Les espaces admettent tous
{x
l’adhérence de
X
E
une
x , ’3 t E
[0,1 ~ } .
o
-
Pour
A, on définit l’adhérence A, l’intérieur A et la frontière
sous-entendu (le plus grand en vue). Si A est
rapport à l’espace ambiant
0
sous-ensemble
un
ô A, toujours par
variété, il faut souvent distinguer A de l’ intérieur formel int A et BA du bord formel
ôA. Une décomposition ~ d’un espace X sera une collection de compacts disjoints dans X
est obtenu en
qui est "use" , i.e. semi-continu supérieurement ; l’espace quotient
une
de
D
tout
l’application
en
un
élément
métrique)
;
identifiant
(voir [MV] pour
point
quotient X -~ Xlt naturelle est fermée, ce qui équivaut exactement à la propriété "use" .
L’ensemble des composantes connexes d’un espace A est noté r~o(A) . Si A est un compact,
est un comfr o A est en même temps une décomposition de A pour laquelle le quotient à
Si
ensemble
comme
s’identifie
pact de dimension 0 (totalement discontinu), qui
La
A
c: X , w A donne une décomposition de X dont l’espace quotient est noté X/ ôA .
’
une
compactification
par bouts
apparaît
au
§
2 .
Les variétés et sous-variétés mentionnées seront
Quant
aux
variétés,
nous
(sauf indications contraires)
adoptons les conventions usuelles
en
lisses.
particulier,
1} ;J 1 ( 0,1 ~ .
d(x,y) =)x-y) ;; Bn {x E
Un disque multiple est une somme disjointe finie de disques (chacun ~ B2) . Similairement,
pour anse multiple, etc. Le symbole ~ indique difféomorphisme ; = indique équivalence
Rn =]Rn
avec
d’ homotopie ;
la distance euclidienne
et -
indique homéomorphisme.
=
=
CONJECTURE DE POINCARÉ
LES ANSES DE CASSON ET LA MITOSE DE FREEDMAN.
§2.-
B2 , D2
exemplaires
Nous utiliserons deux
La 2-anse standard est
du
2-disque lisse {(x,y)
bande d’attachement
sa
E
est
~_
-
sa
c)
peau
est
Bx
Une 2-anse est
son
Une 2-anse ouverte est
Pour
etc...,
se
une
couple
un
une
qui est
difféomorphe à (B2 x D2,
difféomorphe à B2 x intD2 = B2
qui
est
(éventuellement ouverte),
2-anse
définissent par
un
x
Bx0.
âme est
(H4, ~ H4)
variété
1 }.
R2 ~1
(~B2) D2 ;
isomorphisme
la bande
avec
~ ) = (B2,
âme,
(éventuellement ouverte).
d’attachement, la peau,
l’anse’ standard
une
exposé, nous pouvons nous permettre d’omettre l’épithète" 2-" ; les anses
d’indice ~ 2 n’apparaissent guère . , Aussi, on écrit D2 à la place légitime de int D2 .
Dans cet
Une
multiple
multiple
anse
X C
(H ,0 H4)
multiple
H4
dans
une anse
dans chacune de
défaut multiple dans
est
un
une anse
difféomorphisme,
Inaication àe preuve
0 :
non
long
en
U X’
effet,
=
un
on
8:
et
(H - X ; ~
X
en ce sens :
H, ôX) -
difféomorphisme 0398 :
Si
on
attache
constate que
un
défaut
un
défaut
a :
H4
est
un
(H’ - X’ ; 0 H’, bX’ )
H - H’
une anse
si X’1
gui prolonge 8 .
multiple (X’ , ~ X’ ) à
-
façon qu’il n’ existe
une somme connexe
disjointes ;
donne par intersection
compact qui
données, on
(H’ ,~-H’ ) et que
(voir [CaG]).
H’,
un
ces
H ,ôX) détermine
de la frontière ô X de
H N = (H - X)
trivial ;
Pour
il existe toujours
o
H - X le
finie d’anses
une somme
multiple est
ces anses.
(H4-X ; ~
LEMME 2.0. La triade
est
aucune
(OH’~-H) ~
de k noeuds
non
extension de 8
(S , tore solide)
triviaux ,
1 S
est
à
un
noeud
L. SIEBENMANN
Une
un
anse
de Casson est
défaut résiduel n
induit
c
H et
couple
plongement
tel
un
un
qu’ il
existe
ouvert lisse
une anse
(H, à H)
H d’ image H -
avec
n , qui
i~ ~ : ~ H~ -~ ~-H . En d’autres termes, (Hco’
(H-S~, ~-H) .
La donnée de (H, ~-H) , de la gigogne de défauts
et de
H consti{Xi } ,
tue ce qu’on va appeler une présentation de l’anse de Casson
On
va
d’ailleurs
(Hoo’
noter
et
(H
La
variété
est
appelée
~-H~ ; alors,
Hk i~~
Xk) 0
Hk
Uk
un
isomorphisme
=
=
la tour d’ hauteur k,
Hk
sera
notée
ses
=
étages sont
E. J
(X J .-1- X J.) , j _ k ;
=
ik: Hk -~ H .
la restriction de
à
°
~
Rappelons que la compactification par bouts M d’un espace connexe localement connexe
et localement compact
M est la compactification de’freudenthal (= "end compactification" )
qui ajoute à M l’espace compact 0-dimensionnel Bouts(M) lim proj
K compact
dans M} . (N . B . Dès que K’ =)K est un voisinage de K , l’image de
=
.
finie.)
est
Voici
une
définition commode de M. Soit
M~
la
somme
{~~(~I-K) ~
~r0(M-K’) ~ n~(M-K )
amalgamée
M o des
de M avec
compactifiés d’Alexandroff par un point de chacune des composantes connexes
K ;
alors M lim proj
{MK1 K compact c M} .
s’ identifie (par i~) au quotient de H4 obtenu en écrasant chaque composante
connexe de 03A9 en un point . (Pour vérifier ceci, il convient de
remarquer d’abord que
avec sa topologie compacte est lim proj
H ~ U ouvert ~ ~ } . )
{~~(U) ~
est la compactification d’Alexandroff par un point, précisément si
Remarquons que
Q C H est connexe ou encore si chaque défaut multiple successif
Xi est un seul défaut
Le
lecteur
se
sent
les
rebuté
à
(connexe).
qui
par
complexités venir a intérêt à se restreindre
d’abord à ce cas, qui illustre déjà toutes les idées géométriques.
jouit de toutes les propriétés homologiques locales d’une variété ; c’est ce qu’on
une
variété homologique ; mais son bord formel, l’adhérence de
n’est pas une
appelle
N
variété topologique près des bouts. Par exemple, si 0 est connexe,
est,
à
par définition même, une des 3-variétés contractiles de J.H.C. Whitehead
non trivial à l’infini ; ~
S3
est un compact de Whitehead. (Dans le
0 c:
03C01-système
cas général 0
est appelé un compact de Whitehead ramifié.)
~
Ainsi, ((H4 - 0) , 0 H) n’a aucune chance d’être une anse topologique.
Par contre, H4 U d~) ~ B~ x R2 ; ce sera le résultat central de cet exposé :
=
Hgo
~
~
,
~Wh2 ~ ,
(~+H4
THÉORÈME
Toute
2 .1i
(M.H. Freedman, 1981).
anse
ouverte
La preuve de 2 .1
une
de
4-variété lisse
degré ± 1 ,
sans
M
de Casson est
part d’un résultat
S3 x R
bord
J
voir
Une tour de Casson de hauteur
B2 x D2 ~ 0 B2 x R2 .
.
de l’année
qui
[Fr ]
k,
homéomorphe à
ou
est
1978, quand Freedman a pu construire
pourtant l’image d’une application propre
[Si,] .
plus brièvement
une
est
un
couple difféo-
CONJECTURE DE
THEOREME
DE MITOSE
peut toujours
y trouver une
H;2 - H6
(3)
(version finie)
C12’
soit
est contenu dans
2.2.
POINCARÉ
(H6,~ H6)
Soit
(H ~ 2, ~_H 12) ,
une somme
telle
disjointe
C6
une
deplusieurs
boules dans
une
boule pour contenir chaque composante connexe..
Hk
peut s’exprimer
La condition
Voici
un
(3)
est liée
le
comme
au
plus fastidieuse que les
l’aborderons point dans cet exposé.
Tout
Remarque.
sans
Puisque
nous
X6k~ , k = 0, 1, 2, ....
