Chapitre 8 - physique

Chapitre 8
Les engrenages
Les engrenages ont pour fonction de transmettre un mouvement. Les engrenages sont
généralement composés de roues dentées, mais peuvent aussi inclure des crémaillères
et des couronnes.
En transmettant le mouvement, les engrenages peuvent démultiplier la force appliquée. À l’instar du palan qui servait à utiliser une force plus faible que le poids de
la charge, mais sur une distance plus grande que l’élévation de cette charge (section
4.3), le pignon d’un engrenages utilisera un moment de force plus faible que celui que
produira la roue, mais en tournant plus vite que cette dernière (figure 8.1).
Les engrenages nous permettront d’aborder deux nouveaux concepts, celui des
variables angulaires et celui de la puissance.
Roue
Pignon
Figure 8.1 – Engrenage constitué d’un pignon et d’une roue.
79
80
Physique des mécanismes
8.1
Les variables angulaires
La relation entre la longueur d’arc s d’un cercle de rayon r et l’angle qui la sous-tend
est
s = ◊r.
(8.1)
L’angle ◊ doit être exprimé en radians. Lorsque la longueur d’arc est égale à la circonférence, on retrouve bien l’équation C = 2fir.
En divisant chaque membre de l’équation (8.1) par le temps que prend un corps
pour parcourir la longueur d’arc, on obtient les relations de la vitesse angulaire Ê et
de l’accélération angulaire –
s
t
=
◊
t
r
∆
vt = Êr
(8.2)
vt
Ê
=
r
t
t
∆
at = –r.
(8.3)
Au mouvement circulaire correspondent les mêmes équations qu’au mouvement
rectiligne (voir tableau 8.1.)
Exemple 8.1
Pendant que vous faites fonctionner le Rotor (voir figure 7.1), vous remarquez un passager en grande détresse et vous diminuez la vitesse angulaire du cylindre de 3, 4 rad/s
à 2 rad/s en 20 tours, avec une accélération angulaire constante du manège.
a) Quelle est l’accélération angulaire durant cette diminution de la vitesse angulaire ?
b) Combien de temps la diminution de vitesse nécessite-t-elle ?
Solution
Chapitre 8. Les engrenages
81
s
θ
Figure 8.2 – Relation entre la longueur d’arc de cercle et l’angle qui la sous-tend.
Tableau 8.1 – Les équations du mouvement circulaire à accélération angulaire
constante.
Variable absente
Équation
◊
Êf = Êi + –t
(8.4)
Êf
◊ = Êi t + 12 –t2
(8.5)
t
Êf2 = Êi2 + 2– ◊
(8.6)
–
◊ = 12 (Êi + Êf )t
(8.7)
Êi
◊ = Êf t ≠ 12 –t2
(8.8)
82
Physique des mécanismes
8.2
Rapports de transmission
Lorsque le mouvement d’un engrenage est transmis par les dentures (figure 8.3), on
obtient les relations suivantes
s1 = s2
∆
◊ 1 r1 = ◊2 r 2
∆
◊1
Ê1
–1
r2
=
=
= .
◊2
Ê2
–2
r1
(8.9)
Lorsque que le mouvement est transmis par un axe de rotation commun, les
relations suivantes sont obtenues
◊1 = ◊2
∆
s1
s2
=
r1
r2
∆
s1
vt1
at1
r1
=
=
= .
s2
vt2
at2
r2
(8.10)
Exemple 8.2
Un cycliste professionnel sprinte à une cadence de 120 tours/min en utilisant un
rapport de dentures plateau/pignon de 53/11. À quelle vitesse se déplace-t-il si la
circonférence de ses roues est de 210 cm ?
Solution
Chapitre 8. Les engrenages
83
s1
s2
θ
s1 = s2
θ1 = θ 2
Figure 8.3 – Transmission par les dentures et transmission par un axe commun.
ω2
r2
r1
ω1
ω3
R3
vvélo
s3
Figure 8.4 – Transmission de la vitesse angulaire en vitesse linéaire sur un vélo.
84
Physique des mécanismes
8.3
La puissance
La notion de travail vue aux chapitres 4 et 5 nous renseigne sur l’énergie transférée
par les différente forces. Cependant, cette notion de travail ne nous renseigne pas sur
la rapidité avec laquelle le travail est effectué. La puissance est définie comme étant
le taux auquel une force effectue un travail
W
.
t
P =
(8.11)
Puisque W = F˛ · d˛ on peut écrire
P =
F˛ ·
d˛
t
= F˛ · ˛v .
(8.12)
(8.13)
La figure 8.5 illustre un pignon hissant une charge en tournant à vitesse constante
sur une crémaillère fixe. Si le pignon s’élève d’une hauteur h en un temps t, la puissance
du moteur qui entraîne le pignon est
P =
U
mgh
=
.
t
t
(8.14)
De plus, puisque F = · /r et v = Êr, on peut trouver une relation entre la
puissance du moteur et le moment de force que celui-ci applique à l’arbre du pignon
P = F˛ · ˛v =
3 4
·
(Êr)
r
= · Ê.
