Ensembles de nombres

Ensembles de nombres
Taladris, Silk78, Seirios,
Telchar, Tigerfou, M´ediat
Forum Futura-Science
6 septembre 2011
R´ealis´e en L
A
T
E
X

Ensembles de Nombres
Table des mati`eres
I Introduction 3
I.1 D´efinitions alg´ebriques g´en´erales .................................. 4
II Hi´erarchie alg´ebrique 10
II.1 Proto-nombres ............................................ 11
II.2 Entiers naturels N?et N....................................... 13
II.3 Entiers relatifs Z........................................... 16
II.4 Rationnels Q............................................. 18
II.5 Nombres r´eels R........................................... 20
II.6 Complexes C............................................. 62
III Variations sur la hi´erarchie alg´ebrique 66
III.1 D´ecimaux D.............................................. 66
III.2 Entiers de Gauss Z[i]......................................... 68
III.3 Nombres entiers d’Eisenstein Z[j].................................. 72
III.4 Dyadiques .............................................. 74
III.5 Nombres constructibles C...................................... 76
III.6 Entiers modulo p Z/pZ........................................ 78
III.7 Nombres p-adiques Zp,Qpet Cp.................................. 82
III.8 Compactification des Entiers Naturels ω+ 1,N,N?, βN...................... 87
III.9 Droite r´eelle achev´ee R........................................ 92
III.10 Supernaturels SN ........................................... 94
IV M´ethodes de construction 96
IV.1 Multicomplexes MCn......................................... 96
IV.2 Multicomplexes Cn.......................................... 98
IV.3 Hypercomplexes ............................................ 100
IV.4 Cayley-Dickson CD(A, λ)...................................... 102
IV.5 Alg`ebres de Clifford C`p,q(R) et C`n(C)............................... 106
IV.6 Tessarines T............................................. 111
V Infinit´esimaux 115
V.1 Hyperr´eels ∗R............................................ 115
V.2 Surr´eels No .............................................. 120
V.3 Superr´eels R(David Tall) ...................................... 125
V.4 Corps de Levi–Civita R....................................... 128
VI Th´eorie des ensembles ZF(C) 130
VI.1 Ordinaux Ord ............................................ 130
VI.2 Cardinaux Card ........................................... 135
VI.3 Ordinaux de Hessenberg H.................................... 139
VI.4 R´eels d´efinissables, calculables .................................... 141
VII Alg`ebres de dimension 2 sur R144
VII.1 Nombres Duaux D1......................................... 146
VII.2 Complexes fendus C
......................................... 148
VIII Alg`ebres de dimension 4 sur R151
VIII.1 Quaternions H............................................ 154
VIII.2 Quaternions de Hurwitz e H(Z).................................... 158
VIII.3 Quaternions hyperboliques (Macfarlane) M............................ 162
VIII.4 Coquaternion H
............................................ 164
VIII.5 Bicomplexes C2............................................ 166
Table des Mati`eres 1

Ensembles de Nombres
IX Alg`ebres de dimension 8 sur R169
IX.1 Octonions O.............................................. 169
IX.2 Octonions Fendus O
......................................... 173
IX.3 BiQuaternions B........................................... 176
IX.4 BiQuaternions de Clifford B
..................................... 179
IX.5 Quaternions duaux D4........................................ 182
X Alg`ebres de dimension 32 sur R186
X.1 Trigintaduonions T.......................................... 186
XI Alg`ebres de dimension 64 sur Ret au-del`a 190
XI.1 Sexagintaquatronions X....................................... 190
(Certains chapitres pr´evus ne sont pas encore disponibles)
Table des Mati`eres 2

Ensembles de Nombres
I Introduction
Dieu fit le nombre entier, le reste est l’oeuvre de l’Homme 
L´eopold Kronecker (1823-1891) 1
Si l’origine empirique des nombres entiers naturels est incontestable, la volont´e de perfectionner le raison-
nement n´ecessite la formalisation du langage, et la clarification de ses fondements. C’est dans cette optique
que les nombres entiers furent construits sur une axiomatique moderne 2.
M´ethode axiomatique qui permit de nombreuses constructions abstraites de nombres tr`es divers : nombres
relatifs, d´ecimaux, rationnels, r´eels, irrationnels, alg´ebriques, transcendants, complexes, multicomplexes, hy-
percomplexes, quaternions, octonions, supernaturels, superr´eels, surr´eels... cette liste est elle-mˆeme surr´eelle,
et n’est pourtant pas exhaustive !
Ce document est une tentative d’introduction aux ensembles de nombres dont cette liste encyclop´edique
n’est qu’une faible partie...
1. Cit´e dans Eric Temple Bell, Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1986, p. 527.
2. The Axiomatic Method.
I . Introduction 3