(H~,a
DE MITOSE
comme
permettent de donner la preuve
analogues dans
de
2 . 2 ; pourtant
~Fr 1 ~ ~ Si4 ~ .
preuves
Dorénavant,
(Ainsi
le
(version infinie)
ci-dessus,
et soit k ~ 0
sens
2.4.
un
on
de
Nous
ne
Soit
Hk et Xk à la place de
ik etc . est changé.)
(H~, ~-H~) une anse de Casson
écrit
entier. Il existe
une
autre
anse
de Casso n
vérifiant les conditions :
Cette version infinie 2.4 découle de la version finie 2.2 , par
on
variété
allons utiliser 2.2 à tour de bras, il convient de faire le
°
THÉORÈME
la
~ CaG ] .
couple (k,2k) , k > 6, mis à la place de (6,12) dans 2.2, donne un énoncé
trop de peine, et qu’on pourrait utiliser à la place de 2.2 dans la suite.
CHANGEMENT DE NOTATIONS 2.3.
présentée
cf.
int H6 ’
diagramme schématique de Freedman qui résume 2.2.
encore
qu’on déduit
On
Q
(H.,c) Hk) ,
fait que, pour toute tour de Casson
voisinage régulier d’ un 1-complexe,
Les méthodes
elle est
de Casson.
que :
rétrécit suffisamment les boules offertes par 2.2 pour
assurer
une
répétition infinie ;
3) de 2.4.
la condition
L. SIEBENMANN
§ 3. -
L’ARCHITECTURE DE LA CO-ORDINATISATION TOPOLOGIQUE
Les constructions ambitieuses à venir appliquent le théorème de mitose 2.4 et de la
géométrie élémentaire pour ramener le théorème 2 .1, que toute anse ouverte de Casson M4
est homéomorphe à B2 x R2 , à deux théorèmes d’approximation par
homéomorphismes.
Quant aux anses de Casson, nous utiliserons la terminologie du § 2 sous sa forme
modifiée
en
(par
2.3
une
de Casson
L’anse
Casson
(non ouverte).
Soustrayant
très pincé
vers
C (N, 0- N)
fixe
une
ouverte M4
Soit N la
N ,
on
dont l’adhérence dans
un
sera
(topologique)
obtient
N
(Hoc’
de
est la
(N, è - N) qui,
en
une anse
collier de
de Casson
H~)
compactification par bouts
de construire
quelque sorte, explorent
son
un
système
de
H
dans
(M, à M)
C
de
N ,
C
H~ .On
ramifiant d’anses de Casson
intérieur.
(a1’ a2’ ak) dans {0,1} (suite dyadique finie),
peut définir
présentée de Casson (Hec (a 1 ’... , ak), ~_H~) contenue dans
dont la présentation consiste
plongement
ak) : H~(a1’ ak)k -~
82 D~ et
de
défauts
dans l’ anse standard B2
gigogne
D2 de
Xi(a1’ ... , ak)
... ,
une anse
en un
~’
est
-
d’un voisinage
une anse
3 .1 Construction. Pour chaque suite finie
on
où
N - è) N
par bouts de N .
..
premier temps, il s’agit
en
identifiée à
compactification
de N l’ intérieur
les bouts de
présentation
Dans
dans
réindexation) .
x
... ,
... ,
en une
(Pour (1)
sorte que :
(8) (sans
méridien
x
C.3)
Bt B2 x t
=
.
à
(5),
Il existe
voir le dessin de droite de la
un
intervalle J ~
du tore solide
B2 x
prochaine page.)
~D2 tel que,
pour tout t E
~D rencontre les tores solides
J , le disque
multiples
k
T
CONJECTURE DE POINCARÉ
idéalement en
ce sens
que
qui rencontre
Tk
1
chaque composante
pour toute suite de
(a1, ... , ak,1)
(version
k ).
sur
On
longueur ~
k
(2). Puis, on définit
2.4) ; ceci assure les conditions (3), (4)
tation de l’anse de Casson
sur
ik(a1,
(6)
...
(7)
et
,
ak)
une
remplies.
présentation
Pour définir
de la
défini les
anses
par le théorème de mitose
et
(5).
Il reste à définir la
façon
présen-
que les deux dernières
1 (a , ... ,,a,,0) ,
il convient de
greffer
partie nouvelle de l’anse de Casson
à savoir l’anse multiple de Casson
(H~(a1,...,ak,0), ~_H~)
,
ô
disque méridien de
les définit pour toute suite
de telle
soient
un
H~ . Ayant
=
on
est
figure de gauche ci-dessous.
part de
(k > 0) ,
par
infinie
conditions
Bt n Tk
de
de la façon idéale illustrée dans la
Exécution de 3 .1 (par induction
présentées
connexe
(H~(a1, ak, 0) et 6 indiquent l’intérieur
0)
(où
"exceptionnellement
0
Hk(a1’ ’ ’
Hk(a1’ ’ ’ ’’ ak,
et la frontière dans
Hec (a 1 ’ ak, 0) plutôt que dans N ) ; la greffe se fait à l’aide du
lemme 2.0. La dernière condition (7) est assurée après coup, par une isotopie à support
dans
Xk(a 1, ak) . Ayant ~ 1 ) à (7), le lecteur saura assurer aussi (8) ensuite. D
... ,
’’ ak , 0),
... ,
o
... ,
Remarque. Si
(a1, a2, ... )
est
a2’ ’ ’ ’ ,ak)
= U Hk(a1’
adhérence
H~(a1,a2, ...)
N
donne
son
Du
... ,
de toutes
de tout
dans
la
de Casson
compactifie
{0,1} ,
ces
point
du
a~) .
peaux est
ce
P3 - ~_H~ ,
Y1R2 ) : ,
qui
ont
par bouts de P .
sans
(exercice). Ainsi,
°
en
plus,
nous avons
-dans
emboîtées.
H~ ) ,
... ,
nous
utiliserons surtout les
qu’on appelle une variété branchée dans N4 , puisque, près
le couple (N4, P3) est C 1-isomorphe (puis même C~-isomorphe,
Y1
en commun
On constate
présentation évidente ;
La réunion
bricolage qu’ on laisse
où
la réunion
’
avec une
par bouts
système d’ anses présentées
peaux
(R2,
suite infinie dans
vaste collection d’anses de Casson commodément
une
après
une
une anse
au
lecteur)
au
produit de
est réunion de deux courbes
exactement
une
R2
avec
lisses ~
le modèle de branchement
R1
proprement plongées
demi-droite fermée.
difficulté que l’adhérence P de P dans
N
est la
compactification
L. SIEBENMANN
La variété branchée
P3
se
scinde le
long
de
ses
points singuliers
en
variétés
compactes :
Ainsi,
Pk(a~ , ... , ak) - ~~Ek(a~ , ... , ak) - Ek(a~ , ... , ak) ~ ~+H~(a~ , ... , ak) .
Pk(a~ , ... , ak) est la peau du k-ième étage de (H~ (a ~ , ak) , c~_H~) .
... ,
G4 (voir figure ci-dessus).
construit un voisinage G4 dans N4 appelé la riffe, muni d’une
décomposition J de G4 en intervalles disjoints, de sorte que :
est
1) Pour tout intervalle I~ de J , l’intersection I (1
I~ ou ~ ; et un
dans (G4,P3;~9 ) est isomorphe au produit de R2 avec un ouvert du modèle
I
3 . 2 Construction de la griffe
Pour
on
’
1
2)
(donc)
-
L’adhérence G de G dans N est
avec
G
UP.
compactification par bouts,
sa
et
coincide
Q
s’agit de combiner assez naivement des (bi-) colliers de sous-variétés véritables
D’ailleurs, nous avons clairement le droit de supposer que G4 contient le collier N Il
de
H
de c) N .
La griffe (G4;J)
décomposée
la 3-variété formée des intervalles
en
de véritables I-fibrés triviaux
en
intervalles
exceptionnels
se
de J
façon canonique (le long
ayant des points intérieurs sur
scinde de
I(a 1, ...’ ak) Pk(a1’ ’ ’ ’’ ak) ’
x
où
I(a 1, ’ ’ ’ , ak)
est
de
un
G4 est presque l’inclusion naturelle
(son centre) x
C
G4
:
. plus exactement les deux sont isotopes dans G4 par une isotopie qui
Pk (a 1 ’ ...,ak)
ne bouge qu’un collier du bord de
Pk (al"’"ak) .
1-simplexe
et
P3.