(8.15)
(8.16)
Les équations (8.11), (8.13) et (8.16) nous donnent trois façons de calculer la
puissance.
La puissance est exprimée en watt (W) dans le SI, mais le cheval vapeur ou horse
power (hp) est aussi couramment utilisé.
1 J/s = 1 W
et
1 hp = 746 W.
(8.17)
Chapitre 8. Les engrenages
85
v
ω
r
100 N
Figure 8.5 – Engrenage servant à hisser une charge.
86
Physique des mécanismes
Exemple 8.3
Un moteur entraîne un pignon P sur un arbre a tel qu’illustré à la figure 8.6. Le
pignon entraîne à son tour une couronne C montée sur un arbre b. Le moteur développe une puissance de 4 hp et fonctionne à une fréquence de rotation constante de
300 tours/min. En supposant qu’il n’y a pas de perte d’énergie dans ce mécanisme,
déterminez
a) le moment de force exercé par le moteur sur le pignon P et
b) le moment de force exercé par la couronne C sur l’arbre b.
Solution
Chapitre 8. Les engrenages
87
C
P
a
b
Figure 8.6 – Un pignon entraînant une couronne.
88
8.4
Physique des mécanismes
Exercices
8.1 Quelle est la vitesse angulaire
(a) de l’aiguille des secondes,
(b) de l’aiguille des minutes et
(c) de l’aiguille des heures d’une horloge analogique.
8.2 Une roue possède six rayons espacés de manière égale. Le rayon de cette roue est de
ω
30 cm. Elle est montée sur un essieu fixe et
tourne à 2,5 tours/s. Vous voulez tirer une
flèche de 20 cm parallèlement à son essieu à
travers la roue sans toucher un rayon. Sup-
r
l
posez que la flèche et les rayons sont très
minces.
(a) Quelle doit être la vitesse minimale de la flèche ?
(b) L’endroit visé entre l’essieu et la jante est-il important ? Si oui, où est-il
préférable de viser ?
8.3 Un disque tournant initialement à 120 rad/s ralentit avec une accélération
constante de ≠4 rad/s2 .
(a) Combien de temps lui faut-il pour s’arrêter ?
(b) Quel est le déplacement angulaire du disque durant cette période ?
8.4 Une voiture de course se déplace sur une piste circulaire de 200 m de rayon.
Sachant que la voiture est animée d’une vitesse constante de 80 m/s, déterminez
(a) la vitesse angulaire de la voiture et
(b) la grandeur et la direction de l’accélération de la voiture.
8.5 Un pignon de rayon r1 = 10 cm est couplé par une courroie à une roue de
rayon r2 = 25 cm. Immobile au départ, la vitesse angulaire du pignon augmente
à un taux constant de 1,6 rad/s2 . Déterminez le temps qu’il faut à la roue
Chapitre 8. Les engrenages
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pour atteindre une fréquence de rotation de 100 tours/min, en supposant que
la courroie ne glisse pas.
8.6 Deux poulies sont utilisées avec une courroie dans l’une ou l’autre des trois posiA
tions. Si l’accélération angulaire de l’arbre
r1
r2
r3
A est 8 rad/s et si le système est initia2
lement au repos, calculez le temps requis
pour que l’arbre B atteigne une fréquence
de rotation de 300 tours/min avec la courroie dans chacune des trois positions. (r1 =
r3
r2
r1
B
10 cm, r2 = 15 cm, r3 = 20 cm)
8.7 À quelle vitesse un moteur de 37,3 kW peut-il soulever une charge de 1500 kg ?
8.8 Supposons que le moteur d’une voiture produise 2,24◊104 W de puissance effective à une vitesse constante de 27 m/s. Quelle est la force de frottement qui
agit sur la voiture à cette vitesse ?
8.9 Des boîtes sont transportées d’un endroit à un autre dans un entrepôt à l’aide
d’un convoyeur qui roule à une vitesse constante de 0,5 m/s. À un endroit donné,
le convoyeur se déplace de 2 m vers le haut, le long d’un plan incliné à 10¶ par
rapport à l’horizontale puis de 2 m à l’horizontale et enfin de 2 m vers le bas, le
long d’un autre plan incliné à 10¶ par rapport à l’horizontale. Supposez qu’une
boîte de 2 kg roule sur le convoyeur sans glisser. Quelle est la puissance du
convoyeur
(a) lorsque la boîte s’élève le long du plan incliné à 10¶ ,
(b) lorsqu’elle se déplace à l’horizontale et
(c) lorsqu’elle redescend le long du plan incliné à 10¶ ?
90
Physique des mécanismes
8.10 Un moteur entraîne un pignon P relié à un treuil
T tel qu’illustré ci-contre. Le rayon du tambour du
treuil est r = 18 cm et celui de sa roue d’engrenage
est R = 36 cm. Si un poids de 100 N est hissé sur
une hauteur h = 1 m en 1 s,
T
R
r
P
(a) quelle est la puissance effective du moteur en
supposant que la masse du treuil est négligeable ?
h
(b) À quelle vitesse tourne-t-il ?
100 N