CORRECTION

Nouvelle–Calédonie novembre 2004
Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs.
1° a) Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1 alors les nombres a et b sont
premiers entre eux.
b) En déduire que si (a
2
+ a b – b
2
)
2
= 1, alors a et b sont premiers entre eux.
2° On se propose de déterminer les couples d'entiers strictement positifs (a ; b) tels que :
(a
2
+ a b – b
2
)
2
= 1. Un tel couple sera appelé solution.
a) Déterminer a lorsque a = b.
b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.
c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a ≠ b , alors a
2
– b
2
< 0.
3° a) Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y – x ; x) et (y ; y + x) sont aussi des
solutions.
b) Déduire de 2° b) trois nouvelles solutions.
4° On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (a
n
)
n
définie par a
0
= a
1
= 1 et pour tout entier n,
n > 0, a
n+2
= a
n+1
+ a
n
.
Démontrer que pour tout entier n > 0, (a
n
; a
n+1
) est solution.
En déduire que les nombres a
n
et a
n+1
sont premiers entre eux.
CORRECTION

Dans cet exercice, a et b désignent des entiers strictement positifs. 1° a) Démontrer que s'il existe deux entiers relatifs u et v tels
que a u + b v = 1 alors les nombres a et b sont premiers entre eux.
Soit a et b deux entier naturel tels qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1.
Soit p un diviseur premier de a et de b alors p divise aussi a u + b v et donc p divisible 1 ce qui est impossible.
b) En déduire que si (a2 + a b – b2)2 = 1, alors a et b sont premiers entre eux.
(a
2
+ a b – b
2
)
2
= 1 ⇒ a
2
+ a b – b
2
= 1 ou a
2
+ a b – b
2
= – 1 ⇒ a (a + b) – b × b ou – a (a + b) + b × b = 1.
Dans les deux cas on peut dire qu'il existe deux entiers relatifs u et v tel que u a + b v = 1 et donc a et b sont donc
premier entre eux.
2° On se propose de déterminer les couples d’entiers strictement positifs (a ; b) tels que (a
2
+ a b – b
2
)
2
= 1. Un tel couple sera
appelé solution. a) Déterminer a lorsque a = b.
Si a = b on a :
(a
2
+ a b – b
2
)
2
= 1 ⇔ (a
2
+ a
2
– a
2
) = 1 ⇔ a
4
= 1 ⇔ a
2
= 1 ou a
2
= – 1 ⇔ a
2
= 1 ⇔ a = 1 ou a = – 1.
b) Vérifier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulières.
(1
2
+ 1 × 1 – 1
2
)
2
= 1
2
= 1 donc (1 ; 1) est solution.
(2
2
+ 2 × 3 – 3
2
)
2
= (4 + 6 – 9)
2
= 1
2
= 1 donc (2 ; 3) est solution
(5
2
+ 5 × 8 – 8
2
)
2
= (25 + 40 – 64)
2
= (65 – 64)
2
= 1
2
= 1 donc (5 ; 8) est solution.
c) Montrer que si (a ; b) est solution et si a ≠
≠≠
≠ b , alors a
2
– b
2
< 0.
Si (a ; b) est solution alors (a
2
+ a b – b
2
)
2
= 1
Si a
2
> b
2
alors a
2
– b
2
> 0 et a b > 0 donc a
2
+ a b – b
2
≠ 1 et a
2
+ a b – b
2
≠ – 1 et (a ; b) ne peut pas être solution .
Remarque si a
2
< b
2
alors a < b car a et b sont positifs.
3° a) Montrer que si (x ; y) est une solution différente de (1 ; 1) alors (y – x ; x) et (y ; y + x) sont aussi des solutions.
Si (x ; y) est une solution avec x ≠ y alors x < y.
En effet dans le cas contraire 0 < y < x et donc y
2
<
x2
ce qui est contraire avec le résultat trouvé à la question 2° c)
y – x > 0 et x > 0 donc (y – x ; x) solution si et seulement si ((y – x)
2
+ (y – x) x – x2 )
2
= 1
y > 0 et x + y > 0 donc (y ; y + x) solution si et seulement si (y
2
+ y (y + x) –
x2
)
2
= 1
((y – x)
2
+ (y – x) x –
x2
)
2
= (
x2
– 2 y x +
y2
+ y x –
x2
–
x2
)
2
= (y
2
– x y –
x2
)
2
= (
x2
+ x y – y
2
)
2
= 1.
(y
2
+ y (y + x) – (y + x)2 )
2
= (y
2
+ y
2
+ x y – y
2
– 2 x y – x2 )
2
= (y
2
– x y – x2 )
2
= 1
b) Déduire de 2° b) trois nouvelles solutions.
(2 ; 3) solution donc (3 – 2 ; 2) = (1 ; 2) solution et (3 ; 2 + 3) = (3 ; 8) sont aussi solutions.
(3 ; 8) est solution donc (8 – 3 ; 3) = (5 ; 3) et (8 ; 8 + 3) = (8 ; 11) sont solutions
4° On considère la suite de nombres entiers strictement positifs (an)n définie par a0 = a1 = 1 et pour tout entier n, n > 0,
a
n+2
= a
n+1
+ a
n
. Démontrer que pour tout entier n > 0, (a
n
; a
n+1
) est solution.
Initialisation : (a
0
; a
1
) = (1 ; 1) est solution
a
2
= 2 donc (a
1
;a
2
) est solution.
Hérédité : Soit k > 1 un entier naturel tel que (a
k
; a
k+1
) est solution avec a
k
≠ a
k+1
.
(a
k
; a
k+1
) est solution donc, d'après la question précédente, (a
k+1
; a
k
+ a
k+1
) = (a
k+1
; a
k+2
) est solution et a
k+1
≠ a
k+2
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et elle est héréditaire elle est donc vraie pour tout entier naturel n.
En déduire que les nombres an et an+1 sont premiers entre eux.
On a vu que si (a ;b) est solution alors (a
2
+ a b – b
2
)
2
= 1, alors a et b sont premiers entre eux.
(a
n
; a
n+1
) est solution. a
n
et a
n+1
sont donc premiers entre eux.