POINCARÉ
CONJECTURE DE
Il convient de donner
pour
en
P3
orientation normale à
une
sera un
plongement
l’orientation. Pour commencer,
ments définis pour les suites de
(a
... ,
ak,1)
respectivement
I(a1, ... , ak) ~ (0,1 ~ ;
d’appeler
permet
J
qui va révéler la structure de G4 .
plongements linéaires
ak) c (0,1J
I(~) C (0,1 ~ aboutit à 1 . Supposons maintenant
longueur s k . Alors, on plonge
,a.,0)
J (a1, ...D’un
, ak)autre
I(a 1, ... ,
I(a ~ , ... ,
sur
conservant
ces
plonge-
et
le tiers initial et le tiers final de l’intervalle
le tiers central de
Le
(a , ... ,ak) .
est alors
I(a1, ... ,ak) .
lisse
On choisit par récurrence des
1
(vers l’extérieur),
G4 -~ B2 x D2 .
3.3 Construction de g :
Ce g
N4
dans
déduire les orientations cohérentes des 1-simplexes
I(a1, ... , ak)
complément
de Cantor dans
un
compact
on
constate que les
est
I(~)
(0,1 ] .
intervalle fermé
un
qu’on
se
de tous les intervalles ouverts
dans
°
’
-~
B2 x ôD2
côté,
définissent ensemble
(0, 1 x B
Soit
tendance à identifier
source
Nous définissons
(t, x) -~
p
une
(t, i(x)) .
ik(a1, .
.plongements
ak) ~ ’
application lisse i : P - B2 x c) D .
xD le plongement (t,x,y) -~ (x,ty) ;
g :
G4 -~ B2 x D2
6
G4o
de
1(0) .
En
réunion de
au
G4
et d’un
sur
Par unicité des
colliers,
(B~-ÀB~)x~D~,
nous aurons
...,
...
)
par la
ajuster
,ak)
dans
règle
par iso-
(G4,J) ,
0
petit voisinage
Prolongeons
on
en
collier
g
en un
est
proche
C4
de ~ N dans N
plongement
peut arranger g et g
(0,1]
où À E
cohérente,
x
il faut d’abord
I(a1, ... ,,ak) x Pk(a1’
lecteur.
G ’ (voir la figure pour 3.2).
G4 ~ B x D .
C4-G~
la
I(a , ... , a )
sur
Pour que cette définition soit
tâche de routine qui est laissée
Soit
"’’
et but par cp .
topie les trivialisations données des I-fibrés
respecte
~+Hk(a1’
~ ~ ,
de sorte que g
de 1
qui
g :
est le
envoie
point initial
D
regardant de près g
et
topologie
de
Quelques
notations
encore
sont
indiquées
son
image,
l’adhérence
tement décrit la
en
G4
(voir les
pointillé
nous
de
deux
dans la
allons constater que
G4
dans
nous avons
4.
figures ci-dessous).
figure de droite ci-dessous.
complè-
L. SIEBENMANN
Les éléments seront construits dans l’ordre
La preuve que
§
4.
La preuve
qu’
(B2
x
D
x
ensuite f est
3.7. Construction de
luo
et
2
(par
approximable
par
décomposition
du
compact
déjà
dont les éléments
x
D2)o .
Chaque w
~
x
que
Définissons alors
est réservée
au
§ 5.
non
dégénérés
E
l~o
~
~
est
un
sont
compact
x
x
On sait
homéomorphismes
x
connexes w
un
Bing)
f .
est réservée au
g1 .
(B222
les composantes
du compact
(B2
de Whitehead dans
seul niveau ~ (t B2 x c) D ) .
On vérifie naïvement que l’ inclusion (B2
morphisme ((B2 D2)o - W )"-~-~ (B2
D_2)o/~0 .
te
est la
U?~1 ’ ’~ ~ ’ ~2 ’ ~ ’ ~3 ’ ~+ ’
les méthodes de
Go
s’identifie à
Go N ....
c
l’homéomorphisme g.
comme
composition :
induit
un
homéo-
..
CONJECTURE DE POINCARÉ
3.8 Construction de ~’
Soit J&’
finie}
que
la
et
g2 .
décomposition
B2 x D2
de
et les éléments de lb
qui
en
donnée par les
sont
chaque composante
N-G .
Y de
connexe
{T~(a) ~a suite dyadi-
disjoints.
g2 : IV4 -~ (B~ x D2)/~’ ,
Pour définir
et
B
on
doit étendre
q1g1:
àf - (B2
Sa frontière à Y s ’ identifie par
D~)/j&’
x
g11
à
quotient
au
d’un trou’
(B2 D2) / Le soit de 03B8 B , soit d’un bord d’une composante
Par définition,
dans (B2
de ce bord. On vérifie
est
l’image
D2)/D
g2(Y)
T (a ,... , ak) .
dans
x
connexe
,
aisément la continuité de
Ensuite,
et t;
gq
G4
La griffe
D
g2 .
dans le
nous a
diagramme principal
définissent par restriction.
se
M4 -+ B2 x DZ ~ 0
amenés inexorablement à définir
~4
qui
com-
x D2 .
quotient très explicite de l’anse ouverte B2
La décomposisition D qui spécifie ce quotient a des éléments non cellulaires, à savoir
pare l’anse ouverte de Casson
les trous
avec un
T (a ak) , chacun du type d’ homotopie d’un cercle. Donc l’application quotient B x D 2 -+ (B 2 x D 2) / t; n’est certainement pas approximable par des homéomorphismes.
On peut d’ailleurs vérifier que la cohomologie H2( Cech) du quotient est de type infini.
...
,
La construction
3.9 Construction de
On pose W
une
ci-dessous
de £ +
moins fine
sera
ce
x
(B D 0 2)/lu
x
a une
multiples topologiques plats
E(a)
et
{qT~(a’ ) }
* (ex)
longitude multiple de D T
est alors
se
fait à la
sans
main ; ~9+
effort f =
q3g3 .
°
contractile).
En
4.
prochain paragraphe, le quotient
une
par
1
U
section
permet
elle
ensuite de définir
=
voir §
x
Pour les besoins du
de U
défaut ;
grave
.
=
décomposition
tient de
ce
~9
W H (B2 D 0 2) W - (B2 x 0 D2). Ses composantes connexes définissent
H3 de B2 x D 2. On sait montrer depuis les années 50 que
(B~ D 2)/I~ N B D 2 ,
x
qui
répare
nous
décomposition
(B2 D 2)/D+
x
dont les éléments sont les
doit être
un
composantes
quo-
connexes
dyadique finie} où {E(a)} est une collection de 2-disques
disjoints telle que, pour toute suite dyadique finie
l’interest, d’ un côté, le bord 0 E(a) , et, de l’ autre côté, une
suite
loin de W
plus,
on
(chaque composante connexe de
veut que le diamètre des
U
composantes
connexes
E(a)
de
ak) tende vers 0 (sur chaque compact) quand k -~ ~ . Le § 4 n’ exige pas plus.
visiblement, {E(a) } spécifie ainsi 1 .
La spécification de {E(a) } est hélàs fastidieuse. E(a) sera l’image fidèle
qD(a) d’un
disque multiple dans B2 x D 2. Pour des raisons
ce disque multiple D(a) est obligé
de "1 ’
E(a 1,
... ,
Et
,
de rencontrer
rencontre très
On a
multiple
un
W ; mais,
qD(a) (prouvée au § 4) ,
gentille permise par les conditions (7) et (8) de 3.1.
les conditions (6) et (7) de 3.1 assurent que
Tk est
pour
assurer
dont certaines composantes
la
platitude
connexes
compact de Whitehead ramifié dans
B2
de
constituent
D2 .
T k( a) .
On
a
k
Tk
=
il faut
un
une
tore solide
pW , qui
est
on spécifie (simultanément et
indépendamment) dans B~ x d 02 des
disques (topologiquement) immergés et localement plats D’ (a) qui seront les projections
Pour commencer,
pD(û!)
=
D’
(o!) .
On
assure
aisément les deux propriétés
(a)
et
(bj dont (b )
utilise
(8)
de 3.1.
L. SIEBENMANN
(a)
comme
D’ (a1,... , ak)
seules
est
singularités,
~Dk(a1’ ... , ak)
une somme
un arc
est formé d’ une
Les points doubles de
longitude
D’ (a1,,...,aJ
)
disjointe de disques immergés dans
de points doubles
K
se
de
chacun,
hors de
chaque composante
trouvent hors
20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014
K
1
Tk_ 1 ,
avec
T (a ,...’’ ak) ’
connexe
Le bord
"’’ ak) ’
,...,a k) .