Ensembles de Nombres
I.1 D´efinitions alg´ebriques g´en´erales
Le but de ce chapitre est de fixer certaines d´efinitions utilis´ees dans les chapitres ult´erieurs. Le choix de la
terminologie est arbitraire et varie d’un ouvrage `a un autre.
I.1.1 Lois de composition internes et externes
D´efinition : Soit Eun ensemble non vide. Une loi de composition interne (ou op´eration) sur Eest une
application ∗:E×E→E. En g´en´eral, on note x∗yau lieu de ∗(x, y). Un ensemble muni d’une op´eration est
appel´e magma (on trouve aussi les noms de monade et de groupo¨ıde).
Propri´et´es usuelles des lois de composition internes :
Commutativit´e ∀(x, y)∈E2(x∗y=y∗x)
Associativit´e ∀(x, y, z)∈E3(x∗y)∗z=x∗(y∗z)
R´egularit´e ∀(x, y, z)∈E3(((x∗y=x∗z)∧(y∗x=z∗x)) ⇒y=z)
eest un ´el´ement neutre ∀x∈E(x∗e=e∗x=x)
x0est le sym´etrique de x e est l’´el´ement neutre et x0∗x=x∗x0=e
aest un ´el´ement absorbant ∀x∈E(x∗a=a∗x=a)
iest un ´el´ement idempotent i∗i=i
Remarques :
•Les notions de r´egularit´e, d’´el´ements neutre, d’´el´ement sym´etrique et d’´el´ement absorbant peuvent ˆetre
pr´ecis´ees `a gauche ou `a droite , mais ces distinctions ne sont pas pertinentes ici.
•Si x0est le sym´etrique de xpour la loi *, alors xest le sym´etrique de x0pour cette mˆeme loi *.
•Le sym´etrique pour une op´eration not´ee additivement est g´en´eralement appel´e oppos´e.
•Le sym´etrique pour une op´eration not´ee multiplicativement est g´en´eralement appel´e inverse.
•Dans le cas g´en´eral le sym´etrique de xest not´e x−1.
Certaines propri´et´es sont moins connues, mais seront utiles par la suite.
Alternativit´e ∀(x, y)∈E2((x∗(x∗y)=(x∗x)∗y)∧((x∗y)∗y=x∗(y∗y)))
Associativit´e des puissances ∀x∈E(x∗(x∗x)=(x∗x)∗x)
Flexibilit´e ∀(x, y)∈E2(x∗(y∗x) = (x∗y)∗x)
Permutativit´e ∀(x, y, z, t)∈E4(x∗y)∗(z∗t) = (x∗z)∗(y∗t)
Neutroactivit´e ∀(x, y, z)∈E3((x∗(y∗z)) ∗x= (x∗y)∗(z∗x))
Identit´e de Moufang ∀(x, y, z)∈E3(x∗y)∗(z∗x) = x∗(y∗z)∗x
Remarques :
•Associativit´e ⇒Alternativit´e ⇒Flexibilit´e ⇒Associativit´e des puissances.
•L’associativit´e des puissances permet de d´efinir la notation xn, et au del`a la notion de polynˆome.
•Associativit´e + Commutativit´e ⇒Permutativit´e.
•Associativit´e ⇒Neutroactivit´e.
D´efinition : Soit Eet Kdeux ensembles non vides. Un loi de composition externe est une application
·:K×E→E. L`a encore, on note usuellement λ·x, voire λx au lieu de ·(λ, x).
I.1.2 Structures alg´ebriques avec une loi de composition interne
Soit (E, ∗) un magma.
D´efinition : On dit que (E, ∗) est un demi-groupe si ∗est associative.
D´efinition : On dit que (E, ∗) est un mono¨ıde si ∗est associative et poss`ede un ´el´ement neutre.
I . Introduction 4