(b) Pour tout l~k , l’intersection D’ 0 (a 1,
ak) Ïl T est un disque multiple
dans
(plongé
T k (a 1 ’ ... , ak» dont chaque composante connexe DD est un disque méridienal
de T ~ qui rencontre les tores solides de la prochaine génération
avec notre inde(T
e
+(
1/6)
xation révisée en C .3 ) idéalement
la
de
à
(voir figure gauche la deuxième page de ce
paragraphe .
... ,
Par
résolution
des
D’ (oc) , on a un disque multiple abstrait O{a)
B2 x D~ en spécifiant la première co-ordonnée
(0,1) x B2
par une fonction convenable p(a) : 0(0:) -+ (0,1) .
On va plonger un seul D(a) à la fois (suivant un ordre
quelconque). Plongeons un
premier
D(a , ak) de proche en proche (par une induction secondaire).
qu’ il s’ agit
de
plonger
points doubles de
dans
... ,
Quelques notations :
On assure
aisément,
pour
n’ est que provisoire.
(d)l
Chaque composante
seul niveau t
aucune
x
B2 x d D2
;,
ce
D( a ~ , ... , ak) ,
connexe
=
k et
propriétés (c)
disque multiple
F; f1
... ,
et
(d) ~
(e
>
F; f1 D(a1, ... ,ak)
niveau est disjoint de toute boîte T
autre composante connexe de
Pour e
du
les
( a’ )
,
et
k) ,
dont
est dans
un
ne
contient
un cas
simple :
ak) .
k+1 , voici des illustrations du graphe de p dans
CONJECTURE DE POINCARÉ
Observons
ment
sur
Fp D(a1, ... , ak) ,
Donc,
(d)
sans
Pour
D(a1,
qu’en poussant
perdre (c),
on
chaque entier e
Fp D(a1, ... ,ak)
Î1
se
Cette condition
assure
que, pour tout
Donc
§ 4,
est
D(a 1, ... ,ak) ,
D(a 1) , ... ,D(o~n) ,
finie de
tant
de
de tous les éléments de lb
T: (a 1 ’
(d)
...
propriété :
connexes
du
disque multiple
l’intersection 03C9 ~
E
w
qD(a1, ... ,ak)
est bien
c
D(a 1,
(0,1) .
.. ,
ak)
est
disque (cf. 4.3) ;
un
une
au
un
suit la même construction que
on
,
(d)e+1
et seule-
sans
disque plat.
déjà défini (pour la récurrence principale)
on a
disques
dans un voisinage
à
autant d’ intervalles disjoints de rayon
sur
disques (cellulaire).
prouverons à la main qu’il
Si, avant
peu qu’on veut,
perdre (c) .
verticalement aussi
passer à la
intersection de
nous
ak)
k , les composantes
>
projettent
,
passer de
peut
peut
on
...
(assuré par (c) ) disjoint
ak)
qui touchent à
D( a 1 )
U
U
...
ci-dessus,
une
collection
tout
en res-
D(a 1 )U U D(an)
de
...
et
D(a ) .
{D(03B1)} de 2-disques disjoints se définit par une double récurrence et
vérifie les propriétés (a), (b), (c), (d), (avec pD(a) = D’ (a)) . Puis, ~D(a) }}
définit ~+
comme déjà indiqué.
On vérifie aisément toutes les propriétés voulues pour qD(a)
dans (B2 x 0 D2)/lu ,
sauf la platitude locale de E(a) qui est réservée au § 4 .
0
Ainsi la famille
.
=
s
où l’inclusion int M C
d’ailleurs que intM
S(f~) _
{y E
’
existe
est difféomorphe à
S4( f~1(y) ~ (un point)}
Aussi
S(f )
[Preuve :
est nulle
la restriction
f#1 S(f )
U (bouts de
G.) 4 U
et
M
puisque
se
est visiblement
dans
B xD (les
experts savent
et où
un
Alors,
ensemble dénombrable.
part dense.
f~ )(
=
q3q1g1 I
est contenu dans l’ensemble nulle
mes.
plonge
R4 [CaG),
:
(B2
M n
part dense
x
de
0 D2)/~donné
est
0
Donc, d’après le théorème 5.1, l’application f* est approximable
Ensuite, par le principe de localisation § 4 . 2, la restriction int
par
déjà surjective
(c)G)U
0
par
homéomorphis-
(S4 - ~)
l’ est
aussi, et de même f )1 dans le diagramme. Finalement, par le principe de globalisation §4.2~,
l’ application f : M - (B2 x
est approximable par homéomorphismes. Ainsi le théorème 2 .est prouvé modulo § 4 et § 5 .
0
D2)/~9+
Remarque.
S4
ensemble dénombrable
qui
de
ne
est
en
S(f*)
fait
un
avec un
compact de dimension S 1 ,
ensemble de dimension
c’est la réunion d’un
0 , à savoir les bouts
sont pas dans la frontière d’une composante connexe Y de
cohomologie,
car
M4 - Gô
1 ;J donc il s’ agit d’ un compact de dimension
.
exactement
G4
de
Pour des
raisons
1 .
L. SIEBENMANN
§ 4. -
Il
s’agit
B2 x D2 .
Les
LES
RÉTRÉCISSEMENTS
de démontrer que
techniques nécessaires
(voir
des années 1950
surtout
(B2
l’espace
au § 3
D2)/D+d’ défini
une
est
ont fait
de
viennent toutes
[ Bi 1, 2, 31 ) ,
topologie géométrique.
DE BING
x
qui
à
homéomorphe
série d’articles de R.H. Bing
réputation
sa
grand virtuose de la
On considère des
applications propres et surjectives f : X -~ Y entre espaces (métrilocalement compacts. Soit ~4 = {f
y E Y} la décomposition associée à f . Quand
1 (y) ~
sables)
est-ce que f est
(fortement) approximable par homéomorphismes, en ce sens que pour tout
de Y , le U-voisinage N(f,1s) _ {g : X ~ Y1 V x EX, 3
recouvrement ouvert ls
f(x), g(x) E V}
de f contient
homéomorphisme h : X -~ Y ?
Puisque
homéomorphisme Cf):
Y , on constate aisément que f est
approximable par homéomorphismes si et seulement si on peut trouver des applications
g : X -~ X telles
{g 1 (x) ) x E X } et que fg approxime f (en effet, p traduit g
en un homéomorphisme g’ : Y - X ). Cette observation rend plausible le
f induit
CRITERE
un
un
DE BING 4.1 .
f est
approximable par homéomorphismes si et seulement si, pour tout recouvrement
de X et b de Y , il existe un homéomorphisme h : X ~ X tel que hD u , et pour tout
en ce sens : il existe un
compact D ~ D , D et h(D)) sont
VE
U-proches
contient D U
On monte
que ~
une
est rétrécissable.
preuve à la
h : X
approximable
f~,
et
Y est
venant de
homéomorphismes qui
Cl
réciproquement .
une
:
V de f est
approximable
Preuve de 4.2
(indications~
Pour
par
qui déter-
approximer
§3.5] .
on a
Contre-exemple. Ce principe est faux pour X
V -~
V est
f(A) [ou
une
alors f est
qui coincident
approximable
on
A
sur
homéomorphismes
par
combine
(par le principe "~01" ))
(je crois) dans la
Ce lemme n’est pas
=
Y
hoc"
marche. Dans
plus
triviale.
(Cantor) x I
_ (0,0,0, ...) .
=
=
d’ail-
chaque
cas
qui
nous
D
2~ x I ,
et f
=
g
x
(idI)
4.2* .
application propre telle que, pour un
approximable par homéomorphismes. Alors,
Soit f :y X -~ Y
fermé
des résultats plus forts
g(1 ,a2,a3, ...) _ (a2,a3, ...) , g(O,al,a2, ...)
PRINCIPE DE GLOBALISATION
un
homéomorphismes.
~Si2 ~
f ~ : f1
[Tor]
de Baire
g : X -~ X
principe
alors, pour tout ouvert V de Y, la restric-
[Si3’
:
catégorie
vers un
de déformabilité d’ homéomorphismes
leurs, après réflexion, l’argument compliqué de
intéresse, le lecteur pourra trouver une preuve "ad
où
p.ar
~Si3 ~ ),
série d’approximations de f , cf.
littérature car, pour les dimensions / 4 ,
une
sur
Si f : X -~ Y est
(où
de
fou fixent 1
envoient A
Y vérifie le
variété
[Ce] [EdK] ,
f f -1 V -~
tion
ou
qui convergent
Si les h dans 4.11 respectent
par des
PRINCIPE DE LOCALISATION 4.2.
et que
X
-~
La preuve donnt aussi le
COMPLEMENT.
avec
[FMV]
main, voir
[Mor ] (l’ idée est de trouver des
~9 ) .
11r ui
h(D) .
On dit alors
mine
1~
ouvert V c
Y , la restriction
f est approximable par des
CONJECTURE DE POINCARÉ
applications (propres) g telles que : (a)
morphisme et (c) g f sur X - (f ~ V) .
Ce
principe
ouvertes centrées
est facile à
établir,
-1
=
(b) g ~ :
-1 V
est
un
homéo-
D
=
car
si 11
y E V et de rayon inf
est le recouvrement de V par les boules
{d(y, z) ~(
E
Y-V},
alors toute
application
application g : X -~ Y .
Dans le cas très particulier
est
pour un compact K c x , le critère de
Bing se simplifie. (Alors ~ ~ {les composantes connexes de K} et l’image de K dans
f ~V -~
y :
V
en
N(f ) ,u)
est dans
qui
se
prolonge
z
par f
en une
=
est 0-dimensionnelle et s’identifie à
4.3. Dans
CRITERE
tout
un
~0(Kj . )
conditions, ~ est rétrécissable
ces
0 et pour tout ouvert £ -saturé U
e >
de
[et
h : X -~ X à support dans U
homéomorphisme
Pour tout
~ {D | D ~ D~}
Voici
un
ble pour tout
modulo localisation
e >
0,
exemple remarquable
0 , mais D n’ est
et
sont illustrés .
image
2n tores
U)
tel que
chacun de diamètre
0
e .
cette condition est visiblement nécessaire.
peut considérer
e >
connexes
cette
4.2,
compact, il existe
i) g
=
{D E ~ ~
On constate que
est un fermé de X .
santes
F~
on
si, ~our
respectant
s’exprime comme une somme disjointe finie de compacts,
D’ailleurs,
[respectant
tel que U fl K est
X
dans
solides.
d’un compact X
On
repète
=
D
inquiétant où t;
pas rétrécissable.
FI n Fn
où
est évanescent et D
est rétrécissa-
g
6
Les éléments de D
sont les compo-
F~
convenablement
chaque tore solide ;
Chaque
et
Fn
est alors
est visiblement
est rétrécissable par 5.2. Mais, à l’ aide de revêtements cycliques,
cellulaire,
vérifie que £ n’est pas rétrécissable. Voir
[ArB] .
Il y
heureusement des
propriétés d’éléments individuels un peu plus fortes que la
d’exemple.
Pour un compact A c x , on considère la propriété: 6t (X, A) .
Pour tout e > 0 , pour
décomposition évanescente £ de X contenant A , et pour tout voisinage U de A , il
a
cellularité, qui écartent
toute
ce
genre
existe
une
et f ) :
U ~ U est approximable par
homéomorphismes) ,
Si tJ
appelle la propriété (plus faible) : ~~ (X , A ; ~ ) .
application
est fixé
f : X -~ X à support dans U
d’avance,
on
Observations. Pour tout voisinage U de A,
est
on
indépendant
de la
PROPOSITION 4.4.
alors ~9
ui rétrécit (au
telle que, p
(X, A)
on
moins)
our
~~ 6t (U, A)
A
(i . e . f(A) = (point)
tout D
.
En
~D,
plus,
R (X, A)
métrique.
Si D
est
évanescente, et Que R (X, D ; ~ )
est vérifiée pour tout D
est rétrécissable.
La preuve est
PROPOSITION
quelconque
un
exercice édifiant.
4.5 . ~ (X,A)
0
est vérifié si A est
un
disque topologique plat
de codimension
dans l’intérieur d’ une variété.
Preuve de 4 .5 . Ceci
k S; n.
La preuve
de R (R2 ,B 1)
(qui
est
L. SIEBENMANN
Dans
(a),
e /4 ;
tout élément de ~
qui rencontre le plus grand rectangle a déjà
diamètre
si D E ~ rencontre un cadre (entre rectangles successifs), il est disjoint
du rectangle d’après. On pose
0 , et f (identité) hors du plus grand rectangle
y
f(B ~ )
(qui
est c
U’ ) ;
f est linéaire
=
=
chaque intervalle vertical dans un rectangle de (b) et
chaque 1-cellule de la cellulation rectangulaire en (b) de (grand rectangle - B 1) ; en plus, pf = p où p est la projection à l’axe de y (c’est Rn-k normale à Bk
finalement, la largeur de l’image de chacun des rectangles "verticaux" est
e/4 . D
linéaire aussi
sur
C
solides T ,
...
on
=
FAIT
T’ , T"
C’est
analogues,
une
par
R3
R4 ;
un
4.7.
aux compacts de Whitehead.
compact de Whitehead et ~ = (t x w ~ t E I} la décomposition
alors, ~ est rétrécissable par le lemme 4.6 appliqué aux tores
un
Donc R /J& ~ R4 . Ensuite, par localisation
(R3/ {w } ) ~ (0,1) R3 ; d’ où :
R x (R3/{w } ) ~ R4 .
(ou similairement),
CELEBRE
);
rétrécit beaucoup de décompositions liées
Par ce lemme,
Soit, par exemple, w
1 x {w } de R x R3
de 4.2
sur
d’intersection
on a
(0,1)
w .
x
résultat d’ Andrews et Rubin
x
[AnR 1 1965,
démontré à la suite des résultats
mais
beaucoup plus difficiles, de Bing
1959, anachronisme curieux. Il y a
bonne explication ! Arnold Shapiro, à l’époque où il a réussi à retourner S2 dans S3
une homotopie régulière, cf. [FrM] , a également établi 4.7 ; en tout cas, Bing me signale
Montgommery lui a communiqué cette affirmation sans pouvoir lui-même l’appuyer que
La
cf.
plus facile (voir 4.8) montrant que R x (S3 - w) ~
des
de
a-t-elle
années 50
preuve putative
Shapiro
disparu sans trace ?
que D.
d’un argument bien
R4 ,
[Bi3] .
POINCARÉ
CONJECTURE DE
Pour établir la
des
platitude
construits
disques
en
3.9,
nous aurons
besoin
plus facile que 4.6 traitant encore du couple
de Whitehead. Soit D un disque méridien de T qui
aussi d’un lemme
(T , T’ )
coupe T’ transversalement
LEMME 4.8. Avec
ces
telle que int B ~ 1
T’
(intervalle)
x
x
données,
et que
Elle n’
R
peut trouver dans
(R1 x D)
rien à faire
a
de 4.6 !
On trouve B aisément à
dans T
comme
dans le
on
B D
ainsi :
disques
est
une
T
x
4-boule
une
B
topologique
3-boule équatorialle de B de la forme
D .
x
Preuve de 4.8.
deux
en
croquis à
4.9. La décomposition ~
droite
B 2 x °D2
de
avec
la preuve
partir d’un 2-disque immergé
(cf. 3.9).
D
est rétrécissable.
On applique 4.3, et 4.6 (ou 4.8 sans exploiter la dernière condition de
ceci, il convient de remarquer d’abord que pour tout ouvert 16 -saturé U de
W (~ U est contenu dans un ouvert c U qui est une réunion disjointe d’ouverts
0
o
Preuve de 4.9.
4.8).
Pour
BxD ,
201420142014~~20142014201420142014
de la forme l’
T(a
x
... ,
,a.) ,
Notre prochain but est la
4.10 lu (a) est
rétrécissable
(B2 D2)/03C9 (a) .
plat dans
Preuve de 4.10.
a
et soit
W(&)
disques
=
U
c
=
(B~ D~)/H3 .
Soit
x
tt)(a) .
D(a) ; donc,
respectant
0
le
quotient qa (D(a))
D(a)
de
est
x
pour
un
où T’ est
On
le lemme 4.8 et le critère relatif 4.3. Pour tout ouvert
applique
B2 x DZ , 0
-saturé U de
qui,
des
en
intervalle.
un
platitude
1
=
03C9
où l’est
l’intersection W h U est trivialement. contenue
a
certain
une
entier ~ , est une réunion disjointe d’ ouverts
composante connexe d’ un tore solide multiple T ~ (b
dans un ouvert
de la forme I’ x T’
1,
et l’est
... ,
cU,
un
intervalle.
La condition
(d)
de
§
3.9
nous
permet de choisir
ces
ensembles de sorte
quen plus,
pour chacun:
)
D( oc) ~ (I’
T’
qui
Par la condition
x
en
T’ )
est
plus
est
un
seul
une
(b) de § 3.9,
2-disque, lequel
composante
le
se
connexe
projette
de D’
disque méridien D coupe
disjointes B 1, ...
que le lemme 4 .8 nous offre des 4-boules
(i) chaque intersection
U
(ü) B 1 U
et
...
Bs
contient le
Pour tout compact K dans
h :
4.3
Bf
Bi
est
un
et tout
E >
,
on
Bi
(1
Preuve de 4.11.
L’ ouvert
que
et non noué dans
trouve aisément
D( «)
et tel que
un
diamh(K)
B.1 ,
homéomorphisme
E .
.
Le critère
0
(B2 D2)/lu .
Ua (B2 0 D2) - (Wa U D(a))
est plat dans
T’ , 0
Bs
(I ’x T’) ~ W03B1 ~ (I ’x T’ ) .
0,
D de
3.9 .
de sorte
Tl+(1/6)~T’
idéalement,
dans I ’x
telles
0
est donc vérifié.
qD(a) - E(or)
disque méridien
(a) f1 T’ , voir §
2-disque diamétral
W+ ~
compact
à support compact qui respecte
(respectant D(a))
4.11.
D(a)
sur un
x
=
x
est clairement
homéomorphe
L. SIEBENMANN
On propose maintenant de finir
sont
approximables
4 .12 .
est
p ~1
par
montrant que les
en
applications quotient :
homéomorphismes .
approximable
homéomorphismes.
par
Pourapproximer p par homéomorphismes, il faut quelques préparatifs. D’après 4.12
4.9, il y a une application de rétrécissement r : B 2 x D~ B 2 x D~ induisant la même
décomposition que l’application quotient vers ((B~ x
(E(a)} ; on se permet d’identiet
D~)/Lb)/
(le domaine de pJ à B x D~ par r
décomposition P constituée des préimages
fier cet espace
La
brable des
quotients naturels
tifient maintenant à
des
rT (a)
et
composantes
Whitehead
c
=
4.14. Le quotient
dans
de è)B*
Preuve de 4.14. Ceci
de
0
x
=
B~} ,
(B
admet
équivaut à
l’ existence d’ un
Or,
L’application
4.14
assure un
4.2
assurent que r" est
voisinage
ainsi, le couple
(B2 D2,
((B2
en
un
0h
de
rB .
approximable
= gh : B2
f
f,
on
il existe
se
voisinage
par 4.7
factorise
bicollier de
approximable
D2)/03C9(B*) ,
Preuve de 4.15. Donné
E c B2
r
en
dans
par des
r’(OB ))
voisinage
en
en
bicollier.
bicollier du
quotient
(légèrement généralise)
1x
(R
de 0
r"r’ où r’
(B2
x
B* .
et 4.2
peut
D
divise par
I~( ~ B~) .
D2)/03C9(B*) . Ensuite,
Or,
4.2 et
homéomorphismes, en fixant r’(B*) ;
(avec le bicollier ! ) est homéomorphe à
r B*).
morphisme
de
qui s’iden-
B ,
compacts habitent
ces
4.2 ,
Preuve de 4 .13 .
et
rétrécit exactement les compacts de
B* ~ rB*
et
l’ application quotient de ce dernier espace sur
être approximé par des homéomorphismes, en fixant le quotient
plus
est la collection dénom-
des trous
On constate que P estévanescente.
dans
~B*
p~ (y) ~ (point)
connexes
rB
L’application quotient 03BBB2
.
x
par
à
Puisque
rB*
support
homéomorphismes
x D2 . 0
sait que, pour
telle que
U,0
g(hrB ) = (point)
Par continuité uniforme
0
sur
le
E
à
r
B .
Soit
support compact
F OE
rB~
U V
donné, il existe ô 0 tel que pour tout ensemble
e . Par le lemme suivant 4.16,
~ , le diamètre de f(E) est
homéomorphisme d’ étirement 6 de B2 D2 fixant rB* et à support dans V
D~2
un
voisinage ouvert U de rB , il existe, par 4.13, un homéodans
tel que
compact dans un bicollier V de
~ R , il existe une application g support dans rB et
un
B2 D2
de diamètre
e
>
>
CONJECTURE M POINCARÉ
tel que, pour tout P ~ P
distinct de
établit
LEMME
tel que 6P H
B
;P).
D’ÉTIREMENT
4.16. Soit
est compact et tout élément de
&
&
une
Tout élément de P distinct de
connexe
d’un trou
T~(a) .
@P
diam
on a
décomposition ëvanescente
est disjoint de X
homëomorphisme à support compact p de
E ~ & , tel que 03A6(E) ~ (X x [0,1])~ Ø , on
sante
F ~0,
ô . Alors,
D
rB~
x
0 .
Pour tout
tel que
a
de
e >
XxfO.oo)
0,
il existe
ou X
un
vérifie : pour tout
e .
est de la forme
où
En suivant la méthode de preuve de
T’(a)
4.15 ,
est
on
une
compo-
établit
similairement :
4.17. ~ (BZ x D2, 0 rT~(a) ; ~’)
est vérifié.
D
x T’ (a), par la longitude
(indications). Le quotient de
D( a) , est un cône dont le centre est le quotient dee(c~) , et la base est
Preuve de 4.17
~
(a) qui
un
est dans
=
tore solide.
a un
points d’accumulation des éléments
loin de
r~ (a) .
voisinage
P ~ (point)
D
en
bicollier dans
B2 x D2,
de P sont le "centre"
cf. 4 .12 . Les
et
un
compact
L. SIEBENMANN
§5.Du
THEOREME
LE
point de
D’APPROXIMATION DE FREEDMAN
technique (et historique), le résultat
exposé.
vue
suivant
(appliqué
S4)
à
cons-
titue la clef de voûte de cet
THÉORÈME
D’ APPRCXIMATION DE FREEDMAN 5.1.
Soit f : X ~ Y
X ~ Y ~
part
Sn
une
dense et
et surjective entre deux n-sphères
1 (y) ~
singulier S(f) = {y E Y ; f
dénombrable.
plus
Alors, f est approximable
au
Remarque.
Pour toute
morphismes
bien
5 .1est
raliser
application continue
telle que l’ensemble
Dans le
plus
nettement
S(f)
où
est
est nulle
homéomorphismes.
ainsi,
en
d’approximation par homéodimension 4, le problème de géné-
posé.
fini,
ce
théorème est bien
tiel d’une preuve du célèbre théorème dit de Schoenflies
B.
par
point}
il existe des théorèmes
[Ar] [Si 1’ ~ Ed2 ~, ;
forts
assez
cas
dimension / 4 ,
un
connu
qui
puisqu’il
fut établi
constitue l’essen-
vers
1960 par
Mazur, M. Brown et M. Morse.
Rappelons qu’un compact A dans une n-variété topologique Mn sans bord est
cellulaire si chaque voisinage de A contient un voisinage qui est homéomorphe à la boule
(cf. critère
LEMME FACILE 5 . 2
Soit A
un
de
compact cellulaire dans l’intérieur int
~In -~ Mn/ {A point }
l’ application quotient q :
qui coïncident d’ailleurs
=
q hors d’un
avec
Une preuve directe rétrécit A
Preuve de 5 .1
X - A ~
on
obtient l’
X ~
approximation
Sn ,
en
Mais
on
Mn
d’une variété
approximable
par des
voisinage arbitraire donné
Posant
en un
point.
y~ = S(f)
et A
=
Alors,
homéomorphismes
de A.
f 1~(yp) ,
0
on a
(exercice). Alors,
il suit que A est cellulaire dans X
appliquant 5.2.
Dans l’ordre des idées de
aussi difficile que 5.1.
est
progressivement
S(f)= (un point).
si
Rn . Puisque
Bn .
D
Freedman, le
cas
où
S(f)
est
~Do~
peut consulter
n
pour
points, n >_ 2 ,
une
est
déjà
preuve facile.
Rappelons le
THEOREME DE SCHOENFLIES 5.3.
Soit
S"~1
une
(n-1)-sphère topologiquement
n-sphère Sn de façon qu’ il existe un voisinage en bicollier N de dans
Sn ; i. e. (N, E) ~ E x ( C-1,1 ~ , 0) . Alors, l’adhérence de chacune des deux composantes de
S - E est homéomorphe à la n-boule Bn .
plongée
dans la
Preuve de 5.3
(à partir
de 5.1pour
S(f) = (2 points)).
Soient
X1 , X2
les deux
CONJECTURE DE POINCARÉ
composantes
~"
contenant
et
et
respectivement
En châtrant X
qui
N,
connexes
et
1
X ,
est
approximable
X2
sont cellulaires dans
obtient
on
homéomorphismes
par
5.1
selon
(le
cas
S(f)
où
2
=
points).
Donc X
Sn .
le lemme 5 .2 à
1
Wi ,
approximable
par
Observation. Le
cas
du
cas
on
déduit que:
n
_
déjà
application quotient :
une
0
Appliquant
est
W , W les adhérences des composantes connexes de
X , X . Il s’agit de montrer que W~B"~W~ .
homéomorphismes.
5.3, où
de
de 5 .1 où
sait d’avance
on
S(f) = (1 point) prouvé
que 03A3
borde
n-boule dans
une
ci-dessus. Freedman utilise
découle
ce cas.
Pour démontrer
5 .1, Freedman a introduit une belle astuce de réplication itérée de
à
l’application approximer, qui me rappelle vaguement les arguments de Mazur [Maz ~ . Cette
astuce nous amène à sortir de la catégorie des applications continues dans celle moins familière des relations fermées. C’est pendant les années 70 que les relations fermées
imposées
pour la
tement dans
un
première
fois dans la
article très
depuis : je crois que
ce
[Stn~
de M.A. Stanko
original
serait
topologie géométrique ; elles ont
sans
les relations fermées
Sn-1 ~ Sn ,
le théorème ultérieur d’Ancel & Cannon
n >
5 , peut être approximé
[AnC] que tout plongement topologique
plongements localement plats.
par des
sont
implici-
rendre essentielles
se
pour
tâche herculéenne de démontrer
une
se
fait surface
Définitions. Une relation fermée R : X -~ Y, entre espaces (métrisables) X et Y, est
un sous-ensemble fermé R de X x Y . Si S : Y - Z est une relation
fermée, la composition
{(x, y) ~ 3 y, (x, y) E R , (y, z) ES} c: X x Z , qui est également fermée si Y
compact. Les relations fermées entre espaces compacts constituent ainsi une catégorie.
S R : X -~ Z est
est
Une
application
(son graphe ! )
une
que
continue f : X -~ Y donne
nous
appelons
encore
relation fermée R : X - Y est le
en ce sens
relle
que, pour tout
[0,1)
-
x
une
x
relation fermée
Réciproquement,
graphe d’une
E X, R n (x
est continue et
f .
son
EX}
x
ourvu ue Y soit
fonction continue dès
Y) = (un point).
bijective ;
{(x, f(x)) ;
qu’elle
compact,
univoque
est
Avertissement : la fonction natu-
inverse est
discontinue,
mais le
graphe
des deux est fermé~.
Par extension des notions habituelles pour les
l’ image R(A) = {y
et
la restriction R
l’ inverse
Avertissement :
fonction
R1:
A -~ Y
Y ~ X
pour A c X
on a
qui
entre
est le fermé R Ft
(A
x
Y)
dans A
x
Y ,
qui est(y, x) ~ (x, y) E R } ;
est l’inverse de R
exploiter l’analogie
applications continues,
Y 13 x E A, (x, y) E R } ,
au sens
bijective .~_~ l’inverse catégorique
Pour
avons
R -11
)A :
E
une
catégorique (=)
R
est le
graphe d’une
existe.
fonction X -~ Y et
une
relation R : X -
à tout moment le droit d’assimiler R à la fonction qui associe à tout
point
x
Y,
E X
nous
L. SIEBENMANN
le sous-ensemble
Y .
Preuve du théorème
d’approximation 5 .1 .
qu’on
Toute sous-variété de codimension 0
et localement
Soit N
un
morphisme H :
de
X,
supposée être topologique
sera
voisinage
on
Le théorème affirme
de f dans X x Y.
qu’il
existe
voit
un
petit n-disque (boule)
est admissible
qu’il
D de Y -
d’adopter
S(f)
et
ôtant
en
phes à Bn plutôt Qu’à Sn
sa
préimage
(dans 5 .1) . On suppose dorénavant
suppose S(f) C intY .
Le théorème
et
on
changé entraîne
première démarche
au
!;n-1
de la construction inductive de H est
le
voisinage
N de la
proposition
Une ’relation R : X - Y où
devient le N
ci-dessus ;
proposition
exceptionnels
On dit
constituent
qu’une
un
Soient donnés :
et f , g
Y ; et
L c Z
un
x
et que
dans X et
ces
points
ensemble nulle part dense contenu dans intX. De même pour
bonne R’ : X -~ Y est
PROPOSITION 5.5.
et L devient Y .
fermée,
est bonne si elle est
(i) R C X x Y se projette surjectivement sur Y et sur X ,
(ii) R(x) ~ (point) pour au plus un nombre dénombrable de points
x
la
d’appliquer
triangle
D’ailleurs,
dans X
Y homéomor-
facilement le théorème 5 .original, à l’aide du cas spé1
borde une boule (voir observation sur 5 03) .
cial du théorème de Schoenflies 5.3 où
La
homéo-
le
CHANGEMENT DE DONNEES 5.4
suivante
un
X -~ Y tel que H c N .
En ôtant de Y
f-1D
introduit
plate.
sont
ouvert
(~f ~ L x g ~ L) U (f ~
un
en
plus fine que
R si R’ c: R C
(X
x
Y) .
triangle (éventuellement commutatif) de bonnes
plus
des
applications ;
un
voisinage N de R
(appelé la lacune). On impose les conditions :
(Z - L) x g Z - L)) ; c’ est inévitable si le triangle
(a)
R c
(c)
R donne par intersection le
(d)
Les ensembles
R~.
graphe d’un homéomorphisme
commute.
f ~ (Z - L) - g ~ (Z - L) .
singuliers S(f) et S(g) sont séparés sur L , c ’ est-à-dire qu’ il
disjoints U et V qui contiennent S(f) fi L et S(g) P L respectivement.
Alors, pour tout e ~ 0 , on peut modifier les trois données g, R, L en g~,R *’L~
sorte qu’ en plus des mêmes conditions ci-dessus (avec
g~ , R~ , L~ à la place de g, R,
existe deux ouverts
de
L);
on a
R~
=
R
sur
f-1(Z - L) ,
et pour tout
y E Y , diamètre
R~~ (y)
e .
CONJECTURE DE POINCARÉ
COMPLÉMENT.
tout y dans
Il existe alors
Y ,
on a
diamètre
un
(N~1 (y))
Déduction du complément. Si le
yk) , (xk’ k)’
soient
y
e .
La
e ,
=
complément
1, 2, 3 ,
Y
x
tel que, pour
....,
.
est
faux, il existe deux suites de points de X
convergentes
au
compact
R*
x
Y,
et telles que -
compacité de X x Y, on peut s’arranger pour qu’on ait convergence :
Alors, (x,y) et (x,y’) appartiennent au compact R~ , mais
0
qui est une contradiction.
yk -~ y’ .
ce
proposition (avec
données f, g, R, L, N,
e
son
et
complément)
en
k-ième démarche, k ? 1, construit
sous-variété
L c
Z,
et
un
sera
fabrique f, g~,
Continuons la construction de
une
dans X
R*
e .
Par
xk -~ x, yk -~ y,
d ( y, y’ ) ?
k
N de
voisinage
utilisée
Nk
machine
qui avale
les
R~, L~, N~ .
l’homéomorphisme
un triangle :
voisinage
comme une
de
H
en
supposant 5.5 prouvé. La
dans X
Rk
x
Y de sorte que
fk’ gk’
Rk,
Nk vérifient les conditions imposées à f, g, R, L, N dans la proposition. La
à partir de f,
première démarche est déjà spécifiée : 5 . 5 fabrique
Lk,
1
id, f, Y, N, 1.
Supposons
le k-ième
triangle spécifié
pour définir le
Cet
homéomorphisme H dans le voisinage donné N
d’approximation 5.1i à partir de Proposition 5.5.
Preuve de la
preuve
de f achève la preuve du théorème
D
Proposition 5.5.
Pour
est
dégager l’idée essentielle de Freedman,
pour (re)démontrer qu’une surjection f :
approximable
(k+1)-ième.
par
homéomorphismes (pour ceci,
le lecteur devrait lire d’abord la
on
Bn ,
pose f
telle que
=
R et
S(f) = (un point) C intBn
g id). Puis, il
=
L. SIEBENMANN
S(f) = (k points) c int Bn , le même argument nous amène à
approximer f par des relations qui n’écrasent rien, mais qui éclatent k(.k-1) points.
Considérons les préimages R -1
y E Y, de diamètre? e , qu’on veut en sornme
devrait remarquer que dès que
(y) ,
éliminer. Selon
l’ensemble
(a), (b)
n L)
et
c
(c),
ensembles constituent la
ces
SE (f) = (z
Z, où
E
préimage
f 1(z) ? e ~ ,
Z)diam
par f de
qui
ce
nous
permettra
de suivre l’ affaire dans Z .
Remarquons
D’ailleurs, SE (f)
SE (f)
compact bien que, typiquement, S(f) ne le soit pas.
est fini dans le cas qui intéresse Freedman (voir § 4) .
que
est
LEMME DÈ POSITION GENERALE 5.6.
Dans l’intérieur d’ une variété
topologique compacte M , soient A
ensembles dénombrables et nulle part denses. Alors, il existe
6 (A) et
M fixant tout
point de ôM tel que
verts disjoints.
Preuve de 5.6. Considérons
muni de la
Ak
constitue
un
part denses
Bk
B
entraîne la séparation de X et
1
AFFIRMATION 5.7
Il existe
(X1 ~ X2)
une
(triviale
M , les ensembles
de
donc
séparés ;
X2 .
0
si
réunion finie
x
c
B;
et standard
(ii) S(g)
B+
connexe
en ce sens
ture (affine) linéaire.
polyèdre de L et disjoint
(cf.
de
un
n
chaque simplex 2L
la preuve du lemme
voir
(c)
~ X2)
k
B+
que Z -
de 5.6.
L,
on
M ;
5.6),
par
effet,
(X H X2)
et
assure
est
petite
int B ) =
qu’ils
sont
con-
Bn C Rn
en ce sens
que
Sx [0,1] .
.
pour donner à L
SE (f)
On subdivise K
F) L
en un
une
struc-
qui est un souscomplexe sim-
petit que f-1
petite perturbation (une translation si
(0394) g-1(0394)
est linéaire dans L et tellement
une
en
L vérifiant les conditions
on
veut ! )
(n-1)-squelette K(n-1), sans
dégage du compact dénombrable S e (f) le
nuire aux propriétés de K déjà établies. Finalement,
B se définit
K(n
1)
ouvert
de
Rn
.
dans
petit 8-voisinage
Chaque composante
de K dans
~M ,
conver-
B=0;
de
voisinage compact du compact
S(g) ,
dans
X2
la condition mentionnée
Preuve de l’affirmation 5.7. Identifions Z à
Soit K
X-
(X 1
SE (f) est fini !).
B+ de n-boules disjointes dans
(i)
(f)
(iii) Chaque composante
n L
( -1 ,B) g
( B) c N ,
f
dont
de la
=
toujours des fermés disjoints et
tiennent respectivement
X ~ et
Ensuite
métrique
Uk C
dans l’ouvert M -
plicial
où d est la
Aut partout dense dans Aut, car A et B sont des fermés nulle
Alors, un théorème célèbre de Baire assure que l’intersection
est partout dense dans Aut .
est l’ensemble des e dans Aut
B . Mais, pour
dans un espace M métrisable, la
=
X
ouvert
6(A) H
suivantes :
d(f-1 ,g 1))
de M fixant
de B vérifient
condition
vus
automorphismes
ou-
dans M.
dénombrable
tel que
i. e. contenus dans des
Aut, l’ ensemble des automorphismes 6 , tels que les premiers
Dans
de A et
séparés,
Aut des
l’espace
métrique complète Sup (d(f, g),
gence uniforme.
points
B soient
et B deux
petit automorphisme 8 de
un
comme
B’ +
K moins
de B
+
est
un
CONJECTURE DE POINCARÉ
convexe
et dans int Z
Dans int
composante
B,
connexe
Bn ;
=
nous
B+ ~ S x [0,1 ~ ,
choisissons maintenant
B+) ,
de
donc Z -
y
qui vérifie
encore
une
par
un
argument élémentaire.
Cl
(une dans chaque
(i), (ii), (iii) et aussi
réunion B de boules
les mêmes conditions
(iv)
On pose L ~ L - B .
Pour chaque composante
dessus de
connexes
connexe
B’ +
de
R~ .
g~
B
sont disjoints et indépendants.
B+
pour définir
Ces
et
B+
Soit
(Rappelons
Z ~
c :
que Z -
6 de
homéomorphisme
pour
assurer
B
B~
que
cas
un
où
est
B
changements
pour les différentes
nous nous
composantes
un.
permettons de spécifier
ce
chan-
qui fixe tout point de
homéomorphisme, dit deOncompression,
doit
modifier
composant
1 x [0,1 ~ N B+ - B .)
c
et
c S(f)
sont
au-
connexe.
B+ - B fixant ~B+ ~
S(f)
modifions maintenant g et R
Donc, il suffit d’en spécifier
D’ailleurs, pour simplifier les notations,
gement seulement dans le
nous
~B
sépares
sur
en
B .
avec un
offertparlelemme5.6,
B .
l’ouvert
B+ -
Puisque g ~ (B ) est une boule dans Y (en effet, g est un
homéomorphisme au-dessus de B ) , on peut choisir un homéomor-
Sur
fè) B
ces
deux dernières
règles
tombent d’accord
puisque
c
fixe tout
point de è) B ,
et
On
par la
se
fait
a
maintenant
spécifié
la modification
proposition. (N’oublions
en
spécifier
k démarches
pour
B+
pas que si
disjointes
et
L~ , g~ , R~
B+
est k boules
indépendantes,
de
des manuscrits
plutôt qu’une,
propriétés affirmées pour L~ , g~ ,
[Fr] [An] qui offrent plus de détails.) 0
Remarque. Le système de formules ci-dessus, spécifiant
et ’Y ,
de base
tion de fibre.
Soit
R affirmée
la modification
qu’on
vient de
connexe.)
J’essaie maintenant de la révéler
cp
g ,
chacune semblable à celle
La vérification des
déjà
L ,
en
et
est directe.
R~ ,
regardant f et g respectivement
Z, et. de fibre variable,
yQ
g~
R~
= 03B3 - (03B3|B+).
ce
On forme
qui
y*
me
(Il
cache de la
comme
existe
géométrie.
des fibrés
permet d’utiliser la notion de restric-
de
en
identifiant par
Cid Z
L. SIEBENMANN
les sous-fibrés
et la base de
on
(à
y
utilise
Y
y~ :
une
fibres
ponctuelles)
= cp U y~
à
ceux
de y
entre les
-=~
relation
Z sont des fibrés
R~
plus fine
sur
que la
et
par
y 0 loB +.
une
Puis,
extension de
bases, qui
est
y
l’identité
on
c~ y ;
sur
Z naturellement
identifie
isomorphes
simple correspondance de fibres
Bc
sur
B
l’espace
total
plus précisément,
B+ . Alors, cp et
L L , ce qui définit
°
’
g 1f.
Remarque 2. Dans la preuve du théorème d’ approximation, on peut facilement assurer que
fn et gn convergent vers f~ et g~ , et que g~H
Ainsi, en tant que fibrés, f~ et
sont
d’ailleurs
isomorphes
;
fibre
de
g~
chaque
f~ ou g~ est homéomorphe à une fibre
de f . Je signale que f~ et
g~ me rappellent les deux produits infinis de Mazur ~Maz ~ et
=
que H
dans
et
on
"Eilenberg-Mazur
swindle"
qui boucle la preuve
de
5.3
[Maz] .
Remarque 3 (suite
foo
le fameux
rappelle
me
(affaibli)
de
2).
Si
on
veut éviter des
complications inutiles dans la structure de
g~ ci-dessus, on a le droit de remquelconque bonne application f :: X -~ Y
doit remarquer que dans la définition de
placer l’application
qui apparaît là par une
sur f’B . Alors, pour toute utilisation de 5.5 dans la
preuve de 5.1, on
constate qu’on a la possibilité de choisir pour l’alternative f’ toujours une
application isomorphe à l’application f donnée en 5.1. Avec ce petit raffinement, la preuve de 5.1 dans le
telle que f
cas
=
f
f’
S(f)= (2 points) est proche de l’ argument de
peuvent être homéomorphes à Z ~ {+~,-~} .
en
particulier
et
g )
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